2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03双曲线方程及其性质25大考点(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03双曲线方程及其性质25大考点(学生版+解析)，共7页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13341" 考点01 双曲线的定义及其应用 PAGEREF _Tc13341 \h 1
\l "_Tc5129" 考点02 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc5129 \h 2
\l "_Tc18185" 考点03 双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc18185 \h 4
\l "_Tc19183" 考点04 双曲线的焦点、焦距 PAGEREF _Tc19183 \h 5
\l "_Tc26878" 考点05 双曲线的焦点三角形 PAGEREF _Tc26878 \h 5
\l "_Tc20545" 考点06 双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc20545 \h 6
\l "_Tc23061" 考点07 双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc23061 \h 7
\l "_Tc12780" 考点08 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc12780 \h 8
\l "_Tc28128" 考点09 求双曲线离心率的值 PAGEREF _Tc28128 \h 9
\l "_Tc17736" 考点10 求双曲线离心率的取值范围 PAGEREF _Tc17736 \h 11
\l "_Tc23607" 考点11 双曲线的轨迹方程 PAGEREF _Tc23607 \h 14
\l "_Tc17190" 考点12 椭圆与双曲线综合 PAGEREF _Tc17190 \h 15
\l "_Tc16792" 考点13 双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc16792 \h 16
\l "_Tc18739" 考点14 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc18739 \h 18
\l "_Tc4989" 考点15 双曲线的弦长问题 PAGEREF _Tc4989 \h 20
\l "_Tc4991" 考点16 双曲线的中点弦问题 PAGEREF _Tc4991 \h 21
\l "_Tc12360" 考点17 双曲线的面积问题 PAGEREF _Tc12360 \h 22
\l "_Tc5930" 考点18 双曲线的最值问题 PAGEREF _Tc5930 \h 24
\l "_Tc12223" 考点19 双曲线的向量问题 PAGEREF _Tc12223 \h 25
\l "_Tc12162" 考点20 双曲线的证明问题 PAGEREF _Tc12162 \h 27
\l "_Tc39" 考点21 双曲线的探索性问题 PAGEREF _Tc39 \h 28
\l "_Tc22812" 考点22 双曲线的定点问题 PAGEREF _Tc22812 \h 29
\l "_Tc32130" 考点23 双曲线的定值问题 PAGEREF _Tc32130 \h 32
\l "_Tc4783" 考点24 双曲线的定直线问题 PAGEREF _Tc4783 \h 34
\l "_Tc23424" 考点25 双曲线的综合问题 PAGEREF _Tc23424 \h 35
考点01 双曲线的定义及其应用
1．（25-26高二·河北衡水·阶段练习）已知双曲线上一点到它的左焦点的距离是，则点到它的右焦点的距离是（ ）
A．B．或C．D．
2．（25-26高二·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的左支上
C．双曲线的右支上D．圆上
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1B．13C．1或13D．2或14
4．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（25-26高二·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（ ）
A．0B．C．1D．
考点02 双曲线的标准方程
6．（25-26高二·全国·课后作业）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025高二·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·湖北十堰·模拟预测）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025·天津河东·模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025高二·广东深圳·期末）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025高三·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
考点03 双曲线方程的充要条件
12．（25-26高三·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
13．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线，则“”是“双曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（25-26高二·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2025高二·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
16．（2025高二·辽宁沈阳·阶段练习）“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
考点04 双曲线的焦点、焦距
17．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）已知双曲线，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
18．（2025高二·浙江·阶段练习）已知双曲线的焦距为6，则为（ ）
A．5B．C．D．32
19．（2025·浙江温州·模拟预测）双曲线的一个焦点为，则（ ）
A．B．C．3D．
20．（2025高二·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．24B．25C．7D．8
考点05 双曲线的焦点三角形
21．（25-26高三·四川眉山·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．4
22．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（ ）
A．B．C．D．
23．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
24．（25-26高二·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14B．12C．10D．8
25．（2025高二·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（ ）
A．B．3C．D．
考点06 双曲线上两点距离的最值问题
26．（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
27．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2025高二·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
考点07 双曲线上两线段的和差最值问题
29．（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．11B．9C．D．5
30．（2025高二·江西南昌·期中）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
31．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
32．（2025·河北石家庄·模拟预测）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
33．（2025高二·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
34．（2025高一·广东·阶段练习）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
35．（2025高二·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．15
36．（2025高二·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，的最小值为6，则此双曲线的焦距为（ ）
A．8B．6C．4D．2
考点08 双曲线的渐近线
37．（25-26高三·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
38．（25-26高三·云南·期中）双曲线：的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
39．（25-26高三·河北沧州·阶段练习）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
40．（25-26高三·北京房山·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则实数（ ）
A．B．3C．6D．9
41．（25-26高三·河南·开学考试）记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
42．（25-26高三·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（ ）
A．B．C．D．
43．（25-26高三·河南商丘·开学考试）已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（ ）
A．1B．C．D．2
考点09 求双曲线离心率的值
44．（25-26高二·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
45．（25-26高三·湖南·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，左，右顶点分别为，，M为C上一点，且轴，点N在线段上，直线交y轴于H点，直线交y轴于G点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
46．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，且，，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．
C．D．3
47．（25-26高三·山东青岛·阶段练习）已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过原点O的直线与E的左、右两支分别交于A，B两点，点C在E上，，若以AB为直径的圆过点，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
48．（25-26高二·河北衡水·阶段练习）已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
49．（25-26高三·云南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
50．（25-26高二·河南·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
51．（2025高三·北京·专题练习）若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．B．2C．D．
52．（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
53．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ）

A．B．C．D．
考点10 求双曲线离心率的取值范围
54．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的两条渐近线分别为与与为上关于原点对称的两点，为上一点且（为双曲线离心率），则双曲线离心率可能的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
55．（25-26高三·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
56．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
57．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与圆相切，与交于第一象限的一点．若，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
58．（2025·安徽黄山·模拟预测）已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
59．（2025高三·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
60．（2025高二·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
61．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
62．（2025高三·湖北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
63．（2025高二·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
64．（2025高二·北京丰台·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
65．（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
考点11 双曲线的轨迹方程
66．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（ ）
A．B．
C．D．
67．（2025高二·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
68．（2025高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
69．（2025高二·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
70．（2025高二·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
71．（2025高二·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
72．（2025·浙江·模拟预测）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
73．（2025高三·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点12 椭圆与双曲线综合
74．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
75．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
76．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
77．（2025·四川南充·模拟预测）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
78．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
考点13 双曲线的实际应用
79．（2025高二·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
80．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
81．（2025高二·云南丽江·阶段练习）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
82．（2025高二·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

A．B．18cmC．D．
83．（2025高二·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东B．北偏东C．北偏西D．北偏西
考点14 直线与双曲线的位置关系
84．（2025高三·全国·专题练习）若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（ ）．
A．存在过点的直线与该双曲线相切
B．不存在过点的直线与该双曲线相切
C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切
D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点
85．（2025·北京门头沟·模拟预测）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
86．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
87．（2025高三·云南昆明·阶段练习）若集合，，则A∩B所含元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
88．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
89．（2025·江苏·模拟预测）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
90．（2025高三·安徽合肥·阶段练习）已知双曲线，直线l过点，则（ ）
A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2
B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或
C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是
D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段中点的轨迹是直线
考点15 双曲线的弦长问题
91．（2025高三·全国·专题练习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）条．
A．0B．1C．2D．3
92．（2025高二·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．14D．18
93．（2025高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
94．（2025高三·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（ ）
A．6B．8C．D．
95．（2025高二·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点16 双曲线的中点弦问题
96．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
97．（2025·内蒙古包头·模拟预测）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
98．（2025·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．3
99．（2025高三·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
100．（2025高二·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
考点17 双曲线的面积问题
101．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（ ）
A．B．或6C．D．或
102．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
103．（2025·江西·模拟预测）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
104．（2025·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若直线的斜率为1，求的面积.
(3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点.
105．（25-26高二·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求C的方程.
(2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D.
（i）证明：直线DN恒过点；
（ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值.
106．（25-26高三·湖北·阶段练习）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程．
(2)直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点．
①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标；
②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值．
考点18 双曲线的最值问题
107．（25-26高二·河南郑州·阶段练习）已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（ ）
A．16B．17C．19D．20
108．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
109．（2025高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆长轴的两端点，P，Q是椭圆上关于轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为．若椭圆的离心率，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
110．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
111．（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
112．（2025高三·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
(2)设点，当时，求点A的坐标；
(3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．
113．（25-26高二·江苏淮安·阶段练习）已知圆，将圆各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，设曲线与轴正半轴交于点，点在曲线上.
(1)求曲线的方程及的最大值；
(2)设曲线与轴正半轴交于点，若线段与线段交于点，恒成立，求实数的最小值.
考点19 双曲线的向量问题
114．（2025高三·全国·专题练习）已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为（ ）
A．B．C．D．
115．（2025高三·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
116．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
117．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．不确定
118．（2025高二·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足．
(1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
119．（2025高二·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6．
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程．
120．（2025高二·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求．
考点20 双曲线的证明问题
121．（25-26高二·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔：
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线．
122．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于，两点，证明：直线与圆相切的充要条件是.
123．（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为.
(1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值；
(2)证明：；
(3)求的值.
124．（25-26高三·海南海口·阶段练习）已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点.
(1)求双曲线的实轴长和离心率；
(2)证明：直线的方程为；
(3)求的面积.
125．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点．
(1)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明）
(2)是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合）
126．（2025高二·广东·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，，点在的左支上，点在的右支上，若三点共线，且三点共线，证明：直线与圆相切．
考点21 双曲线的探索性问题
127．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知点，动点 满足
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线与曲线交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
128．（2025高二·安徽阜阳·期末）已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B.
（i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围.
129．（2025高二·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别是，求证: ；
(3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由.
130．（2025高二·上海浦东新·开学考试）直线l：与双曲线C：相交于A，B两点.
(1)a为何值时，以为直径的圆过原点；
(2)是否存在这样的实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由.
考点22 双曲线的定点问题
131．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上．
(1)求C的方程．
(2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值．
（ii）证明：直线恒过定点．
132．（25-26高二·全国·期中）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过P作直线的垂线，垂足为N. 证明：直线过定点；
133．（25-26高三·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值.
134．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
135．（2025·山东济南·模拟预测）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.
①证明：直线过定点；
②求面积的最小值.
136．（2025高二·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.
(1)求的标准方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.
137．（25-26高三·湖北宜昌·阶段练习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点.
（i）求动点的轨迹；
（ii）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
138．（2025高三·全国·专题练习）直线与双曲线交于两点．
(1)当为何值时，分别在双曲线的两支上？
(2)当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？
139．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且焦距为．
(1)求的方程；
(2)上是否存在点，使得过点可作的两条互相垂直的切线？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
140．（2025高二·河南商丘·期末）已知双曲线.
(1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程.
(2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
考点23 双曲线的定值问题
141．（25-26高二·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且双曲线过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的两条斜率存在且不重合的直线与的右支分别交于两点和两点，且.设直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）证明：的值为定值；
（ii）若四边形的面积用直线的斜率表示为，求直线的斜率的值.
142．（25-26高三·广东惠州·阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)设点A为C的左顶点，若过点的直线与C的右支交于P，Q两点.
（i）证明：直线和直线的斜率乘积为定值.
（ii）若直线，与圆O：分别交于M，N两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
143．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为．
(1)求E的方程；
(2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值．
144．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的上、下焦点分别为，．已知点，均在双曲线上，其中e为双曲线的离心率．

