新高考数学二轮复习大题题型归纳训练专题19 线性回归、分线性回归和相关系数（2份，原卷版+解析版）

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1．2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：
(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.
附注：参考数据：，，，，.参考公式：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【答案】(1)，线性相关性不强
(2)，亿
【分析】（1）由已知数据结合相关系数公式求出相关系数，再进行判断即可，
（2）由已知数据结合回归方程公式计算y关于t的线性回归方程，再将代入回归方程可求出2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值
【详解】（1）由参考数据计算得
所以，
因为，所以线性相关性不强.
（2）五组数据的均值分别为，
，
关于的线性回归方程为
令，则，
因此，在没有疫情情况下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估计值为亿.
2．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）
(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；
(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．
参考数据：设，其中．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)当回归方程为时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是万辆；
当回归方程为时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是万辆．
(3)由于相关指数越接近于，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，
所以模型得到的预测值更可靠．
【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，，，的值，
运用最小二乘法求回归直线方程即可；
（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值；
（3）相关指数越接近，两变量的相关性越强，预测值越可靠．
【详解】（1）由表中数据得，
，，，
，
y关于x的线性回归方程为：．
（2）由（1）知，y关于x的线性回归方程为：，
当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：
（万辆）；
对于回归方程，
当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：
（万辆）．
（3）依题意：模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，
由于相关指数越接近于，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，
所以模型得到的预测值更可靠．
3．小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，并计算得，，，.
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)
(2)小李应该租的商铺
【分析】（1）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，
（2）根据题意得，，构造函数，利用二次函数的性质可求出其最大值，从而可求出Z的最大值
【详解】（1）由已知可得，，
，
，
所以回归直线方程为.
（2）根据题意得，.
设，令，，
则，
当，即时，取最大值，
又因为k，，所以此时Z也取最大值，
因此，小李应该租的商铺.
4．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．
参考公式：，．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；
(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．
①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；
②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
【答案】(1)
(2)① ；②14人
【分析】（1）利用列举法求解，先列出从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况，然后找出其中2组数据都是20日的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，
（2）①根据表中的数据和公式求出y关于x的线性回归方程，②把代入回归方程求解即可
（1）
记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种．
根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率．
（2）
①由所选数据，得，，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
②当时，，
所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人．
5．某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
【答案】（1）；（2）是.
【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；
（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
6．年月日，习近平总书记在减贫与发展高层论坛上强调，中国扶贫工作要实施精准扶贫方略，坚持中国制度优势，坚持分类施策．当年月日，中共中央政治局召开会议，审议通过了《关于打赢脱贫攻坚战的决定》等有关文件，会议确定了通过产业扶持、转移就业、教育支持和医疗救助等措施帮助万左右贫困人口脱贫的目标．下表为某贫困县在实施扶贫政策过程中贫困户的统计数据：
（1）从这六组数据的贫困户数中任意抽取两个值，（百户），设为四舍五入后的整数值，求随机变量的分布列及期望值；
（2）以年五组数据进行相关性分析发现，贫困户数（百户）与年份的序号存在较强的线性相关性，试用最小二乘法求相应的回归方程，并利用2020年的数据对该回归方程进行检验．若实际数与预测值的差值的绝对值不超过户，则认为回归方程可靠．请问该回归方程是否可靠？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式为：，．
【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）；该回归方程可靠．
【分析】（1）根据题意先求的所有取值，再求概率、分布列及期望；
（2）根据题中的数据利用最小二乘法公式可求回归方程，再检验即可.
【详解】（1）用表示取得的数据分别为和，则所有的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，对应的的取值分别为，，，，，，，，，，，，，，，即的取值有，，，，，且
，，，，，
故变量的分布列为：
期望值．
（2）根据题意知，，，
所以
则．
所以．
当时，，而预测数与实际数的差值的绝对值为
（百户），即差值为户，所以该回归方程可靠．
7．2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年—2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量表示，其取值依次为1，2，3，……）．
（1）由图1可知，变量与具有很强的线性相关关系，求关于的回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；
2016-2020年该地区农村居民人均消费支出
（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%~50%为小康，30%~40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．
2020年该地区农村居民人均消费支出构成
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【答案】（1）；约为1.513万元；（2）2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．
【分析】（1）先由已知的数据求出，从而可求出，进而可得到关于的回归方程，然后将代入可求出2021年该地区农村居民人均消费支出；
（2）由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为元，从而可求出恩格尔系数
【详解】解：（1）由已知数据可求，
，
，
，
∴
∴
∴所求回归方程为．
当时，（万元），
∴2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元
（2）已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元，
由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为元，
∴恩格尔系数
所以，2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．
8．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：
（1）建立关于的线性回归方程；
（2）预测该村居民接种新冠疫苗需要几天？
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可以求出、，然后求出、，即可求出关于的线性回归方程；
（2）本题可设，数列的前项和为，然后根据等差数列求和公式得出，最后求出、，即可得出结果.
