第06讲双曲线及其性质（专项训练）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
\l "__x0001_ 01" 题型01 双曲线的定义
\l "__x0001_02" 题型02 双曲线的标准方程
\l "__x0001_03" 题型03 双曲线的焦点、焦距
\l "__x0001_ 04" 题型04双曲线的范围
\l "__x0001_05" 题型05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
\l "__x0001_06" 题型06 等轴双曲线
\l "__x0001_ 07" 题型07 双曲线的渐近线
\l "__x0001_08" 题型08 双曲线的离心率
\l "__x0001_09" 题型09 双曲线的应用
\l "__x0001__1" 02 核心突破提升练
\l "__x0001__2" 03 真题溯源通关练
01 双曲线的定义
1．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（）
A．B．
C．或D．或
2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（）
A．B．C．D．
3．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
4．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则．
5．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
02 双曲线的标准方程
6．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
7．已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（）．
A．B．C．D．
8．在直角坐标系中，若方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．(多选)已知曲线，则下列说法正确的是（）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是双曲线
C．若，则曲线是椭圆
D．若，则曲线的离心率为
03 双曲线的焦点、焦距
10．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（）
A．2B．6C．D．
11．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（）
A．1B．3C．2D．4
12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A．B．2C．4D．
13．（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（）
A．的虚轴长为6B．的离心率为
C．的渐近线方程为D．的焦点坐标为
14．（多选）已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（）
A．的焦距小于的焦距B．可能为等轴双曲线
C．D．与恰有四个公共点
04 双曲线的范围
15．双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．
16．（多选）已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（）
A．双曲线的虚轴长为
B．（为坐标原点）
C．双曲线的渐近线方程为
D．为圆上一点，的最小值为1
17．若双曲线与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 .
18．已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是．
05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
19．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（）
A．B．2C．D．1
20．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（）
A．长轴长为2的椭圆的一部分
B．长轴长为的椭圆的一部分
C．实轴长为2的双曲线的一部分
D．实轴长为的双曲线的一部分
21．（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（）
A．菱形B．等腰梯形C．正方形D．矩形
06 等轴双曲线
22．（多选）已知双曲线，则（）
A．的取值范围为
B．双曲线的焦点坐标为
C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为
D．当双曲线为等轴双曲线时，
23．等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是．
24．已知曲线：是双曲线，曲线：是椭圆，其离心率分别是和，则 .
25．已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，且实轴长为.直线与C交于A，B两点.
(1)求C的方程；
(2)若点为线段AB的中点，求k的值；
(3)若，且A，B两点都位于y轴的右侧，求k的取值范围.
07 双曲线的渐近线
26．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（）
A．B．C．2D．
27．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（）
A．焦点在y轴上B．虚轴长为16
C．渐近线方程为D．离心率为
28．（多选）已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（）
A．双曲线的虚轴长为
B．
C．的取值范围为
D．过且与双曲线有一个公共点的直线有条
08 双曲线的离心率
29．（多选）已知椭圆，两个焦点分别为，则（）
A．a的取值范围为
B．椭圆C与双曲线有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2
C．若，则C的焦距为6
D．若，则C的离心率为
30．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（）
A．记直线、的斜率分别为、，则
B．若，则
C．的最小值为6
D．的取值范围是
31．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为．
32．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
09 双曲线的应用
33．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）

A．B．18cmC．D．
34．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则．

35．舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置．
36．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
37．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路的曲线方程；
(2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标）
1．已知椭圆的短轴长为4，则（）
A．2B．4C．8D．2或4
2．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（）

A．B．
C．D．
3．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（）
A．轴B．
C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交D．面积的最小值为
4．已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为．
5．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为．
6．已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）
A．B．C．D．
2．（2004·北京·高考真题）双曲线的渐近线方程为（）
A．B．
C．D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．
4．（上海·高考真题）双曲线的渐近线方程为
5．（天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
6．（重庆·高考真题）如图，和是平面上的两点，动点P满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若，求点P的坐标．