(1)求双曲线的离心率；
(2)设A，B是双曲线上位于y轴右方的两点，且，与交于点P．证明：是定值．
145．（25-26高三·辽宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
146．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，且的一条渐近线的斜率为2.
(1)求的方程；
(2)如图，记的右顶点为，过点作直线与的左支分别交于两点，且为垂足．证明：存在定点，使得为定值，并求出点坐标．
考点24 双曲线的定直线问题
147．（25-26高三·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合.
(1)求双曲线的焦距和离心率；
(2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
(3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
148．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．
(1)求双曲线的方程．
(2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
(3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上．
149．（25-26高三·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点.
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于.
（i）证明：三点共线；
（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.
150．（25-26高三·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上．
151．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
152．（2025高三·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上．
考点25 双曲线的综合问题
153．【多选】（25-26高二·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（ ）
A．直线的斜率
B．若，则
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则点坐标为
154．【多选】（25-26高三·河南新乡·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（ ）
A．的离心率
B．线段长度的最小值是
C．一定是线段的中点
D．面积的最小值是
155．【多选】（25-26高三·山东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ）
A．直线的斜率为B．的离心率为2
C．到上最近点的距离为D．
156．【多选】（25-26高三·河北石家庄·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．当时，
C．若，则的面积为
D．当时，的内切圆半径为
157．【多选】（2025高二·湖南永州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．记直线、的斜率分别为、，则
B．若，则
C．的最小值为6
D．的取值范围是
双曲线定义的应用策略
1．根据定义判断轨迹是否为双曲线，要特别注意双曲线定义的条件．
2．利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题时，注意“焦点三角形”的性质的运用．
求双曲线的标准方程的方法
1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2的值，写出双曲线的方程．
2．待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定位，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意：(1)双曲线与椭圆的方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn0)；
③已知渐近线为eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)．
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：．
先确定双曲线标准方程形式（焦点在x轴或y轴），明确a²、b²对应值。由c²=a²+b²计算c值，焦点坐标为(±c,0)或(0,±c)，焦距为2c。注意方程化为标准形式，避免因系数符号错误导致焦点位置判断失误。
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的“焦点三角形”有以下结论：
(1)若∠F1PF2＝α，则△F1PF2的面积S△F1PF2＝eq \f(b2,tan\f(α,2)).
(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点．
(3)在焦点三角形PF1F2中，利用|PF1－PF2|＝2a，F1F2＝2c，借助余弦定理、正弦定理进行转化，可求得离心率的值或取值范围，常将|PF1－PF2|＝2a平方建立与PF1·PF2的联系．
用两点间距离公式结合双曲线方程消元转化为二次函数求解；
和、差最值用双曲线定义转化，搭配三角形三边关系，将线段转化为共线情况求最值。
1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2−y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2−x2b2＝0，得y＝±abx．
2．求双曲线的渐近线方程时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±eq \f(b,a)＝±eq \f(\r(c2－a2),a)＝±eq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \r(e2－1).
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
核心是建立e的不等式，且e>1。根据题干条件（如点在双曲线上、直线与双曲线相交等），转化为a、b、c的关系，结合c²=a²+b²消去b，得到关于e的不等式，求解后结合e>1的范围，确定最终取值区间。
优先用定义法：若动点到两定点距离差的绝对值为定值（小于定点间距离），直接判定为双曲线。也可用相关点法（代入法）或直译法，翻译题干条件为坐标关系，整理为标准方程，注意标注变量取值范围。
先明确椭圆和双曲线的核心参数a、b、c对应关系，利用共焦点、共顶点等条件建立参数联系，求解参数或离心率等问题。
双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响.
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、利用弦长与点到直线距离计算三角形面积公式
若直线与双曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与双曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.
(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加
圆锥曲线中最值、范围问题的求解策略
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
将向量条件转化为坐标关系，设双曲线上点坐标（参数式或直角坐标），代入向量垂直、平行、数量积等条件，建立方程。结合双曲线方程消元，求解参数或证明结论，注意向量运算与代数运算的转化。
圆锥曲线中的证明问题，是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等)．
双曲线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法.
求解直线或曲线过定点问题的常用方法
（1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0) ，则直线必过定点(x0,y0) ；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
定值问题的两种求解方法
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
设直线方程（分斜率存在、不存在两类），与双曲线方程联立，利用韦达定理表示根与系数关系。结合题干定点、定值条件化简，消去参数得到直线方程，验证渐近线等特殊情况，确保直线对任意参数均成立。
拆解为基础考点（焦点、离心率、轨迹等），分步突破。联立双曲线与直线 / 曲线方程，用韦达定理搭建运算桥梁，结合向量、函数、不等式等知识转化条件。关注双曲线渐近线特性，巧用参数法或数形结合简化复杂运算。
考点培优练03 双曲线方程及其性质25大考点
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13341" 考点01 双曲线的定义及其应用 PAGEREF _Tc13341 \h 1
\l "_Tc5129" 考点02 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc5129 \h 4
\l "_Tc18185" 考点03 双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc18185 \h 8
\l "_Tc19183" 考点04 双曲线的焦点、焦距 PAGEREF _Tc19183 \h 10
\l "_Tc26878" 考点05 双曲线的焦点三角形 PAGEREF _Tc26878 \h 12
\l "_Tc20545" 考点06 双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc20545 \h 16
\l "_Tc23061" 考点07 双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc23061 \h 18
\l "_Tc12780" 考点08 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc12780 \h 24
\l "_Tc28128" 考点09 求双曲线离心率的值 PAGEREF _Tc28128 \h 27
\l "_Tc17736" 考点10 求双曲线离心率的取值范围 PAGEREF _Tc17736 \h 34
\l "_Tc23607" 考点11 双曲线的轨迹方程 PAGEREF _Tc23607 \h 42
\l "_Tc17190" 考点12 椭圆与双曲线综合 PAGEREF _Tc17190 \h 47
\l "_Tc16792" 考点13 双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc16792 \h 51
\l "_Tc18739" 考点14 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc18739 \h 57
\l "_Tc4989" 考点15 双曲线的弦长问题 PAGEREF _Tc4989 \h 63
\l "_Tc4991" 考点16 双曲线的中点弦问题 PAGEREF _Tc4991 \h 66
\l "_Tc12360" 考点17 双曲线的面积问题 PAGEREF _Tc12360 \h 69
\l "_Tc5930" 考点18 双曲线的最值问题 PAGEREF _Tc5930 \h 77
\l "_Tc12223" 考点19 双曲线的向量问题 PAGEREF _Tc12223 \h 86
\l "_Tc12162" 考点20 双曲线的证明问题 PAGEREF _Tc12162 \h 97
\l "_Tc39" 考点21 双曲线的探索性问题 PAGEREF _Tc39 \h 105
\l "_Tc22812" 考点22 双曲线的定点问题 PAGEREF _Tc22812 \h 111
\l "_Tc32130" 考点23 双曲线的定值问题 PAGEREF _Tc32130 \h 127
\l "_Tc4783" 考点24 双曲线的定直线问题 PAGEREF _Tc4783 \h 142
\l "_Tc23424" 考点25 双曲线的综合问题 PAGEREF _Tc23424 \h 154
考点01 双曲线的定义及其应用
1．（25-26高二·河北衡水·阶段练习）已知双曲线上一点到它的左焦点的距离是，则点到它的右焦点的距离是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【分析】先根据双曲线方程求出基本参数，再利用双曲线定义得到点到两焦点距离的关系，结合双曲线的几何性质判断点所在分支，从而确定点到右焦点的距离.
【详解】设点到双曲线的右焦点距离是，由可知，，
即，，所以，
则由双曲线定义，解得或.
当时，，不符合，舍去.
当时，，符合.所以点到它的右焦点的距离是.
故选：D
2．（25-26高二·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的左支上
C．双曲线的右支上D．圆上
【答案】B
【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
设所求圆的圆心为，半径为，如图所示，
，，
所以，且，
所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支．
故选：B.
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1B．13C．1或13D．2或14
【答案】B
【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得.
【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，，
根据双曲线定义，，
解得或1，又，所以.
故选：B.
4．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线，
因为，，所以，
所以其轨迹方程为.
故选：B
5．（25-26高二·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解.
【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点，
又为的中点，所以且．
连接，因为点关于点的对称点为，
线段的垂直平分线与直线相交于点，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，，
所以，所以曲线的方程为，
令可得，即．
考点02 双曲线的标准方程
6．（25-26高二·全国·课后作业）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，再由离心率和关系求，得到双曲线的标准方程.
【详解】 依题意，，，解得，，
所以，
故该双曲线方程为．
故选：A.
7．（2025高二·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解.
【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故，
又和，
解得，故双曲线方程为，
故选：A
8．（2025·湖北十堰·模拟预测）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质求出、、的值，利用椭圆的定义可知曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，求出、的值，即可求出椭圆的方程.
【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，则，
所以，双曲线的方程为，
因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，
由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，则，所以，，
因此，椭圆的方程为.
故选：D.
9．（2025·天津河东·模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求点到渐近线的距离，再根据可求得、，即可根据三角形面积列出关系式，再根据得出关系式，即可解方程组求出.
【详解】设双曲线的半焦距为，设轴与准线交于点，
则，①，准线方程为，
不妨设直线与渐近线垂直，
则点到直线的距离，则，
因，则，，
则②，
因，即，则③，
联立①②③得，，则双曲线的方程为.
故选：B
10．（2025高二·广东深圳·期末）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由渐近线斜率结合点在双曲线上列出等式，求解即可.
【详解】由，可得渐近线方程为：，
所以，即，
又点在双曲线上，可得：，
联立解得：，
所以双曲线的方程为：，
故选：C
11．（2025高三·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得.
【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且，
故可设所求双曲线方程为：，依题得：，
解得：，故所求的双曲线方程为：.
故选：D.
考点03 双曲线方程的充要条件
12．（25-26高三·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或，
所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件.
故选：A.
13．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线，则“”是“双曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义结合充分、必要条件的定义求解即可.
【详解】由双曲线，可得，此时双曲线的焦点在轴上，
又，所以“”是“双曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件.
故选：A.
14．（25-26高二·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，
故的取值范围为．
故选：B.
【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．
15．（2025高二·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可．
【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即
故选：A．
16．（2025高二·辽宁沈阳·阶段练习）“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】由方程表示的焦点在轴的双曲线求出的范围，再根据充分必要条件的概念判断即可.
【详解】方程表示的焦点在轴的双曲线，
所以“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的必要不充分条件.
故选：B
考点04 双曲线的焦点、焦距
17．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）已知双曲线，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出的值，即可得出该双曲线的实轴长.
【详解】双曲线的标准方程为，所以，
所以双曲线的实轴长为.
故选：B.
18．（2025高二·浙江·阶段练习）已知双曲线的焦距为6，则为（ ）
A．5B．C．D．32
【答案】A
【分析】由双曲线的相关概念求解即可.
【详解】因为双曲线的焦距为6，
所以，即，且，，
所以，故，
故选：A
19．（2025·浙江温州·模拟预测）双曲线的一个焦点为，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】由双曲线中的平方关系即可得出答案.
【详解】由题意得，所以．
故选：A.
20．（2025高二·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．24B．25C．7D．8
【答案】D
【分析】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得．
【详解】由题意，，，
故选：D．
考点05 双曲线的焦点三角形
21．（25-26高三·四川眉山·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.
【详解】