【详解】（1），，
则，，
故关于的线性回归方程.
（2），
设，数列的前项和为，易知数列是等差数列，
则，
因为，，
所以预测该村居民接种新冠疫苗需要天.
【点睛】关键点点睛：本题考查线性回归方程的求法以及实际应用，能否根据表中数据求出、是 解决本题的关键，考查等差数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.
9．某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．
经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程，并计算如果该地区2021年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）
参考公式：，．
参考数据：，，，．
【答案】（1），；（2）；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm．
【分析】（1）利用概率模拟求概率；
（2）套用公式求回归直线方程即可.
【详解】解：（1）由题意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，
所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨，
故所求的概率为；
（2）由题中所给的数据可得，，
所以，，
所以回归方程为，
当时， ，
所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm．
【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出；②套公式求出；③写出回归方程；④利用回归方程进行预报；
10．随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；
（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；
（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式；线性回归方程，其中
【答案】（1）；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大．
【分析】（1）先求得，再根据提供的数据求得，，写出回归直线方程；
（2）由（1）结合，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）由题意得，
所以．
（2）由（1）知，，
所以当或时能获得总利润最大．
二、非线性回归
11．抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）.

(1)根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；
(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
②若随机变量，则有，，；
③取.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；
（2）根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.
【详解】（1）将两边取对数，得，
设，，则回归方程变为，
由表中数据可知，，，
所以，，
所以，即，
故y关于x的回归方程为，
当时，.
（2）因为z服从正态分布，其中，，
所以，
所以，
故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为.
12．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)适宜，
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，转化线性回归方程求解，进而得关于回归方程；
（2）由题意，的取值为，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.
【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为与之间的回归方程模型；
令，则，
，
关于的回归方程为.
（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，
设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，
由全概率公式
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为：
.
所以取出“死卵”个数的数学期望.
13．中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.
(1)估计该味中药的最佳用量与功效；
(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.
【答案】(1)该药物使用量为克时可达最大功效.
(2)
【分析】（1）根据用量与功效之间具有关系，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意求得，，结合则，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量与药物功效之间具有关系，
可得，所以当时，，
即该药物使用量为克时可达最大功效.
（2）解：由题意，得，，所以，
则 ，
这批合成药的药物功效平均值为.
14．五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：
（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．
(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；
(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：①参考数据：，，，．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为2.
【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出的回归方程，再代换作答.
（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.
【详解】（1）由已知点集中在一条直线附近，设回归直线方程为，
由，，，
得，，
因此变量关于的回归方程为，
令，则，即，
所以关于的回归方程为.
（2）由，解得，所以，
于是为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数服从超几何分布，的可能取值为1,2,3，
，
所以的分布列为：
期望.
15．数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5．
(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；
(2)根据上述数据求得关于的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
其中，．
参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
【答案】(1)；
(2)45.628（十亿元）.
【分析】（1）对两边取对数，转化为线性回归方程的求解，结合已知数据和参考公式，即可求解；
（2）根据（1）中所求模型，令，即可求得结果.
【详解】（1）因为，所以两边同时取自然对数，得，
设，所以，
设，，则，
因为，，
所以 ，
，所以，，
所以，，所以
（2）把2024年代码代入方程，
得（十亿元）
故预测2024年的中国车载音乐市场规模45.628（十亿元）
16．当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：
其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近.
(1)根据所给数据，求出关于的回归方程；
(2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望=
【分析】（1）根据数据和最小二乘法公式求出a和即可；
（2）因为是一家4口购买不同的套餐，套餐的种类只有6种，所以X的取值为2,3,4，按照超几何分布的模式写出分布列和数学期望.
【详解】（1）因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为，
由，则，
，故变量关于的回归方程为.又，
故，
综上，关于的回归方程为；
（2）由，解得，
而，所以即为“主打套餐”.
则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是，
且，
分布列为
期望.
17．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中）
(1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立关于的回归方程；
（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
(3)10
【分析】（1）根据所给数据求出相对应的相关系数，即可判断；
（2）（i）由（1）及所给数据求出、，即可得到回归方程；（ii）将代入计算即可；
（3）依题意，可得，令，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.
