2024-2025学年浙江省杭州市名校七年级下学期3月月考数学试卷（解析版）

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A选项：只有一个未知数，为一元一次方程，故A错误；
B选项：有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B正确；
C选项：中的次数为2，故不是二元一次方程，故C错误；
D选项：是分式，故不是二元一次方程，故D错误．
故选B．
2.如图，点在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】A．，
，故该选项不符合题意；
B．，
，故该选项不符合题意；
C．，
，不能判定，故该选项符合题意；
D．，
，故该选项不符合题意；
故选：C．
3.二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（ ）对．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵x+3y=10，
∴x=10-3y，
∵x、y都是非负整数，
∴y=0时，x=10；
y=1时，x=7；
y=2时，x=4；
y=3时，x=1．
∴二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有4对．
故选：D．
4.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线，中的直线上，已知，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图，
由题意得：，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
5.《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】根据题意，可得．
故选：C．
6.下列说法正确的是（ ）
A.过任意一点可作已知直线的一条平行线
B.两条不相交的直线是平行线
C.过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直
D.平行于同一直线的两直线平行
【答案】D
【解析】A．过不在直线上一点可作已知直线的一条平行线，故选项错误；
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，故选项错误；
C．同一平面内过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直，故选项错误；
D．平行于同一直线的两直线平行，故选项正确；
故选：D．
7.如图分别是立定跳远和铅球场地示意图，点，为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（ ）
A.和的长B.和的长
C.和长D.和的长
【答案】D
【解析】根据题意得，立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段和的长．
故选：D．
8.解关于x，y的方程组可以用①×3﹣②，消去未知数x，也可以用①+②×4消去未知数y，则a，b的值分别为（ ）
A.1，﹣2B.﹣1，﹣2C.1，2D.﹣1，2
【答案】C
【解析】由题意得：
，
化简得：
，
解得：，
故选：C．
9.如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
在图2中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，
在图3中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°．
故选：B．
10.如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点E作，过点F作，
∵，平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
，，
∴，
，
即，，
∴，
∴
∴
∴
故选：A．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.已知是二元一次方程的一个解，则的值为_______．
【答案】2
【解析】是二元一次方程的一个解，
将代入得：，
解得：，
故答案为：2．
12.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为________．
【答案】
【解析】，
得：
，
，
x，y互为相反数，
，
，
，
故答案为：．
13.已知：如图，，则∠4的度数是___________．
【答案】126°．
【解析】给各角标上序号，如图所示．
∵∠1=∠2，∠2=∠5，
∴∠1=∠5，
∴l1∥l2，
∴∠3+∠6=180°．
∵∠3=54°，
∴∠6=180°-54°=126°，
∴∠4=∠6=126°．
故答案为：126°．
14.如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为______．
【答案】2
【解析】根据平移可得，，，
，，
，
，
，
即平移的距离为2．
故答案为：2．
15.若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）．
【答案】
【解析】将方程组整理，得：
，
根据题意，得：
解得：，
故答案为：．
16.一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角度不超过）的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当时．则其他可能符合条件的度数为_________________
【答案】或或
【解析】如图3，当时，；
如图4，当（或）时，，
∴，
∴；
如图5，当时，，
∴．
综上所述，其他可能符合条件的度数为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17.解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
将①代入②，得：
，
解得：，
将代入①，得：
，
所以原方程组的解是．
（2）
，得：
，
，得：
，
解得：，
将代入①得：
，
解得：，
所以原方程组的解是．
（3）
整理①，得：
，
将②代入③，得：
，
解得：，
将④代入③，得：
，
解得：，
，得：
，
解得：，
将代入⑤，得：
，
所以原方程组的解是．
18.如图，直线，分别与直线相交于点，，与直线相交于点，．若．求的度数．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19.如图，在方格纸中每个小正方形的边长为1，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点．
（1）画出平移后的；
（2）过点画出的垂线段，垂足为点；
（3）在整个平移过程中，线段扫过的面积是_______．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，由网格可得，
∴线段即为所求；
（3）如图所示，
∴线段扫过的面积．
20.对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
（1）求，的值；
（2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
解：（1）由题意得，
解得：；
（2）依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
21.如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数．
解：(1)∵FG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD．
(2)∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵∠D=112°，
∴∠ABD=180°﹣∠D=68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4=∠ABD=34°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠1=90°﹣34°=56°．
22.已知关于，的二元一次方程组，其中为实数．
（1）当时，求方程组的解；
（2）求的值（用含的代数式表示）；
（3）试说明无论取何数时，代数式的值始终不变．
解：（1）把代入关于，的二元一次方程组得：，
①②得：，
把代入②得：，
方程组的解为：，
当时，方程组的解为：；
（2），
①②得：，
，
；
（3）证明：，
②得：③，
①③得：，
，
，
无论取何数时，代数式的值始终不变．
23.为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示）
（3）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数．
解：（1）设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：医用口罩的单价为1.5元，消毒液的单价为20元．
（2）需购买单价为6元的N95口罩m个，需购买医用口罩和N95口罩共1000个，
∴购买医用口罩个，
依题意得：，
化简得：．
（3）由（2）可知
∵m、n均为正整数，且，
∴m为40的倍数，
∴m为80或120或160，
故答案为：80或120或160．
24.已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=5∠DBE，求∠EBC的度数．
解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C，
∴∠C+∠BAD=90°；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α，
∴∠AFC=5α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=5α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=9°，
∴∠ABE=9°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=9°+90°=99°．