如图，由可知，，
由对称性，不妨设点在第一象限，
设，由定义，
，
，
的面积为.
故选：B
22．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解．
【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，即．
故选：A．

23．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义和余弦定理以及三角函数二倍角公式即可求解.
【详解】设，，，
列，
所以．
，
故选：A．
24．（25-26高二·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义可求得的周长.
【详解】如图，由题意可得，的周长为，
由双曲线的定义可得，又，
所以，
所以的周长为12．
故选：B.

25．（2025高二·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可.
【详解】由题意得，，所以①，
在中，由余弦定理得，
即②，联立①②，解得，
因为，
所以在和中，由余弦定理，得，
结合，可得，
所以，
所以，
所以，得，
所以，
所以，解得．
故选：A
考点06 双曲线上两点距离的最值问题
26．（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，且，
则有，得，
将点代入双曲线中得，所以 ①．
因为，即同向，
所以，所以，
将①代入上式并整理得，
即，则，等号能取到，
所以．
故选：B．
27．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，
所以可知双曲线，解得.
因为为双曲线右支上任意一点，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：C
28．（2025高二·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即，
则，
因为或，所以，当时，可得，
所以的最小值为.
故选：D.
考点07 双曲线上两线段的和差最值问题
29．（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．11B．9C．D．5
【答案】B
【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得．
【详解】由，得，，，
所以上焦点，则下焦点为，又，
由双曲线的定义得，
由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．

故选：B．
30．（2025高二·江西南昌·期中）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果．
【详解】由得，，
，
所以下焦点，上焦点为，
由双曲线的定义得
，
当，，三点共线时，取得最小值9．
故选：A．
31．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值．
【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即．
所以．
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，则，即．
所以的最小值为10．
故选：C．
32．（2025·河北石家庄·模拟预测）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解.
【详解】如图，设双曲线的左焦点为，
由双曲线的定义得，
所以的最小值为.
故选：B.
33．（2025高二·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可.
【详解】因为双曲线的右焦点为，则，
且，可得，则，，，
所以，双曲线的标准方程为，如下图所示：
双曲线的左焦点为，且，
同理可得，
由双曲线的定义可得，所以，，
所以，的周长为，
当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立，
所以，周长的最小值为.
故选：A.
34．（2025高一·广东·阶段练习）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值.
【详解】双曲线中，如图所示：
，，，设左、右焦点为，，
，，
，
，三点共线且在之间时取等号，
，则，共线且在之间时取等号，
所以.
故选：D
35．（2025高二·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．15
【答案】B
【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案.
【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，，
连接，，，，则，
因为，，
所以
，
当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，
故选：B.
36．（2025高二·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，的最小值为6，则此双曲线的焦距为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】结合双曲线的定义可得，进而可得，再由线段的中点在C的渐近线上得到，从而求得即可得解.
【详解】依题意，，
当三点共线时，取等号，此时，即，
因为渐近线为，
又的中点坐标为，代入渐近线方程得，则，
所以，则，得，所以，
则此双曲线的焦距为.
故选：C.
考点08 双曲线的渐近线
37．（25-26高三·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】写出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】双曲线 的顶点坐标为，渐近线方程为即，
根据双曲线的对称性，取顶点，渐近线，
根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为.
故选：C．
38．（25-26高三·云南·期中）双曲线：的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解.
【详解】因为双曲线：，所以，
则的渐近线方程为.
故选：C.
39．（25-26高三·河北沧州·阶段练习）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案.
【详解】双曲线C：的渐近线方程为，
因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线，
即，
解得，
所以双曲线方程为：，
所以虚轴长为，
故选：D．
40．（25-26高三·北京房山·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则实数（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】求出渐近线方程为，从而得到答案.
【详解】的渐近线方程为，
又渐近线方程为，故.
故选：B
41．（25-26高三·河南·开学考试）记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据焦点坐标即可求解，进而根据渐近线方程求解.
【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以，
故渐近线方程为，
故选：B
42．（25-26高三·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距.
【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即，
双曲线方程可表示为，
点在C上，有，解得，即，得，
双曲线中为半焦距，则有，得，
所以双曲线C的焦距为.
故选：D
43．（25-26高三·河南商丘·开学考试）已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】先设出渐近线方程，再利用基本量的关系得到，最后结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】不妨取的一条渐近线的方程为，
又，且由双曲线中基本量的关系得，
则由点到直线的距离公式得．
故选：A．
考点09 求双曲线离心率的值
44．（25-26高二·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出.
【详解】因为，所以设，则，
因为点在轴上，所以，
因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即，
由，所以，所以，
即，解得，
所以，，则，
在中，由余弦定理得：，
即，所以，所以.
故选：B.
45．（25-26高三·湖南·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，左，右顶点分别为，，M为C上一点，且轴，点N在线段上，直线交y轴于H点，直线交y轴于G点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形相似可得，，即可根据得解.
【详解】因为轴，轴，则，
所以，则，同理.
因为，则，
即，得，所以.
故选：A
46．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，且，，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．
C．D．3
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义，结合图形，表示出各个线段长度，在，Rt中利用勾股定理列出关系式即可得解.
【详解】
由题意设，
根据题意可知，
在中，，得，
从而，
在Rt中，，得，即．
故选：C
47．（25-26高三·山东青岛·阶段练习）已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过原点O的直线与E的左、右两支分别交于A，B两点，点C在E上，，若以AB为直径的圆过点，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值．
【详解】连接，，，
由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形，
可设，则，
在直角三角形中，可得，
即为，
解得，
又在直角三角形中，，
即为，
即为，
即有，
故选：C．
48．（25-26高二·河北衡水·阶段练习）已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件，可得出与的关系，进而求出双曲线的离心率.
【详解】设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则，
所以，
又点、在双曲线上，得，两式相减得，
可得，因为，所以，
因此.
故选：A
49．（25-26高三·云南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由，根据双曲线的定义，可得，
因为，可得，且，
在中，由余弦定理得，
整理得，所以
又由双曲线的离心率，即双曲线的离心率为.
故选：B.
50．（25-26高二·河南·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为．
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且，
所以双曲线的离心率．
故选：A．
51．（2025高三·北京·专题练习）若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解.
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，，
所以，即，
所以，即，即，
所以，则.
故选：C.
52．（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解.
【详解】因为的渐近线上一点满足，且，

