山西大学附属中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份山西大学附属中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A．1B．2C．4D．6
3．函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
4．设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ）
A．B．C．D．
6．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ）
A．B．2C．3D．4
8．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．已知函数，若，则
C．若，则
D．曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是
10．为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ）
A．若，则的最小值为3
B．点到直线的距离的最小值为
C．若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为
D．过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为
11．如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．数列的通项公式B．数列的通项公式
C．D．
三、填空题
12．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________．
13．已知直线与函数的图象相切，则实数_____．
14．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则______．
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
16．已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值.
17．已知函数，．
(1)求函数的单调性；
(2)若函数在上单调递减，求a的取值范围．
18．已知数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，记数列的前项和，求证：.
19．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：．
(1)分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围．
(2)已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线．
（i）求曲线的方程；
（ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积．
参考答案
1．B
【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且，
所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得，
所以椭圆方程是．
故选：B．
2．B
【详解】试题分析：设的前三项为，则由等差数列的性质，可得，所以，
解得，由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，所以
，故选B．
3．B
【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为，
当或时，，所以的单调增区间为，
故选：B.
4．B
【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，，
则公比，否则，，，不符题意；
所以，解得，
所以．
所以．
解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，
则，即，
求得，故，所以．
5．C
【详解】因为①，
当时， ②，
由①-②得到，得到，
又时，，满足，
所以，则，
所以 ，
则数列的前2026项和为.
故选：C.
6．A
【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为
因为是椭圆的左､右焦点，所以
抛物线准线为：直线，所以
因为是底角为的等腰三角形，则
则
则 ，整理得：
所以离心率.
故答案为：A.
7．C
【详解】已知双曲线离心率，所以：，
又，代入得：，
故渐近线方程为，
取右焦点，并作平行于渐近线的直线：，
联立直线与双曲线方程得：，
化简：，，
分子：，
所以，
，
代入直线方程求：，
因此，点位于双曲线右支，
故，
由双曲线定义，得：，
故
故选：C
8．D
【详解】因为，，，
则，
设，
则，
设，
则，
当时，，所以在上单调递减，
则，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
即，所以.
故选：D
9．BC
【详解】对于A，易得，故A错误；
对于B，，令，解得，故B正确；
对于C，，则，解得，故C正确；
对于D，，即，而，则，故D错误.
故选：BC
10．ACD
【详解】

由可得：，焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为，
则，故A正确；
设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得：
，故B错误；
设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心,
则，即，
从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设，
则，
即，故C正确；

设，切点，，的斜率为，
由题意知切线斜率存在，设为，
联立得，
，即，
，
原方程为，
，
所以切线方程为：，即，
同理切线方程为：，
由于切线与切线相交于点，
所以有：与成立，
由于切点满足直线方程，
即直线方程为：，因为，
则，即，
所以直线恒过定点，
故到直线距离的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
11．ABD
【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形，
则直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得，则，即，则，
设，则，，
则，
可得，即，
由，可得，故得，
所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，
则，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，因为是等腰直角三角形，其面积，
则
由平方和公式，
可得，故C错误；
对于D，因为，，
当时，，
则，故D正确．
12．
【详解】因为方程表示椭圆，
则，解得且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
13．/
【详解】设函数在点处的切线为，
函数的定义域为.
由，得，所以，
所以，解得（舍去）或.
又，所以切点为，
又切点在直线上，所以，解得.
故答案为：.
14．
【详解】令，得，即.

由抛物线的光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为，
代入，消去得，则，
所以，所以.
故答案为：.
15．(1);
(2)．
【详解】（1）由，
得，得，
则，
因为，，所以，满足上式，
所以，
又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列．
所以，．
（2）由（1）得
所以
即．
16．(1)；
(2)1.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则，
由点在，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，
由消去得，，
，则的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为1.
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由已知，，，
当时，，
令的图象开口向下，且，
所以时，，即，则在上单调递增，
时，，即，则在上单调递减；
当时，，则，
所以时，，则在上单调递增，
时，，则在上单调递减；
当时，的图象开口向上，且，
或时，，即，
则在，上单调递增，
时，，即，
则在上单调递减．
当时，的图象开口向上，且且不恒为0，
此时，即，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增；
（2）在上单调递减，
时，恒成立，即恒成立，
，而，
，，
，
，故a的取值范围是．
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题设，
又，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
可得，故.
（2）由（1）知，所以，
则.
（3）由（2）得，
则，
所以，
两式相减得：，
即，
所以，
因为，所以.
19．(1)；
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，所以，
表示点到原点的距离，表示点到直线的距离．
若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；
若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为．
（2）（i）因为曲线的离心率为，所以，即，
即曲线的方程为，
曲线向右平移个单位长度得到曲线，
故曲线的方程为，化简可得．
（ii）设，，．
因为，所以，
解得，，则，
若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上，
所以不可能在双曲线上，舍去．
设直线的方程为，由得，
则且，即，
又，，
所以，故，
代入双曲线的方程得，
化简得，又，所以，
点到直线的距离，
．
故的面积．