非线性回归问题、相关系数问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份非线性回归问题、相关系数问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共16页。

(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型，
(2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关
【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得．
设，则．
因为，，，，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为.
（2）设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．
例2．（25-26高三上·福建厦门·月考）近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x与购买人数y的数据如下表．
经数据分析、描点绘图，发现价格x与购买人数y近似满足关系式，即，对上述数据进行初步处理，其中，，，2，…，6．
附：①可能用到的数据：，，，．
②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
(1)根据所给数据，求关于x的回归方程．
(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）散点集中在一条直线附近，
设回归直线方程为，，，
则，，
所以回归直线方程为．
因为，，所以，则，，所以．
综上，y关于x的回归方程为．
（2）由题意知B，C，D，E为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，
X的可能取值为1，2，3，且，，．
X的分布列如下．
．
例3．（25-26高三上·四川宜宾·月考）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
其中．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)；
(2)是理想的
【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得，
所以．，
而，
所以，
．
所以，即，
所以．
（2）2023年对应的年份代码为7，
当时，，，
所以（1）中求得的回归方程是理想的．
变式1．（25-26高三上·重庆渝中·期中）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，
，
则，
，所以，
所以；
（2）设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．
变式2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：

(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系（即为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)选择为回归方程较宜
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）作出散点图如图所示．

由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，
故选择为回归方程较宜．
（2）（i）由已知：令，则，
则，，即．所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系．
（ii）由（i）知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，
，
，
得到关于的线性回归方程为，又，
因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为．
考点二 相关系数问题
例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．
(1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关；
(2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱．
附：（i）在线性回归方程中，；
（ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强；
（iii），其中．
参考数据：
【答案】(1)表格见解析，没有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关；
(2)0.84，与线性相关性较强．
【详解】（1）补全列联表如下：
提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关．
则，
故认为选择新能源汽车与年龄无关；
（2）因为，
所以，又，
所以，故与线性相关性较强．
例2．（25-26高三上·河北邯郸·月考）为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示：
(1)若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）；
(2)建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度．
参考数据：．
参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：．
【答案】(1)血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的，理由见解析
(2)，．
【详解】（1）依题意，，
，
则，
所以，即血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的.
（2）由（1）得，则，
因此血液中药物浓度与代谢时间的回归方程为，当时，，
所以代谢6.2小时后，血液中药物浓度约为.
例3．（25-26高三上·河南信阳·月考）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.
(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）
.
(2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）；
(3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求?
附：相关数据：，，，.
相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，.
【答案】(1)图见解析，，线性相关很强
(2)
(3)符合研发要求
【详解】（1）折线图如下：
由题意得：，
，
，
，
，与线性相关很强.
（2）由题意得：，
，
关于的回归直线方程为.
（3）年对应的年份代码，则当时，，
预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元），
，符合研发要求.
变式1．（25-26高三上·浙江·期末）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
(1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
(2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式：；参考数据：．
【答案】(1)，管理时间与土地使用面积线性相关
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意得，，
所以，
可得，
则，
所以管理时间与土地使用面积线性相关.
（2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故，
故的分布列为
所以数学期望.
变式2．（25-26高三上·河北邢台·月考）中国防沙治沙成绩斐然，不断书写“绿色奇迹”，截至2025年年底，中国53%的可治理沙化土地已得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，现调查统计了某荒漠地区2019~2025年绿化面积变化情况，得到如下折线图．
（附：年份代码1~7分别对应的年份是2019~2025，经计算得， ，，，）
(1)用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01）；
(2)求出y关于t的回归方程；
(3)若该荒漠地区原面积共10万亩，预测该地区2026年绿化面积达到多少亩？
附：（i）相关系数：；
（ii）线性回归方程：，其中，．
【答案】(1)0.88
(2)
(3)55000亩
【详解】（1）因为，
，
，
所以，
即相关系数约为0.88．
（2）因为，
，
所以．
（3）当时，，
该地区2026年绿化面积为亩．
变式3．（2026·吉林·模拟预测）2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示.
(1)求上表中冠军成绩的极差与中位数；
(2)根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）；
(3)求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到0.01）.
附：参考公式：样本相关系数，经验回归方程中，.
参考数据：，.
【答案】(1)极差为；中位数为
(2)，有较强的线性相关性；
(3).
【详解】（1）成绩由小到大排列为：，
所以冠军成绩的极差为；中位数为.
（2）依题意，，
所以样本相关系数，
由，得年份代码与冠军成绩有较强的线性相关性.
（3）依题意，，，
则，
所以冠军成绩关于年份代码的经验回归方程.考点目录
非线性回归问题
相关系数问题
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
101
196
\
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100

62.14
1.54
2535
50.12
3.47
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
\
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
80
合计
60
40
100
旅游线路
奇山秀水游
古村落游
慢生活游
亲子游
采摘游
舌尖之旅
套票型号
A
B
C
D
E
F
价格x/元
39
49
58
67
77
86
X
1
2
3
P
年份代码
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
3.366
73.282
17.25
1.16
2.83
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
编号
1
2
3
4
5
6
企业总数量（单位：百个）
50
78
124
121
137
352
天数
1
2
3
4
5
6
繁殖个数
6
12
25
49
95
190
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
56
80
40岁及以上
36
80
总计
160
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
56
24
80
40岁及以上
44
36
80
总计
100
60
160
2
3
4
5
6
58
42
30
12
8
年份
年份代码
土地使用面积/亩
1
2
3
4
5
管理时间月
8
10
13
25
24
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
50
0
1
2
3
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年份
1988
1992
1996
2000
2004
2008
2012
2016
2020
2024
冠军成绩
48.63
49.02
48.74
48.30
48.17
47.21
47.52
47.58
47.02
46.40