所以在中，而，则，
所以，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：B
53．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可.
【详解】因为，所以，即，
令，得到，，
由双曲线定义得，，
因为以AB为直径的圆过，所以，
故，得到，
整理得，解得，
则，，
在中，由余弦定理得，
得，
整理得，则，故A正确.
故选：A
考点10 求双曲线离心率的取值范围
54．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的两条渐近线分别为与与为上关于原点对称的两点，为上一点且（为双曲线离心率），则双曲线离心率可能的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得渐近线方程，设出点坐标，结合，化简可得，再利用导数确定零点个数，结合零点存在定理求解即可.
【详解】设直线的方程为，则直线的方程为，
设点，，则点，
，，，
即，即，令，
，在时，恒成立，
单调递增，
又，，，
由零点存在性定理可知方程的解在区间内.
故选：C．
55．（25-26高三·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围.
【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得，
设，则，即点，
因此，整理得，由，得，则，
于是，解得，即，则的离心率，
所以的离心率的取值范围为.
故选：A
56．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得，由可得，据此可得答案.
【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式，
得点到直线的距离，点到直线的距离.
因，则.
由
,则.
故选：C．
57．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与圆相切，与交于第一象限的一点．若，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的方程，利用圆的切线性质，结合离心率的定义求出范围.
【详解】依题意，点，直线的方程为，
圆的圆心为，半径为，
由直线与圆相切，得，
令双曲线离心率为，又，则，
因此，即，解得，
所以的离心率的取值范围是.
故选：A
58．（2025·安徽黄山·模拟预测）已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得不等式，利用双曲线的离心率计算公式和范围，求解不等式即得其范围.
【详解】依题意，，而，
因，故得.
故选：B.
59．（2025高三·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解.
【详解】
由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得，
设，由，得，所以，
解得，即，
因为点N在双曲线C上，所以，
所以，解得.
因为，所以，则，
所以，又.所以.
故选：B
60．（2025高二·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，将向量的数量积转化成坐标运算，结合双曲线的几何性质，化简，得到相关不等式，解不等式即可得到结果.
【详解】设，则，即，
设双曲线的半焦距为，则
所以，
，
因为双曲线上的点坐标都满足，所以.
则有即，所以
故选：D.
61．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双曲线没有交点得到不等式，最后根据双曲线的离心率求得范围；
【详解】易知渐近线方程为，
因为，所以．
又l与C没有交点，所以，则，所以．
故选：C.
62．（2025高三·湖北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围.
【详解】由题可得：，，
，
又，
所以，
又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，
所以，
即，，
可得，
又，
所以双曲线离心率的取值范围是
故选：C
63．（2025高二·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得，
因此，由，得，
则，即，，
所以的取值范围是.
故选：D
64．（2025高二·北京丰台·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所给命题的真假．
【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则，
所以，，
所以，且，
则，所以A正确．
故选：A．
65．（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可得，在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，由双曲线的定义可知，，
又四边形为等腰梯形，且，则，
则，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
化简可得，即，解得，
又，所以.
故选：D
考点11 双曲线的轨迹方程
66．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设动点的坐标为，则（）.逐项代入求出动点的轨迹方程即可求解.
【详解】设动点的坐标为，则（）.
若，则，整理得（），
此时动点的轨迹是圆上去掉点，，不符合题意，故选项A错误；
若，则，整理得（），
此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项B错误；
若，则，整理得（），
此时动点的轨迹是椭圆上去掉点，，符合题意，故选项C正确；
若，则，整理得（），
此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项D错误.
故选：C.
67．（2025高二·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合双曲线的定义求得正确答案.
【详解】
圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得,
所以,
所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，，
所以点的轨迹方程为.
故选：A.
68．（2025高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B
69．（2025高二·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可.
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，所以,
所以，点的轨迹为双曲线的右支.
设双曲线的方程为，则，，，
所以，点的轨迹方程为.
故选：D.
70．（2025高二·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得.
【详解】设点，则，
化简即得：.
即点的轨迹方程为：.
故选：B.
71．（2025高二·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用直接法求解.
【详解】解：由题意可得，
化简得．
故选：B
72．（2025·浙江·模拟预测）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案.
【详解】设，依题意，，化简整理得，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
73．（2025高三·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点，则的斜率为，的斜率为，
故，
所以，故D正确.
故选：D
考点12 椭圆与双曲线综合
74．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，，
设，则
所以；由于，
因为，所以，则，则，
因为，所以
故选：B
75．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，根据关系求出后即可得解.
【详解】椭圆的焦点为，
所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即，
因为的离心率是2，所以，即，
所以，故双曲线的标准方程为.
故选：A
76．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的渐近线斜率小于，可得，再结合椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于，
所以，即，
设椭圆的焦距为，离心率为，
则，
可得.
故选：B.
77．（2025·四川南充·模拟预测）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由两曲线有公共焦点得，接着由线段的垂直平分线求得，再结合椭圆和双曲线定义以及勾股定理依次求得和即可由渐近线定义得解.
【详解】设，则由题：，
又的离心率为，所以，
即，，即，
令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点，
又O是的中点，则，所以，
又，所以，
所以，则，即，
所以的渐近线方程为.
故选：B.
78．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题及图可得，联立椭圆双曲线方程，以及椭圆与双曲线渐近线方程，用表示，据此可得答案.
【详解】由图，因四边形与四边形全等，则.
将椭圆方程与双曲线方程联立：，
则，
则；
注意到双曲线渐近线方程为：，将椭圆方程与渐近线方程联立：
，
则.
因，则，
即.
所以
故选：C.
考点13 双曲线的实际应用
79．（2025高二·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率.
【详解】由题意知延长 则必过点 ，
，
设，
则，，
由双曲线的定义可得
，，
由可得，
在中，由余弦定理
可得，
在中，由余弦定理
可得
解得：，
则，
故选：D
80．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】设炮弹爆炸点P的坐标为，则，
所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支．
因为，所以．又，
所以，
故炮弹爆炸点的轨迹方程为．
故选：B．
81．（2025高二·云南丽江·阶段练习）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．
【详解】设，，，由题意知，，，
所以，，，
所以，
又，所以，解得或（舍去），
所以，则，
则.
故选：C.
82．（2025高二·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

A．B．18cmC．D．
【答案】D
【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，
设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为，
由双曲线的离心率为，得，则，
由喉部（中间最细处）的直径为，得，
所以双曲线的方程为，设点，
由，得，所以该塔筒的高为.
故选：D

83．（2025高二·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东B．北偏东C．北偏西D．北偏西
【答案】A
【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论.
【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，
因为、比处同时晚收到信号，所以有，
从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，
如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，，
所以，双曲线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即点，
从而，所以，直线的倾斜角为，
则在处测得的方向角为北偏东，
故选：A.
考点14 直线与双曲线的位置关系
84．（2025高三·全国·专题练习）若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（ ）．
A．存在过点的直线与该双曲线相切
B．不存在过点的直线与该双曲线相切
C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切
D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点
【答案】C
【分析】根据题意设切线方程，得到相切的条件，根据条件分析时，点，此时不存在与双曲线相切的直线，时，根据切线过渐近线上的点确定切线的唯一性即可判断ABC，与渐近线平行或与双曲线相切的直线与双曲线都是只有一个交点即可判断D.
【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切），
则设切线方程为，
则，
，
所以，
当时，，解得与题设矛盾，
即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切，
当时， ，
又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点，
则，解得，
所以，
又，所以，
则，
所以每一个点，的值只有一个，
所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误；
对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点，
与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误；
故选：C.
85．（2025·北京门头沟·模拟预测）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
86．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，
由可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
故选：D.
87．（2025高三·云南昆明·阶段练习）若集合，，则A∩B所含元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用交集的定义、双曲线与直线的位置关系即可判断出结果.
【详解】由双曲线的渐近线方程为；
则直线与双曲线的渐近线平行，
所以直线与双曲线仅有一个公共点；
故选：.
88．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得的值，从而可进行判断.
【详解】直线与与双曲线只有一个公共点，
联立方程组，消去得，，
当，即时，直线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当，即时，，
此时直线与双曲线恒有两个不同的交点；
当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点，
由能推出直线与双曲线只有一个公共点，
反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出，
“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
89．（2025·江苏·模拟预测）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围．
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线有两个不同的交点，
又直线过原点，则
则的取值范围是.
故选：B．
90．（2025高三·安徽合肥·阶段练习）已知双曲线，直线l过点，则（ ）
A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2
B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或
C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是
D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段中点的轨迹是直线
【答案】B
【分析】由题意，结合渐近线方程的斜率即可判断选项A；设出过点的直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，根据Δ＝0即可判断选项B；若直线l与双曲线有两个不同的公共点，此时需满足，求出k的取值范围，进而可判断选项C；设出A，B两点的坐标，因为A，B两点均在双曲线的渐近线方程上，代入即可判断选项D．
【详解】因为过点作与双曲线相切的直线有2条，
作与渐近线平行的直线有2条，
则过点作与双曲线只有一个公共点的直线共有4条，故A错误；
其中2条与渐近线平行的直线的斜率显然是，
设过点的直线l的方程为，
联立，消去y并整理得，
若直线l与双曲线1相切，此时，
解得，故B正确；
若直线l与双曲线有两个不同的公共点，
此时，
解得，故C错误；
易知双曲线的渐近线为，
设， 的中点为，
因为，所以，可得，
即，所以，即，
则线段中点的轨迹方程是，
此方程表示的曲线是双曲线而不是直线，故选项D错误．
故选：B．
考点15 双曲线的弦长问题
91．（2025高三·全国·专题练习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）条．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，双曲线的通径长度为4，恰好符合，斜率存在时，因，由对称性知有2条符合，综合考虑即得.
【详解】由，可得1
当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求；
当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求；
若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求.
故这样的直线共有3条．
故选：D.
92．（2025高二·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．14D．18
【答案】A
【分析】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长.
【详解】由得，即，
所以.
故选：A.
93．（2025高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可.
【详解】由题意知，，则.
若直线轴时，，代入方程，
解得，所以，此时直线不满足题意；
当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时，
设，，
，消去得，
则，
所以
，
又，所以，整理得，
得或，解得（舍去）或，
所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条.
综上，满足题意的直线有2条.
故选：C
94．（2025高三·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】D
【分析】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长.
【详解】
由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为，
联立可得.
设，则.①
由，则，又所以.②
由①②可得，所以，
解得或（舍），，
所以.
故选：D.
95．（2025高二·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长．
【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为①
将其代入双曲线方程消去得，，解之得，．
将，代入①，得，，
故．
故选：C．
考点16 双曲线的中点弦问题
96．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程.
【详解】设，，
则，两式相减得，
，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C
97．（2025·内蒙古包头·模拟预测）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】设，，
因为线段的中点为，所以，，
所以，两式相减可得：，
即，
所以，即，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，
化简为：，经检验符合题意.
故选：A.
98．（2025·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率.
【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理.
由，两式相减整理得，
所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以，
所以，，
由，得，所以.
故选：C.
99．（2025高三·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率.
【详解】设中点为，由题设易知，故，
因为，故，
所以，而，故，
故，故.
故选：A
100．（2025高二·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法来求得正确答案.
【详解】设，
则，
两式相减并化简得，
（负根舍去）.
故选：B
考点17 双曲线的面积问题
101．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（ ）
A．B．或6C．D．或
【答案】C
【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可.
【详解】
易得，故，设，，
直线与轴交点，面积为，面积为，
由题意得面积是面积的2倍，则，
化简得，结合，
故，解得，即，故，解得.
故选：C.
102．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】求得右焦点的坐标，渐近线方程，进而求得的坐标，可求的面积.
【详解】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为，
因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为，
所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为，
所以，所以的面积为.
故选：C.
103．（2025·江西·模拟预测）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
由，则，
不妨设在双曲线的右支上，设，，又，
由双曲线的定义可得，
在中由余弦定理可得，，
即，解得，
所以.
故选：D
104．（2025·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若直线的斜率为1，求的面积.
(3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的方程；
（2）依题得直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，消元后写出韦达定理，根据计算即得；
（3）在直线的斜率不为0时，设，将其与双曲线的方程联立，写出韦达定理，求出直线的方程，令，求得点，写出直线的方程，令，经过化简并将韦达定理代入可推出，即得定点，验证斜率为0的情况即得证.
【详解】（1）由题意，得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由，可知，则直线的方程为，
代入，消去，可得，
设，则，
由图知，的面积为
.
（3）当直线的斜率不为0时，设，
将其代入，消去，整理得，
则，
且，则（*）
直线的方程为，令，代入解得，即，
于是直线的方程为，令，
可得
，
故此时直线经过定点.
当直线的斜率为0时，点分别是双曲线的左右顶点，此时直线即轴，显然经过点.
综上，直线经过定点.