【详解】（1）因为的线性相关系数，
的线性相关系数，
，
更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.
（2）（i）依题意，可得，
，
，关于的回归方程为.
（ii）当时，金属含量的预报值为.
（3）因为，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，
故为10时，开采成本最大.
18．党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年.

现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值：
表中．
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)选择模型②，利用见解析
(2)，.
【分析】（1）根据残差点的分布可得出结论；
（2）令，可得出，利用参考数据可求出、的值，可得出关于的回归方程，然后将代入回归方程，可得出该公司年高科投研发投入的预报值.
【详解】（1）应该选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型②比较合适.
（2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有.
则，所以，
则关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为，
年，即时，（亿元），
所以该公司年高科技研发投入的预报值为（亿元）.
19．MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大．下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5．
(1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；
(2)从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望．
参考数据：
其中，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）两边取自然对数有，设，所以，则将非线性方程转化为线性方程，利用公式计算出， 代入样本中心点即可得到；
（2）的取值依次为1,2,3，计算出每个对应的概率值，再利用期望公式即可得到答案.
【详解】（1）两边同时取自然对数得.
设，所以，
因为,
所以.
把代入,得,所以,所以,
即关于的回归方程为.
（2）2018年-2022年中国MCN市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有1.68, 2.45,3.35，共3个，所以的取值依次为1,2,3
所以的分布列为
.
20．2023年高考进入倒计时，为了帮助学子们在紧张的备考中放松身心，某重点高中通过开展形式多样的减压游戏，确保同学们以稳定心态，良好地状态迎战高考，游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
(1)如果某同学进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，假设有1000名学生独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并通过回归方程预测成功的总人数（取整数部分）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)，270；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出X的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）利用给定的数据结合最小二乘法公式求出回归方程，再预测成功的总人数作答.
（3）求出在前n轮就成功和不成功的概率，再利用对立事件概率公式推理作答.
【详解】（1）依题意，X的取值可能为1，2，3，则；
；，
所以X的分布列为：
所以数学期望为．
（2）令，则，
依题意，，
于是，
则，
所以所求的回归方程为：，
估计t=6时，；估计t=7时，；估计t=8时，；
估计t=9时，；估计t≥10时，，从而，
所以预测成功的总人数为270．
（3）依题意，在前n轮就成功的概率为，
又因为在前n轮没有成功的概率为
，则，
所以．
三、相关系数
21．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
(1)请用相关系数说明与之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程和A区的残差
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．
①若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额；
②若区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求的取值范围．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【答案】(1)答案见解析，，0.05
(2)①1750（万元）；②
【分析】（1）根据表中数据和题设给出的计算公式可求相关系数，故可用线性回归模型拟合与之间的关系，求出回归方程后可求残差.
（2）①结合（1）的回归方程可估计补贴总金额；②利用独立事件的概率公式可求补贴总金额的分布列，求出其期望后可求的取值范围.
【详解】（1）由题，，
，
，，
所以相关系数，
因为与之间的相关系数近似为0.99，说明与之间的线性相关程度非常强，
所以可用线性回归模型拟合与之间的关系．
，
故关于的线性回归方程为．
∵，∴，故A区的残差为0.05.
（2）（2）①将代入，得，
故估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）．
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以，
所以，
由，得，又，所以，
故的取值范围为．
22．为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
①参考数据：．
②参考公式：线性回归方程为，其中；
相关系数，若，则可判断与线性相关较强；
，其中．附表：
【答案】(1)电动汽车销量与年份的线性相关性的较强；
(2)依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答.
（2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答.
（3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答.
【详解】（1）由，得，由，得，
因为线性回归方程，则，
即，
因此相关系数，
所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.
（2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得：，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（3）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，
则的可能值为，，
所以的分布列为：
的数学期望.
23．某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程.
参考数据和参考公式：相关系数，，，
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据表格数据可分别计算出与的平均值，再代入计算可得相关系数近似为，即可知与相关程度较高；
（2）根据（1）中的计算结果可得，代入计算可得，即可求得关于的回归方程.
【详解】（1）由题意得，，
，
，
因此相关系数.
即相关系数近似为，与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）由（1）中数据，得，，
所以关于的回归方程为.
