2025-2026学年山东省菏泽市郓城实验中学高二（上）月考数学试卷（1月份）

这是一份2025-2026学年山东省菏泽市郓城实验中学高二（上）月考数学试卷（1月份），共37页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.平面内点P到F1（0，-2），F2（0，2）的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量=（-3，2，5），=（1，x，-1)，且⊥，则x的值为（ ）
A. 3B. 1C. 4D. 2
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a7+2a9+a17=24，则S20=（ ）
A. 240B. 60C. 180D. 120
4.设抛物线C：y2=2px（P＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|=（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则•的值为（ ）
A. a2B. a2C. a2D. a2
6.已知圆C：x2+y2=4上到直线l：x+y+b=0的距离等于1的点恰有两个，则实数b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知数列{an}满足an+1=an+3n-16，则数列{an}的最小项是第（ ）项.
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.数列{an}的前n项和，则（ ）
A. a1=10B. an=-2n+12
C. 当n=5或6时，数列{Sn}有最小项D. 是等差数列
10.已知直线l：mx-y+3m+1=0，下列说法正确的是（ ）
A. 直线l过定点（-3，1）
B. 点P（1，-1）到直线l的最大距离为2
C. 直线l一定经过第四象限
D. 当m=-1时，直线l关于直线x+2y-3=0的对称直线为x+7y-28=0
11.三棱锥A-BCD中，，AB=3，BD=2，CD=4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的长度可以为（ ）
A. 5B. C. D. 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}是等差数列，若a2+a8=10，则a3+a5+a7= .​​​​​​​
13.如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，M为BQ的中点，N为QC上一点，若，则点N到平面CPM的距离为 .
14.已知椭圆的左、右焦点分捌为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（-2，1）作圆C的切线，求该切线方程.
16.(本小题15分)
在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2．

（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若PA＝PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交与不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
19.(本小题17分)
在平行四边形ABCD中，∠D=60°，CD=1，.将△ABC沿AC翻折到△APC的位置，使得.
（1）证明；CD⊥平面APC；
（2）在线段AD上是否存在点M，使得二面角M-PC-A的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
​
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】15
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）​​​​​​​因为点A（-1，1）和B（-2，-2），
所以线段AB的中点为（），kAB=3，
则线段AB的中垂线方程为，即 x+3y+3=0，
由，解得，
则圆心为（3，-2），
r==5，
所以圆的方程为：（x-3）2+（y+2）2=25；
（2）当直线的斜率不存在时，
直线方程为x=-2，
则圆心到直线的距离d=5=r，符合题意；
当直线的斜率存在时，
设过点（-2，1）直线的方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0，
因为直线与圆相切，
所以圆心（3，-2）到直线的距离等于半径，
即d==5，
解得k=，
此时切线方程为：y-1=（x+2），即8x-15y+31=0．
所以切线方程为8x-15y+31=0或x=-2．
16.【答案】证明：在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*），
可得-=3，
则数列是首项为1，公差为3的等差数列 an= 由==（-），
数列{bn}的前n项和为Sn=（1-+-+...+-）=（1-）＜
17.【答案】解：（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，
由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，
又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，
即有CO⊥AB，OC=，
由PA⊥PB，可得OP=AB=1，
而PC=2，
由OP2+OC2=12+（）2=22=PC2，
可得CO⊥OP，
而ABOP=O，，
可得CO⊥平面PAB，
又OC⊂平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD；
（2）由PA=PB，可得PO⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，平面PAB，
则PO⊥平面ABCD，
所以直线OC，OB，OP两两垂直，
以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（0，-1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），D（，-2，0），
可得=（，0，-1），=（0，1，1），=（0，2，0），
设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），
由可得取z1=，可得=（1，-，），
由可得取x2=，可得=（，0，3），
由题意可得二面角A-PC-D为锐角，记为θ，
则csθ====．
即二面角A-PC-D的余弦值为．
18.【答案】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），
将点A的坐标代入椭圆C的方程可得a=2，由于椭圆C的离心率为e=，∴c=，
则b=，
因此，椭圆C的方程为=1；
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），易知，k≠0．
令=m，则直线MN的方程为x=my+1，直线MN过定点T（1，0），
将直线MN的方程与椭圆的方程联立，消去x化简得（m2+2）y2+2my-3=0，
△=4m2+12（m2+2）=8（2m2+3）＞0恒成立，
由韦达定理可得y1+y2=-，y1y2=-，
所以，S△AMN=
=
=
=，
化简得5m4+2m2-7=0，即（5m2+7）（m2-1）=0，解得m=±1，
因此，k==±1．
19.【答案】（1）证明：翻折前，在△ACD中，∠D=60°，，
由正弦定理得，，
所以，即，
又AC＞CD，所以∠CAD=30°，
所以∠ACD=90°，即CD⊥AC，
因为，PC=2，CD=1，所以PC2+CD2=PD2，即CD⊥PC，
又PC∩AC=C，AC、PC⊂平面APC，
所以CD⊥平面APC．
（2）解：由（1）知CD⊥平面APC，
因为CD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面APC，
在平行四边形ABCD中，BA⊥AC，即PA⊥AC，
又平面ADC∩平面APC=AC，PA⊂平面APC，
所以PA⊥平面ADC，
以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（0，0，0），D（1，0，0），，，
所以=（0，，1），=（1，-，0），=（0，，0），
设，其中0≤λ≤1，
则，
设平面MCP的法向量为=（x,y,z），则，
取y=λ，则z=-λ，x=（λ-1），所以=（（λ-1），λ，-λ），
由CD⊥平面APC，知平面CPA的一个法向量为=（1，0，0），
因为二面角M-PC-A的余弦值为，
所以|cs＜，＞|===，
整理可得15λ2+2λ-1=0，
解得或λ=-（舍），
故线段PC上存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为，且．