105．（25-26高二·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求C的方程.
(2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D.
（i）证明：直线DN恒过点；
（ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）15
【分析】（1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案.
（2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案.
【详解】（1）由题意知解得
所以C的方程为.
（2）（i）设l：，点，，.
由可得，
因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以，
且，，
直线DN：，
令，得，
又，
所以直线DN恒过点.
（ii）如图，设，
则.
设，则，在上单调递增，
所以当时，S取最小值，最小值为15.
106．（25-26高三·湖北·阶段练习）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程．
(2)直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点．
①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标；
②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②9
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质求出，进而得出双曲线方程；
（2）①根据已知条件结合圆的性质得出，设直线方程为，联立双曲线方程，根据韦达定理得出坐标关系，结合垂直关系得出向量数量积为0，从而解出的值，求出点坐标证明结论；②利用①结论联立方程，运用韦达定理结合三角形面积公式得出三角形面积表达式，结合位于右支得出参数取值范围，构造函数求出面积最小值．
【详解】（1）双曲线的左右顶点分别为且，
，，
，，
，
双曲线：．
（2）①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，( )，
，
，，
，，解得或，若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，
，
由①知，直线：，
联立双曲线方程得( ),
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得
，
令，，解得，
，
求导得，在时恒成立，
在单调递增，在时取最小值，，
的最小值为9．
考点18 双曲线的最值问题
107．（25-26高二·河南郑州·阶段练习）已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（ ）
A．16B．17C．19D．20
【答案】C
【分析】由为圆N：的任一直径，得到 ，且，求出，设，代入椭圆方程得到，又，求出，根据，解出 ，结合二次函数的图像求出最大值.
【详解】为圆N：的任一直径，，且，，设，则有，解得，又，，，，当时，取得最大值20，此时，的最大值为19.
故选：C.
108．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】运用数形结合的思想，判断圆与椭圆的位置关系，再联立方程组进行运算.
【详解】由题意可得椭圆与圆不可能相离或内含；
当椭圆与圆相切即有如图所示的交点，由图显然可知公切线段长为0；
当椭圆与圆相交有下图所示的公切线，故而存在公切线段长；
设点所在公共切线的方程为，，
联立，
，,
联立，
，，
所以,
，又，，
．
因为，当时，取最大值为1．
综上所述，当时，．
故选：A
109．（2025高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆长轴的两端点，P，Q是椭圆上关于轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为．若椭圆的离心率，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：设出点P，Q，A，B的坐标，表示出直线AP，BQ的斜率，作和后求最值，利用离心率求得与的关系，则答案可求．
解法二：利用椭圆的第三定义得到，进而得到，借助基本不等式得到答案.
【详解】解法一：由已知可得，则．

设点，则，由，可得
设点，则 ．
因为点在椭圆上，所以，所以当时，取得最小值，最小值为．
故选：D．
解法二（二级结论法）：
设，则，,
，，
，且
将带入，，
，
，
，则，
所以，
当且仅当时取等号，
故选：D．
110．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先设出直线的方程，表示出，利用函数单调性可得答案.
【详解】由题意得，直线的方程为，则，
直线的方程为，故,，
由可得，整理得，
函数在上单调递减，即，
故选：C．
111．（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线，，相交于点，由三角形全等得到为的中点，，由中位线用表示，从而得到取值范围.
【详解】设直线，，相交于点，

因为，所以，即，又因为，是公共边，
所以与全等，所以为的中点，，
又为线段的中点，所以.
在中，，
因为存在，所以不共线，所以不能取等号，
又因为不是顶点，所以，即，所以，
所以.
故选：C.
112．（2025高三·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
(2)设点，当时，求点A的坐标；
(3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)或
(3)
【分析】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解；
（2）利用点和点的中点可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点坐标；
（3）第三问分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率存在时，设斜率为，设点、坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题.
【详解】（1）由题意可知，，所以，
又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为，
由得，，
所以弦的长为.
（2）因为，且直线过点，
所以，在中，，
所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点,
所以，又由椭圆的定义可得，
所以点在线段的垂直平分线上，
又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点，
所以或.
（3）当直线的斜率不存在时，不妨设，
所以，
故；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设，
由得，，
所以，
所以，
化简得，
①当时， ，当且仅当时等式成立；
②当时，，当且仅当时等式成立；
③当时，；
综上所述可得，的取值范围为.
113．（25-26高二·江苏淮安·阶段练习）已知圆，将圆各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，设曲线与轴正半轴交于点，点在曲线上.
(1)求曲线的方程及的最大值；
(2)设曲线与轴正半轴交于点，若线段与线段交于点，恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）设曲线上任意一点为，对应圆上的点为，利用代入法即可得曲线，设点，得，即，由二次函数即可求解；
（2）先求直线和的方程，进而求交点的坐标，由两点的距离公式得，进而得，即，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设曲线上任意一点为，对应圆上的点为，
则有，代入，得，
所以曲线的方程为：，
令，得，所以，
设点，所以，
所以，
又，
所以当时，，
所以的最大值为；
（2）由（1）有直线的方程为：，
又由，令，解得，即点，
所以直线的方程为，即，
因为，即，
所以，
由有：，即，
又因为，所以，即，
又，所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即实数的最小值为.
考点19 双曲线的向量问题
114．（2025高三·全国·专题练习）已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，，易得，且，，根据几何关系、双曲线的定义得，即可得.
【详解】由，知，设，，又，

则，，①，②，
设，则，即③，
由①②③，整理得.
故选：B
115．（2025高三·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解.
【详解】
由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得，
设，由，得，所以，
解得，即，
因为点N在双曲线C上，所以，
所以，解得.
因为，所以，则，
所以，又.所以.
故选：B
116．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可.
【详解】
由，即，可得．
设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知
，，．
又因为，所以，
故，，，．
在中，由，
得，得，即，
得，故的两条渐近线方程为．
故选：A．
117．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【分析】设点，利用点到直线的距离公式求出的值，利用三角恒等变换、诱导公式可求得的值，最后利用平面向量数量积的定义可求得的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，

设点，则，
设点在直线、的射影点分别为、，
则，，所以，，
设直线的倾斜角为，则为锐角，且，
则，所以，，
因为，故，
所以，，
由平面向量数量积的定义可得.
故选：A.
118．（2025高二·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足．
(1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）法1，先求出，设，根据得到，设直线AB：，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，得到直线方程；
法2：定比点差法，变形得到，设，根据得到，故，联立得到相应的方程组的解，分两种情况，得到直线方程；
（2）在（1）的基础上，得到，，当，无解，舍去；当，根据求出答案；
（3）变形为．T、A、P、B四点共线，则直线，又，故，根据比例关系得到，又由（2）得两根之和，两根之积，代入整理得，解得，与矛盾．故不存在这样的．
【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）：
因为C：，，，，故．
设，则，，，
因为，所以，即．
设AB：，联立得，
整理得，
故，，
，．
其中，所以，，又，
故，所以．
因为，
所以，代入，解得，
故直线AB的方程为，
（或者直线AB的方程为或）．
法2（定比点差法）：
因为A、B在C上，于是，即，
两式相减得，
因为C：，，，，故．
设，则，，，
因为，所以，即．
故，
联立解得，或，．
第一种情况，得；
第二种情况，同理得．
故直线AB的方程为或．
（2）设，则，，，
，所以，即，
设AB：，联立得，
整理得，
故，，
，．
其中，所以，，又，
故，所以．
又，故，
故，
当，即时，，无解，舍去；
当，即时，整理得，
解得或．
综上所述，的取值范围是；
（3）不存在，理由如下：
假设存在，等价于．
由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线，
则直线，又，故，
从水平方向上看，有，整理得．
从竖直方向上看，有，整理得．
所以，
又由（2）得，，
，，
所以，，代入整理得．
而，所以，整理得，
所以，解得，与矛盾．
故不存在这样的．
119．（2025高二·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6．
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程．
【答案】(1)．
(2)或．
【分析】（1）依题意求出和，进而求出，即可得双曲线方程；
（2）设，，联立直线与双曲线方程，消元后根据韦达定理可得，，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，即可求出的值.
【详解】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6，
所以，，其中，解得，，所以．
因此，的方程为．
（2）设，，
联立方程消去，得，
因为直线与相交于两点，
所以即且，
由韦达定理，得，，
又，，
所以，
即，所以，
将韦达定理代入上式，得，即，
解得，满足且，
因此，的方程为或．
120．（2025高二·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据条件及离心率的公式确定的值，再根据求出，即可得双曲线C的方程；
（2）先根据题意设直线的方程为，及的坐标，进而得到的坐标，联立方程组，由韦达定理得到的值，代入化简即可.
【详解】（1）由双曲线的左、右顶点
分别为可知，
又由离心率为2，即，可得，
又在双曲线中，可得，
所以双曲线C的方程为.
（2）
因为直线过点且斜率不为0，
且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），
所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数），
（由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为，
所以直线的斜率，解得）.
设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以，
所以， ，
联立，可得，
所以由韦达定理可得，
所以
，
所以.
考点20 双曲线的证明问题
121．（25-26高二·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔：
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线．
【答案】(1)点能被直线分隔；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的定义，把、两点的坐标代入计算判断.
（2）由消去，利用所得方程无解求出的范围.
（3）设点，求得曲线的方程，再按与分类并与的方程联立，判断解的情况即可得证.
【详解】（1）点，直线，则，
所以点被直线分隔.
（2）由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解，
而当且仅当时，方程无解，因此；
显然点在曲线上，，
因此点被直线分隔，
所以实数的取值范围是.
（3）设点，依题意，，则曲线的方程为，
显然当时，方程无解，
点都在曲线上，且，即点被直线分隔，
因此直线为曲线的分隔线；
设过原点的直线，由消去得，
令函数，当时，，
函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解，
当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点，
因此直线不是曲线的分隔线，
所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即.
122．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于，两点，证明：直线与圆相切的充要条件是.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程；
（2）先联立方程得出的表达式，结合充要条件的定义进行证明即可.
【详解】（1）该双曲线的渐近线为，即，设焦点为，
由题意可得方程组解得
则双曲线的方程为.
（2）由双曲线的对称性，可设直线的方程为，且.
联立直线与双曲线方程，即可得，
则，.
从而.
必要性：由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，则，
故；
充分性：由，即，解得，
则直线的方程为，即.
所以圆心到直线的距离，则直线与圆相切,
所以直线与圆相切的充要条件是.

