北京市顺义区2026届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附答案）

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第一部分（选择题 共分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则A∩B=
（A） （B） （C） （D）
（2）复数的共轭复数为，满足，则
（A） （B） （C） （D）
（3）在中，，若，则
（A） （B） （C） （D）
（4）若双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知函数的定义域为，则“对于任意，使得”是 “值域为”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）已知等差数列的前项和为，若，成等比数列，则
（A） （B） （C） （D）
（7）已知抛物线的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数若方程有个不同的实数解，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（9）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为.给出下列三个结论：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ② ；
= 3 \* GB3 ③ 若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的​，则声压级减少约为；
（参考数据：，）其中正确结论的个数为
（A）个 （B）个 （C）个 （D）个
（10）已知向量满足，.当与的夹角最大时，
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域为_____________.
（12）若，则________;_______.
（13）已知直线与圆交于两点．若圆弧的长恰为圆周长的，则________.
（14）设函数，则图象的一条对称轴方程为___________;若在上单调递增，则的最大值为___________.
（15）如图，在棱长为的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点)，给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②存在点，使得平面平面；
③为锐角三角形；
④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）.
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）如图，在三棱柱中，△是正三角形，，平面，，是延长线上一点，且．
（Ⅰ）设中点为，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值.
平均亩产
种植方式
（17）（本小题13分）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区两镇分别抽取块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）：
用频率估计概率.
（Ⅰ）从上述试验田中随机抽取块，求其平均亩产量均不低于的概率；
（Ⅱ）从两镇中各随机抽取块试验田，设为平均亩产量不低于的试验田的块数，求的分布列和数学期望；
（ = 3 \* ROMAN III）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：
有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg；
机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg；
共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg.
假设该年度两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）在三角形中，所对的边长为,，.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）若点在边上，再从条件 = 1 \* GB3①、条件 = 2 \* GB3②、条件 = 3 \* GB3③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件 ①：；条件 ②：；条件 ③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题15分）已知椭圆的左右顶点为，，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，是上不同于,的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由.
（20）（本小题15分）已知函数，.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（ = 3 \* ROMAN III）若存在两个极值点，且，求的取值范围.
（21）（本小题15分）已知项数列满足.数列，满足，其中.
记,.
其中，表示数集中最大的数．
（Ⅰ）已知，求,的值；
（Ⅱ）若为奇数，且，求证: ；
（ = 3 \* ROMAN III）求证. .
（1）D （2）D （3）A （4）C （5）B（6）C （7）B （8）B （9）D （10）D
（11） （12） （13）或（14） （答案不唯一）； （15） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③（仅对一个3分）
（16）解：（Ⅰ）证明：取中点为，连接，
因为分别为,中点，所以且
因为且，所以且
所以四边形是平行四边形，所以
因为平面，平面
所以平面
法2：连接,
因为分别为中点，所以
因为，所以四边形为平行四边形
所以.因为，
所以,平面，平面,所以平面平面
因为平面，所以平面
（Ⅱ）因为，所以，
因为，所以
所以即知，如图建立空间直角坐标系，
所以,,,，所以,,
设是平面的一个法向量，所以即 可得，令得，所以,即，设直线与平面的夹角为，则.所以直线与平面的夹角的正弦值为. （17）解：（Ⅰ）解：设从上述试验田中随机抽取块，平均亩产均不低于为事件，则，中包含的基本事件总数,所以. （Ⅱ）从两镇中各随机抽取块试验田，的所有可能取值为， ，所以的分布列为
所以的数学期望.
（ = 3 \* ROMAN III）.
可设两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田的面积分别为，则
其中，
所以. -----------------（13分）
E
A
C
B
D
（18）解：（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理可得，
解得，又因为,所以.
（Ⅱ）选条件①②
法一：因为,所以△是等腰三角形，
作为中点，连结，那么，
所以，由勾股定理得，即，解得
A
C
B
D
所以,所以.
方法二：在△中，，
在△中,，所以，
所以，因为，所以可得，解得
所以，，在中，=即解得，所以，所以.
选条件②③，因为,所以△是等腰三角形，所以,且
又因为，所以，在△中,，所以,所以，
，所以. 若选条件①③，，在△中,，所以,在△中，因为，所以，当时，，解得；
当时，，解得.所以△不唯一，不符合要求.
（19）解：（Ⅰ）由题意得 解得.所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）不存在点.法一: 假设存在点使得直线平行于直线成立,设，依题意可知，且,则，所以直线的方程：,设，联立，消去得,所以，又，所以，代入可得，
因为为中点，所以，所以，则直线的方程为，
令得，,所以，又令,即，即，与题设矛盾.所以假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.
法二：假设存在点使得直线平行于直线成立,设直线的斜率为，依题意可知.直线的方程为，设，联立消去得.所以，又，所以，代入可得.所以，.
所以，直线的方程为，令得.又，则，则直线的方程为.设，联立消去得
所以，又，所以，代入可得.所以，令，则则得，与题设矛盾.因此假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.
法三：假设存在点使得直线平行于直线成立,不妨设，其中，，则由点为中点可得 则，所以直线的方程为，联立，消去得，由在椭圆上，得代入整理，
则或，当时，显然不成立，
则只需验证是否满足题意，因为直线的方程为，代入得
则，，令，可得.由知此方程无解,假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.
法四：假设存在点使得直线平行于直线成立,设,依题意可知，则，所以直线的方程为.令，得，即，又，所以，则直线的方程为.
因为直线平行于直线，所以.所以直线的方程为.联立解得，.因为点在椭圆上，所以即，又为，的中点，所以，，所以，，因为点在椭圆上，所以即，由可解得，与题设矛盾.因此假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.
（20）解：（Ⅰ），，所以，当时，，恰好在直线上，所以此时的切线与重合，所以值不存在.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,定义域为
讨论： = 1 \* GB3 ①当时，，令可解得.所以，在上单调递减，在上单调递增；
= 2 \* GB3 ②当时，，令可解得.所以，在上单调递减，在上单调递增；
= 3 \* GB3 ③当，即时，令可解得.
所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
= 4 \* GB3 ④当，即时，，所以在上单调递减；
综上可得：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
（4）当时，在上单调递减.
（ = 3 \* ROMAN III）由（Ⅱ）可知，若有两个极值点，则，令，可得 则，，则 ，令，则，因为，所以，所以，所以，，所以， 设，则所以在单调递减，又，所以，，所以，所以 （21）解：（Ⅰ）,
（Ⅱ）设，若，则，
于是，所以，进而
若，则这个数只能取和这两个值，又，所以这个数中取和这两个值的个数相同，因为为奇数，这不可能，所以.
（ = 3 \* ROMAN III）若则结论显然成立.
若因为对数列实施循环置换时，数列中各数只改变排列的次序，所以不妨设，于是由题设可知，因为所以同理可得
依此类推得到
，
即得------ = 1 \* GB3 ①
同理，有等等，于是得到下列一组不等式：
，
即得------ = 2 \* GB3 ②
下面区分的奇偶性分别讨论:当是奇数时，那么在 = 1 \* GB3 ①式中令，
在式 = 2 \* GB3 ②中令，总共得到个不等式，将他们相加，可得
于是，即，由此解出
因为，所以，当是偶数时，那么在式（1）中令，
在 = 2 \* GB3 ②式中令，总共得到个不等式，将他们相加，可得
于是，即，由此解出，因为，所以，综上可得
种植区域

有机种植田
机械种植田
共生种植田
镇
300
350
425
镇
300
375
400
0
1
2