湖南省2025届高考模拟数学试题(含详解) [含答案]

这是一份湖南省2025届高考模拟数学试题(含详解) [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=0,1,2,3,4，集合A={x∈N∣x−3a)=0.5时，关于x的二项式ax+1x23的展开式的常数项为( )
A. 1B. 4C. 6D. 12
4.已知等差数列an，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若a9a80，所以f'x=x−2xlnxx4=1−2lnxx3，
由f'x=0，得到x=e12，
所以fx在区间0,e12上，f​'(x)>0，f(x)单调递增；
在区间e12,+∞上，f​'(x)0，h(x)单调递增．
所以hx≥h−2=8ae2+1≥0，得到−e28≤a1100，(12)7=11280，
m'x=2x+1⋅2x2⋅ex−2lnx+x⋅2x2+4x⋅ex2x2⋅ex2=x+22x3⋅ex×1−2lnx−x，
易知y=1−2lnx−x在(0,+∞)上单调递减，
当x=1时，y=0，
所以mx在区间(0,1)上，m​'(x)>0，m(x)单调递增，
在区间(1,+∞)上，m​'(x)|PF2|，
则|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|−|PF2|=2m，
解得|PF1|=a+m，|PF2|=a−m．
∴|PF1||PF2|=a2−m2，则A正确；
对于B，∵c2=a2−b2=m2+n2，即a2−m2=b2+n2，
∴|PF1|⋅|PF2|=a2−m2=b2+n2，
∴csθ=|PF1|2+|PF2|2−4c22|PF1||PF2|=b2−n2b2+n2，
∴PF1⋅PF2=|PF1||PF2|csθ=(a2−m2)·b2−n2b2+n2=b2−n2，则B正确；
对于C，将csθ=b2−n2a2−m2，e12=c2a2，e22=c2m2，代入，可得1−csθe12+1+csθe22=2，则C错误;
对于D，因为θ=π2，所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，即(a+m)2+(a−m)2=4c2，
化简得a2+m2=2c2，即a2c2+m2c2=2，即1e12+1e22=2，
令1e1= 2csα，1e2= 2sinα，
则1e1+ 2e2= 2csα+2sinα，其中csα>0，sinα>0，取α∈(0,π2)，
因为e1∈(0,1)，e2∈(1,+∞)，所以 2csα>1，0< 2sinα 22，0 22，00，函数fx在R上单调递增；
②当a>0时，由f'x=ex−a=0得x=lna，
∴x∈−∞,lna时，f'x0，令g'a=0，得lna=32，a=e32，
当a∈0,e32时，g'a>0，ga单调递增；
a∈e32,+∞时，g'(a)0，因此1−csA= 3sinA，则1−csA2=3sin2A=31−cs2A，
由00，
有y0y1=−4，于是15≤S1S2=y0−y1=y04y0=y024≤5，
解得2 55≤y0≤2 5，即y0的取值范围是[2 55,2 5].
19.(1)β=(0,0,1,0)或β=(1,1,1,0)或β=(1,0,0,0)或β=(1,0,1,1)，
(2)A={α|α=(x1,x2,⋯,x10)，xi∈{0,1}}，显然A中的每一个元素都恰有10个“友好元”．
设U={u|(0,0,u3,⋯,u10)，ui∈{0,1}}，B=CA(U)，此时|B|=210−28，
对B中的任意元素b=(b1,b2,⋯,b10)，
在集合U中至多存在一个u=(0,0,u3,⋯,u10)满足|b1−0|+|b2−0|+|b3−u3|+⋯+|b10−u10|=1，
从而b=(b1,b2⋯,b10)在集合B中至少有9个“友好元”，所以210−28是“好数”，
(3) ①当n=2024时，集合A={α|α=(x1,x2,⋯,x2024)，xi∈{0,1}}中的每个元素均有2024个“友好元”．
设Bdt={α|α=(0,0,⋯,0,a1,a2,⋯,adt)其中ai∈{0,1}，i=1，2⋯，dt}，则Bdt中含有2dt个元素，
设Bdi={α|α=(1,1,⋯,1,0,0,⋯0,x1,⋯,xdi2024−di+1个1di+1−di个0),其中xi∈{0,1},i=1,2,⋯,di}，
则Bdi含有2di个元素，i∈{1,2,⋯,t−1}，
此时令C=A−(Bd1∪Bd2∪⋯∪Bdt)，
对于c=(c1,c2,⋯,c2024)∈C，我们有：
②c在每一个Bdi中至多有一个“友好元”，设b1=(x1,x2,⋯,x2024)，b2=(y1,y2,⋯,y2024)∈Bdi，且均是c的“友好元”．
由于c∉Bdi，从而c与b1不同的元素在前2024−di位且后di位相同，
又因为b1，b2的前2024−di位相同，后di位至少一位不相同，因此|c1−y1|+|c2−y2|+⋯|c2024−y2024|≥2，
③c不能在Bdi和Bdj中均有“友好元”．
由于对于1≤i