123．（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为.
(1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值；
(2)证明：；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设，再借助点到直线距离公式计算即可得；
（2）先推导过双曲线上的一点的切线方程，将其与两条渐近线方程联立计算可得、两点坐标，推理得到点为中点，即可证得；
（3）借助向量数量积坐标公式计算即可.
【详解】（1）设，则有，即，
双曲线的两条渐近线的方程为，则，
故；
（2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为.
证明：由两边对求导：，即，
于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*），
因在双曲线上，则有，
故（*）可化成：，即得证.
记,
将代入，解得，，
将代入，解得，
则有，
，
即点为中点，故；
（3）设，则，
又，
故.
【点睛】
124．（25-26高三·海南海口·阶段练习）已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点.
(1)求双曲线的实轴长和离心率；
(2)证明：直线的方程为；
(3)求的面积.
【答案】(1)实轴长，离心率.
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）由方程标准形式即可求解；
（2）由导数工具求出点处切线斜率即可由点斜式求解化简即可.
（3）设直线与轴的交点为，联立直线l与渐近线方程，利用韦达定理依次求出和即可由计算求解.
【详解】（1）方程可化为，
所以，，，
故，，，
所以实轴长，离心率.
（2）第一象限内双曲线的右支对应的方程可以表示为，
则，，
所以在点的切线斜率，
所以切线的方程为：，整理得
因为在双曲线上，所以，
所以，即直线的方程为；
（3）因为双曲线方程为，所以其渐近线方程为，
由（2）直线的方程为，联立，消整理得，
由题意，设，，则，，
设直线与轴的交点为，在方程为中，令得，
所以，
所以
.
125．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点．
(1)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明）
(2)是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程.
（2）设出直线的方程，根据斜率之和为0求出点，的坐标，利用斜率证明垂直.
【详解】（1）依题意，可得，则双曲线方程为，
，，
，，即，
故，即，其中，
故过点且与直线垂直的直线为，
可得，，
，，
故点的轨迹方程为，
其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点），
如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为.
（2）设直线，
直线，且，
由，，，
设，，，，
，，，
，同理，
，
，.
126．（2025高二·广东·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，，点在的左支上，点在的右支上，若三点共线，且三点共线，证明：直线与圆相切．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程与所过的点求解方程即可；
（2）设，当时，易知直线的方程为，与圆相切，当时，因为三点共线，故关于原点对称，则，联立方程组由点到直线的距离证明即可.
【详解】（1）依题意，
解得，
故的方程为
（2）如图：
证明：设，
当时，易知直线的方程为，与圆相切，
当时，因为三点共线，故关于原点对称，则，
则，
设直线的方程为，则，
联立，
则，①
直线的方程为，
则到的距离，②
联立①②，解得，
而圆的半径为，故直线与圆相切．
考点21 双曲线的探索性问题
127．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知点，动点 满足
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线与曲线交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见详解.
【分析】（1）设点坐标为，利用斜率公式，结合已知列方程化简可得；
（2）设出直线方程，联立曲线的方程消去，利用韦达定理和中点坐标公式求出斜率，通过判别式检验可得结论.
【详解】（1）设点坐标为，则，
又，所以，
整理得轨迹E的方程为.
（2）不存在，理由如下：
易知当直线斜率不存在时，直线与曲线无交点，故设直线的斜率为，
则直线的方程为：，
联立消去得，
直线与曲线交于C，D两点，所以.
若成立，则为的中点，
设，则，解得，
当时，，不满足题意，
故不存在直线l使得成立.
128．（2025高二·安徽阜阳·期末）已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B.
（i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）
【分析】（1）根据题干中的条件求出长轴长与短轴长即可得到答案.
（2）（i）利用点差法求出直线方程再与双曲线联立即可得到是否存在.
（ii）联立直线与双曲线得到直线的弦长，即可化简原式即可求出取值范围.
【详解】（1）设，由于两条渐近线为，则有
到两条渐近线为的距离之积为
则解得
所以双曲线C的方程为
（2）（i）设，且，
因为在双曲线上，
所以，两式相减可得
所以，
若点为线段AB的中点，
则，即，代入上式，
所以，则直线l的斜率
所以直线l的方程为，即
将直线l与双曲线联立，可得，.
，故方程无解.
所以不存在这样的直线l，综上，点不能是线段PQ的中点.
（ii）设切点，则切线的方程为，且
由，解得，所以
设，
由，消去得，所以,
由，消去y得，所以；
所以，
所以
，
又，所以，
因为，所以，所以，所以，
即
129．（2025高二·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别是，求证: ；
(3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意，得到，由离心率，得到，进而求得椭圆的方程；
（2）设点，可得，结合，即可求解；
（3）设直线的方程为，则直线方程为 ，联立方程组，结合弦长公式，求得和，根据题目条件得，即可证得结论.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，
因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点，
所以 ，故，
因为离心率，所以，
因为，所以 ，所以椭圆的方程是 .
（2）设点，则 ，
因为点在双曲线上，所以，可得，
所以.
（3）由 (2) 知 ，
设直线的方程为，则直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得，
记，则，
所以 ，同理可得，
所以 ，
即 ，
所以存在，使成立.
130．（2025高二·上海浦东新·开学考试）直线l：与双曲线C：相交于A，B两点.
(1)a为何值时，以为直径的圆过原点；
(2)是否存在这样的实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，
根据，推断出.根据韦达定理表示出，进而根据直线方程表示出，代入，求得a.
（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把的中点代入直线中求得和的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出，联立方程求得a，看结果是否与矛盾即可.
【详解】（1）联立方程与，消去y得：（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，，所以，
∴.
又依题知，令A，B两点坐标分别为，，
则.
，
而由方程（*）知：，代入上式，
得，满足条件.
（2）假设这样的点A，B存在，则：的斜率.
又中点在上，
则，又，
代入上式知，结合，解得，
这与矛盾.
故这样的实数a不存在.
考点22 双曲线的定点问题
131．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上．
(1)求C的方程．
(2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值．
（ii）证明：直线恒过定点．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）由得，由点在C上求得；
（2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明；
（ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论．
【详解】（1）因为，所以，则双曲线，
又点在C上，所以，解得，
所以C的方程为．
（2）（ⅰ）易知，，设，，
则，，即，
而，
所以，
又，所以，
故，为定值．
（ii）设直线的方程为，，，，
由，得，
所以．
由（ⅰ）可知，，
即，
即，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
因此直线经过定点．
132．（25-26高二·全国·期中）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过P作直线的垂线，垂足为N. 证明：直线过定点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的概念和离心率的定义，求出双曲线参数，求出结果.
（2）根据直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理，证明直线过定点即可.
【详解】（1）由题设且，则，
由轴时，，
不妨令，代入双曲线得，所以，
则所求方程为；
（2）
设，则，由斜率不为0，设，
联立双曲线，消去得，
则，
所以，由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，因为，所以，
而，则，所以过定点；
133．（25-26高三·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解，
（2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，
所以，所以，
所以的方程为，代入点，解得，
所以的方程为；
（2）（i）方法一：设，则，
因为三点共线，所以.
当轴时，三点不共线，所以斜率不为0，
设的方程为.
联立双曲线，得，
所以，
又，所以，
即，
，化简得.
显然，，所以，直线恒经过定点.
方法二：设，则，直线，
联立双曲线，
得，
，
且，
由，则直线，
整理得，
又，
，显然直线过定点，得证；
（ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0，
可设，联立双曲线，
整理得，
则.
与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以，
.
令，则，
令，则，
在上单调递减，
则，此时，即，
的面积的最小值为.
134．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据给定条件，求出即可.
（2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围.
【详解】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，则，
由消去得，
则，解得，，
直线的方程为，即，
而
，因此直线的方程为，
所以直线经过定点.
或令，得
，
所以直线经过定点.
（ii）由（i）知，
，
而，令，
因此在上单调递增，则，
所以的取值范围是.

135．（2025·山东济南·模拟预测）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.
①证明：直线过定点；
②求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程；
（2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标；
②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值.
【详解】（1）由题可知，
则，
由轴时，，可令，
代入双曲线得，
解得，
则所求方程为；
（2）①证明：设，则，
由斜率不为0，可设，
联立双曲线并整理得，
则，，
所以，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，解得，
因为，所以，
而，所以，则，
所以过定点；
②，
由①得，解得，
令，
则，
因为，所以，则，当时取等号，
所以的最小值为.
136．（2025高二·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.
(1)求的标准方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2).
(3)证明见解析
【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程；
（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；
（3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点；
【详解】（1）因为，，
所以，故的标准方程为·
（2）
设，，根据题意易得.
因为是上的两点，所以
两式相减得，即
因为，
所以
所以直线的方程为
经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.
（3）证明：依题意可设直线的方程为.
由，得
则，，
，由（2）知，
因为，所以
即
即
即，得，解得或.
当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线，满足，则直线过定点
故直线过定点
137．（25-26高三·湖北宜昌·阶段练习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点.
（i）求动点的轨迹；
（ii）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）存在，
【分析】（1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程；
（2）（i）设，写出方程，两式相乘，代入点在椭圆上所得关系式，消元求出动点轨迹方程，说明轨迹；（ii）由得，设存在定点满足条件，由求出.
【详解】（1）由，得，故椭圆方程为：.
（2）（i）：设，
则，
两式相乘，，即，
∵在椭圆上，，即代入得，
化简得，因为点不与重合，所以.
即动点的轨迹为双曲线，不包含顶点.

（ii）：因为，
∴，即，∴.
设过点的直线方程为，，
，可得，
所以，，
设，则，即.
∴，化简得.
又因为斜率存在，所以有.
所以，故在轴上存在点，使得.

138．（2025高三·全国·专题练习）直线与双曲线交于两点．
(1)当为何值时，分别在双曲线的两支上？
(2)当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线得，然后根据根的分布列不等式组，求解即可．
（2）由韦达定理可得到，，以为直径的圆过坐标原点等价于，即，代入即可解出答案．
【详解】（1）由，消去y得．
依题意，解得．
所以，当时，分别在双曲线的两支上；
（2）设，，则由（1）知，
所以，
因为以为直径的圆过坐标原点，所以，
所以，所以，
解得.满足判别式大于0，所以当时，以为直径的圆过坐标原点.

139．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且焦距为．
(1)求的方程；
(2)上是否存在点，使得过点可作的两条互相垂直的切线？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）只需求得即可得解；
（2）设双曲线的两条切线分别为，由交轨法得两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆8，进一步结合圆与圆之间的位置关系即可判断.
【详解】（1）因为点在上，所以，①
由题得，即，②
联立①②，解得．
故的方程为．
（2）上存在点，使得过点可作的两条互相垂直的切线．
若双曲线一条切线的斜率不存在，由题意知另一条切线斜率必为0，不符合题意．
则双曲线的两条切线的斜率均存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为．
联立得，
由，得．
同理可得．
设两条切线的交点坐标为，联立
得，
所以是关于的方程的两根，
整理得，
得，化简得，
所以两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆8，其圆心为，半径为．
因为，圆心为，半径为，
所以，则两圆外切，
故上存在点，使得过点可作的两条互相垂直的切线．
联立两圆方程可得公切线方程为，代入的方程可得点坐标为，
所以直线的方程为．

140．（2025高二·河南商丘·期末）已知双曲线.
(1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程.
(2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可；
（2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得；
【详解】（1）设，则，作差得，
又线段的中点坐标为，则，
所以，可得，
所以，即；经检验成立
（2）假设存在定点，使得，
设，焦点，若时，，
所以，化简得，
又，则，整理得对恒成立，
所以，可得，
当，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
考点23 双曲线的定值问题
141．（25-26高二·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且双曲线过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的两条斜率存在且不重合的直线与的右支分别交于两点和两点，且.设直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）证明：的值为定值；
（ii）若四边形的面积用直线的斜率表示为，求直线的斜率的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，进而求得双曲线的方程.
（2）（i）写出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数的关系，求得.同理求得，根据化简求得.
（ii）结合弦长公式、二倍角公式以及求得四边形的面积，根据已知条件列方程，由此求得.
【详解】（1）（1）由题意得，
解得，
故双曲线的方程为.
（2）（2）（i）证明：易知直线的斜率不为0，设，
则直线的方程为，
由
消去并整理得，
则，
即且.
，
.
易知直线的斜率不为0，设，则直线的方程为，
同理得，
所以，解得，
因为，所以，则，
故的值为定值.
（ii）因为直线的斜率为，设其倾斜角为，则直线的倾斜角为，
所以四边形的面积
，
.
同理得，，
因为，所以，
又，
则
，
所以，整理得，则，
当时，，解得，
当时，，解得，
由题意可知，，所以，
故直线的斜率的值为.
142．（25-26高三·广东惠州·阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)设点A为C的左顶点，若过点的直线与C的右支交于P，Q两点.
（i）证明：直线和直线的斜率乘积为定值.
（ii）若直线，与圆O：分别交于M，N两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）根据焦点到准线的距离可求，再结合双曲线的离心率可求，可得双曲线的方程.
（2）（i）设直线的方程为，，.把直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示，化简即可.
（ii）设：，：，与双曲线方程联立，可表示出点的纵坐标，与圆联立，可表示点的纵坐标,根据（i）的结论，可探索的关系，表示出，结合换元法可求的取值范围.
【详解】（1）由题可知是双曲线C的一条渐近线方程，右焦点为，
∴右焦点到渐近线的距离，
又∵，∴，可得.
由离心率，解得，
∴双曲线C的方程为.
（2）（i）如图所示，由（1）知，，
设直线的方程：，，，
由，得，
∵直线与双曲线C的右支交于两点，
∴，解得，
，，
（ii）设：，：，且，，
由，得，∴，同理可得，
由得，∴，同理可得，
∴
∵，即，∴.
，
又∵，∴.
令，由，，得，
∴，
令，，
∵在区间上为增函数，∴的取值范围为，
又∵，
∴的取值范围为.
143．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为．
(1)求E的方程；
(2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线l的方程为，由点到直线的距离公式即可求得.
（2）①假设直线的斜率为0，可得，②当直线，的斜率均不为0时，设的方程为，的方程为，，，，，分别联立与双曲线方程，可得，同理，由A，P，C三点共线，可得，同理得，化简即可求解.
【详解】（1）由焦点坐标得．
根据对称性可设直线l的方程为．
由到l的距离为得，
将代入得，所以，
故E的方程为．
（2）①根据对称性假设直线的斜率为0，则A，B分别为E的两个顶点，故无论的斜率为多少总能得到P，Q分别与A，B重合，
由（1）得，即；
②当直线，的斜率均不为0时，如图：

设的方程为，的方程为，，，，，
联立，消去得，，解得，
此时，同理．
设，，
因为A，P，C三点共线，
所以，即，
将，代入得．
因为B，Q，D三点共线，所以，即，
将，代入得．
故
，
综上，为定值0．
144．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的上、下焦点分别为，．已知点，均在双曲线上，其中e为双曲线的离心率．

(1)求双曲线的离心率；
(2)设A，B是双曲线上位于y轴右方的两点，且，与交于点P．证明：是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将点，代入双曲线方程，结合，可以解出的值，进而求出离心率
（2）设B关于原点对称的点为C，则，再利用三角形相似和双曲线的性质，将转化为，然后结合韦达定理求解即可.
【详解】（1）将点，代入双曲线方程，
得结合，
解得，，，
故双曲线的离心率为．
（2）由（1）得双曲线的方程为，
如图，设B关于原点对称的点为C，则，，
故四边形为平行四边形，则，

设直线的方程为，，，
联立消去得，
则，，
且，，
解得．
因为，
由相似三角形得，
所以
．
因为
．
所以，为定值．
145．（25-26高三·辽宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）设出点坐标，联立可解出两点坐标，结合四边形的面积为建立方程求出基本量，最后求出双曲线方程即可.
（2）联立方程组，利用韦达定理，求出关键点的坐标，再结合中点坐标公式进行化简证明即可.
【详解】（1）已知双曲线焦距为4，即，故.
又因为，所以 .
如图，设点在双曲线上，满足，双曲线的渐近线方程为.
而四边形的面积为，且​​由题意得四边形为平行四边形，
因为，，
解得，，则，
同理可得，
由平行四边形面积公式得=（为点到直线的距离）.
因为；渐近线为.
所以；代入得，可得，
所以解得，解得，.
所以双曲线的标准方程为.
（2）易知斜率不存在时候不符合题意，
故设直线方程为，，
代入双曲线方程联立可得，
化简得.
且；
如图，设，，其中，
则由韦达定理得，.
直线过和，方程为.
直线过和，方程为.
直线与交于点，可得，
则，可得，
则，
可得，
则，
可得，
得到，
则，故，
因为，所以，
则，
得到，则，
故，故解得，
同理直线与交于点，其横坐标为.
而双曲线在点和处的切线方程分别为，
联立解得切线交点的坐标为，.
因此，点，，均在直线上；
设，，.
由中点坐标公式得中点坐标为
，
故为和的中点，即，因此.
146．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，且的一条渐近线的斜率为2.
(1)求的方程；
(2)如图，记的右顶点为，过点作直线与的左支分别交于两点，且为垂足．证明：存在定点，使得为定值，并求出点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）设直线MN方程为，联立方程组，得到，根据，整理得到，求得，得到直线MN过定点，再由直线MN的斜率不存在时，设直线方程为，得到过定点，再由，即可求解.
【详解】（1）由双曲线的左焦点为，一条渐近线的斜率为2，
可得，解得，所以的方程为．
（2）由（1）知，如图，当直线斜率存在时，设方程为，
联立得，，
即，设，由韦达定理可得
因为，所以，可得，
即，
即，
整理得，
即，
即，可得，解得或，
将代入，得，此时直线过定点，不合题意；
将代入，得，
如图，此时直线过定点，
当直线的斜率不存在时，
需要讨论直线斜率不存在的情况．
不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，此时点坐标为，
所以，故，
则（舍）或，此时过定点，
综上可知，直线恒过定点，
因为，此时存在以为斜边的直角三角形，
所以存在定点为中点满足，此时．
考点24 双曲线的定直线问题
147．（25-26高三·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合.
(1)求双曲线的焦距和离心率；
(2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
(3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)焦距4，离心率2
(2)
(3)证明见解析，在定直线上
【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解；
（2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率；
（3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上.
【详解】（1）由双曲线方程得，，，
所以焦距，离心率；
（2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，
故直线的斜率存在，设直线的方程为，
与联立得.
设，，
由题意，得，
解得，
因为为中点，所以，
由，得，
又，解得，
所以直线的斜率为；
（3）直线的方程为，令，得，
同理可得，，，
由为中点，可得，
即，
所以，
即，
所以在定直线上.
148．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．
(1)求双曲线的方程．
(2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
(3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)是，
(3)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的焦距为，得到，再根据一条渐近线方程为，由求解；
（2）易知切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，根据直线与圆相切，由圆心到切线的距离为，得到，设切线的斜率，且，分别设直线PB，PC的方程，与双曲线方程联立求得点B，C的坐标，写出直线BC的方程求解；
（3）由（1）得到动点的轨迹，其中，设直线的方程分别为和，其中，与双曲线的方程联立，求得E，F，M，N的坐标求解.
【详解】（1）由双曲线的焦距为可得，
又其中一条渐近线方程为，则，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为，
化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得．
设直线，
联立方程得．
由韦达定理，，则，将其代入可得,
即得，同理可得,因，则得
又因为，
所以直线的方程为，
法一：直线的方程可化为
故直线过定点.
法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为，
将代入方程，得，
化简整理，得，
因,故由，解得．
故直线过定点.
（3）由（1）知，设,依题意，,
化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中.
由题意可设直线的方程分别为和，其中，
联立方程得，所以，
将代入到直线得到；
联立方程得，所以，
将代入到直线得到，
同理可得.
将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为
，
因此直线经过点，
同理可得（将互换）直线也经过点，
所以直线与的交点为，在定直线上.
149．（25-26高三·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点.
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于.
（i）证明：三点共线；
（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）根据圆过双曲线顶点求出，再由离心率即可得解；
（2）（i）设出直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式可证明，即可得证；
（ii）设直线方程，联立圆的方程可得点坐标，求出，得出直线方程，联立方程求出点横坐标为定值得证.
【详解】（1）因为圆与恰有两个交点，
由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点，
所以，
又，所以，故，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）由（1）知，,
设过的直线方程为，，如图，
由，可得，
，其中，
，
，
，为圆的一条直径，
三点共线.
（ii）不妨设直线，其中，
由（i）可知，
由，可得，解得,
故可得，即，
，
直线，
由，可解得，
点在定直线上.
150．（25-26高三·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程；
（2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程．
【详解】（1）由题意，，，，
联立解得，
双曲线的标准方程为．
（2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行，
设直线方程为，设，，
由消去可得，
因,，，
则有（*）
由题知，，，设，
则直线，直线，
将代入两式，可得，，
两式相除得,将（*）代入，可得
,
即，解得，
所以点在定直线上．
151．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题中所给数据求解即可；
（2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证.
【详解】（1）由题意，，，
所以，
所以C的方程为．
（2）证明：由题意，直线的斜率存在，
设直线方程为：，，．

联立，消去，得，
由于，同号，所以，，
，
所以，
联立，解得，
所以，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，
所以直线与直线的交点在定直线上．
152．（2025高三·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据即可确定的值，设出点坐标表示出，根据即可求出，从而求出双曲线方程；
（2）设出点,点坐标，表示出直线方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出点横坐标，可发现点在定直线上.
【详解】（1）由题意得，所以．
设，因为点P在C上，所以，即．
又，所以，
故C的方程为．
（2）由（1）得，，
如图，设，，

联立消去得，
所以，，
易知直线AE的方程为，
直线BD的方程为，
联立得：，
即，
整理得，
则，
所以点Q的横坐标始终为1．
故点Q在定直线上．
考点25 双曲线的综合问题
153．【多选】（25-26高二·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（ ）
A．直线的斜率
B．若，则
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则点坐标为
【答案】ABC
【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可.
【详解】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确；
因，则，
在中由余弦定理可得，
即，
由于，，则，得，
由于，故，故B正确；
设以为直径的圆圆心为，则，
是线段的中点，则圆与圆的圆心距，
又，则，
则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，
则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确；
如图，设圆与三边相切于，则，
则，
因，则，
则，故点的横坐标为，
记，则，
因，则，则，解得（负值舍去），
则，
则 的面积为，
设的内切圆半径为，则，所以，
故或，D错误.
故选：ABC．
154．【多选】（25-26高三·河南新乡·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（ ）
A．的离心率
B．线段长度的最小值是
C．一定是线段的中点
D．面积的最小值是
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD.
【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得，
由双曲线的通径为，得，解得，双曲线，
对于A，，因此的离心率，A正确；
设点，直线不垂直于轴，设直线方程为，
由消去得，
，
化简可得,
又，故，
切线的方程为，即，渐近线方程为，
对于C，由，得，设，
则，一定是线段的中点，C正确；
对于B，，则
，当且仅当时取等号，B错误；
对于D，直线交轴于点，的面积，
因此面积的最小值是，D正确.
故选：ACD
155．【多选】（25-26高三·山东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ）
A．直线的斜率为B．的离心率为2
C．到上最近点的距离为D．
【答案】ABD
【分析】利用三角形全等来计算点坐标，从而可判断A；通过点坐标代入双曲线方程求离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可判断D.
【详解】对于A，记双曲线的焦距为，则，，
由，，根据勾股定理得，
如图过点作轴的垂线，垂足为，
由，可得，
因此，，，即，
所以，选项A正确；
对于B，将代入双曲线方程可得，即，
再将代入得，即，
解得，所以的离心率为，选项B正确；
对于C，由可知，且双曲线的渐近线方程为，
则点到双曲线的渐近线的距离为，
所以点到上最近点的距离大于，选项C错误；
对于D，由得，
且双曲线的方程可转化为，
由，得，
将与联立并消去得：，
记，则，解得，
所以，选项D正确.
故选：ABD.
156．【多选】（25-26高三·河北石家庄·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．当时，
C．若，则的面积为
D．当时，的内切圆半径为
【答案】BCD
【分析】对于A，由的关系即可判断；对于B，根据双曲线的定义及勾股定理解方程组即可判断；对于C，根据双曲线的定义，余弦定理及面积公式即可判断；对于D，设直线的方程，与双曲线联立，解出点的坐标，然后利用内切圆的等面积公式即可判断.
【详解】对于A，由，虚轴长为，得，，
所以，故双曲线C的方程为，故A错误；
对于B，由，则，
故，而，所以，
故，得，所以，故B正确；
对于C，由得，根据双曲线定义得．
由余弦定理可得，即，
可得，所以的面积为，故C正确；
对于D，当时，设直线MN的方程为，
联立，消去y得，，
解得，，当时，M点坐标，，
，，，，
的周长，
设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确．

故选：BCD
157．【多选】（2025高二·湖南永州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．记直线、的斜率分别为、，则
B．若，则
C．的最小值为6
D．的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，若直线与渐近线平行时，说明此时即可判断；对于B，由题意，故只需验算即可；对于C，由双曲线的几何形状判断即可；对于D，由题意，结合即可判断.
【详解】由已知，，若直线与渐近线平行时，
根据对称性不妨取直线方程为，
联立，得，
设，，，
由于两点均在双曲线的左支上，所以，，，
对于A：直线、的斜率分別为、，
则，
均在双曲线上，，所以，
所以，，A错误.
对于B：由知，，
由对称性得，，则四边形为矩形，则，
设，，则在中，
由余弦定理得，
即，
即，
，
则，
则，B正确；
对于C，，
当，，三点共线时，，
，则直线，
联立，解得，即与矛盾，故C错误；
对于D，，
又，所以，
结合，得，的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
双曲线定义的应用策略
1．根据定义判断轨迹是否为双曲线，要特别注意双曲线定义的条件．
2．利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题时，注意“焦点三角形”的性质的运用．
求双曲线的标准方程的方法
1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2的值，写出双曲线的方程．
2．待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定位，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意：(1)双曲线与椭圆的方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn0)；
③已知渐近线为eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)．
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：．
先确定双曲线标准方程形式（焦点在x轴或y轴），明确a²、b²对应值。由c²=a²+b²计算c值，焦点坐标为(±c,0)或(0,±c)，焦距为2c。注意方程化为标准形式，避免因系数符号错误导致焦点位置判断失误。
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的“焦点三角形”有以下结论：
(1)若∠F1PF2＝α，则△F1PF2的面积S△F1PF2＝eq \f(b2,tan\f(α,2)).
(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点．
(3)在焦点三角形PF1F2中，利用|PF1－PF2|＝2a，F1F2＝2c，借助余弦定理、正弦定理进行转化，可求得离心率的值或取值范围，常将|PF1－PF2|＝2a平方建立与PF1·PF2的联系．
用两点间距离公式结合双曲线方程消元转化为二次函数求解；
和、差最值用双曲线定义转化，搭配三角形三边关系，将线段转化为共线情况求最值。
1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2−y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2−x2b2＝0，得y＝±abx．
2．求双曲线的渐近线方程时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±eq \f(b,a)＝±eq \f(\r(c2－a2),a)＝±eq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \r(e2－1).
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
核心是建立e的不等式，且e>1。根据题干条件（如点在双曲线上、直线与双曲线相交等），转化为a、b、c的关系，结合c²=a²+b²消去b，得到关于e的不等式，求解后结合e>1的范围，确定最终取值区间。
优先用定义法：若动点到两定点距离差的绝对值为定值（小于定点间距离），直接判定为双曲线。也可用相关点法（代入法）或直译法，翻译题干条件为坐标关系，整理为标准方程，注意标注变量取值范围。
先明确椭圆和双曲线的核心参数a、b、c对应关系，利用共焦点、共顶点等条件建立参数联系，求解参数或离心率等问题。
双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响.
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、利用弦长与点到直线距离计算三角形面积公式
若直线与双曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与双曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.
(四)把四边形分割成两个三角形求面积
如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加
圆锥曲线中最值、范围问题的求解策略
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
将向量条件转化为坐标关系，设双曲线上点坐标（参数式或直角坐标），代入向量垂直、平行、数量积等条件，建立方程。结合双曲线方程消元，求解参数或证明结论，注意向量运算与代数运算的转化。
圆锥曲线中的证明问题，是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等)．
双曲线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法.
求解直线或曲线过定点问题的常用方法
（1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0) ，则直线必过定点(x0,y0) ；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
定值问题的两种求解方法
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
设直线方程（分斜率存在、不存在两类），与双曲线方程联立，利用韦达定理表示根与系数关系。结合题干定点、定值条件化简，消去参数得到直线方程，验证渐近线等特殊情况，确保直线对任意参数均成立。
拆解为基础考点（焦点、离心率、轨迹等），分步突破。联立双曲线与直线 / 曲线方程，用韦达定理搭建运算桥梁，结合向量、函数、不等式等知识转化条件。关注双曲线渐近线特性，巧用参数法或数形结合简化复杂运算。