24．研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
参考数据：，
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据： ，
【答案】(1)的分布列见解析；
(2)15
【分析】（1）首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率计算出，从而得到随机变量X的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和数学期望；
（2）首先根据样本相关系数和已知条件计算出，进一步计算可得，利用最小二乘法计算出请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，从而得到线性回归方程，将代入可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的可能取值为，且服从超几何分布，其中，
，，，
的分布列为
数学期望为；
（2）因为，所以，所以，
由于，
所以，所以，
因为，，
解得，所以，所以，
当时，，
据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数为.
25．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
(2)求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】(1)答案见解析；
(2)，9.9百千克.
【分析】（1）利用给定的图象，求出相关系数公式中的相关量，再代入公式计算并判断作答.
（2）利用（1）中信息，结合最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计作答.
【详解】（1）因为，，
，
，，
因此相关系数，
所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，
因此，当时，，
所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．
26．我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)
(2)规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
【答案】(1)，认为具有很强的线性相关性
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【详解】（1）因为，
代入已知数据，
得.
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，
从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为，
由题意，的所有可能取值为.则，
，，.
所以的概率分布为
所以X的数学期望.
27．为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据（），部分数据如下：
经计算得：，，，.
(1)利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；
(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.设前者与后者的斜率分别为，，比较，的大小关系，并证明.
附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，，
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据最小二乘法计算公式求解；
（2）根据相关系数证明.
【详解】（1），，，，
故回归方程为；
（2）x关于y的线性回归方程为，
， ，
则 ，r为y与x的相关系数，
又，，，故，即，
下证：，
若，则，即恒成立，
代入表格中的一组数据得：，矛盾，
故.
综上，y关于x的回归方程为.
28．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
【答案】(1)0.95，y与x具有较强的线性相关关系
(2)．
【分析】（1）利用相关系数的公式计算求解，判断即可．
（2）由列举法并利用古典概型求概率
【详解】（1），，
所以，
由于，
相关系数，
因为，所以y与x具有较强的线性相关关系．
（2）将地点1，2，3，4，5分别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即，，3种情况，
故所求概率为．
29．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．
(1)该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数，（），数据如下表所示：
试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．
附：参考公式及数据：，．
【答案】(1)，是
(2)方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值
【分析】（1）利用相关系数的公式计算求解，判断即可．
（2）分析，的取值，对于方案一，利用相互独立事件的概率逐个求概率，再求期望；对于方案二，利用二项分布的概念求期望，比较即可．
【详解】（1），，
，，
相关系数，
因为，所以与具有较强的线性相关关系．
（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为，，则，的所有可能取值均为0，1，2，
方案一：，
，
，
所以．
方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，
所以，
所以，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．
30．近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌年到年新能源汽车年销量（万）如下表：其中年对应的年份代码为．
(1)判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到）；
(2)（i）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计；
（ii）令变量，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（i）中结论求关于的经验回归方程，并预测年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数，，，，
【答案】(1)线性相关且正相关，0.92
(2)（i）；（ii），万辆．
【分析】（1）首先画出散点图，根据参考数据，计算；
（2）（ⅰ）首先写出残差平方和公式，表示为关于的二次函数，列式求解；（ⅱ）根据参考公式求回归直线方程，即可求解.
【详解】（1）通过做散点图发现，
样本点大致分布在一条直线附近，
因此是线性相关．

所以两变量有较强的正相关

（2）（i）
要使残差平方和最小，当且仅当；
（ii），
由（i）知，
关于的经验回归方程为，
当（万），
因此，预计年该品牌新能源汽车的销售量将达到万辆．
年度
2016—2017
2017—2018
2018—2019
2019—2020
2020—2021
2021—2022
年度代号t
1
2
3
4
5
6
旅游人次y
1.7
1.97
2.24
0.94
2.54
3.15
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用车年销售y（万辆）
50
78
126
121
137
352
144
4.78
841
5.70
37.71
380
528
日期
1月5日
1月20日
2月5日
2月20日
3月5日
3月20日
昼夜温差x（℃）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价
销售量
年份
年
年
年
年
年
年
序号
第年
第年
第年
第年
第年
第年
贫困户数（百户）
第天
1
2
3
4
5
新接种人数
10
15
19
23
28
时间
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
降雨量y
29
28
26
27
25
23
24
22
21
29.2
12
16
34.4
360
0
1
2
套票类别
A
B
C
D
E
F
套票价格（元）
40
50
60
65
72
88
购买人数（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
1
2
3
年份代码
1
2
3
4
5
车载音乐市场规模
2.8
3.9
7.3
12.0
17.0
1.94
33.82
1.7
1.6
26.84
套餐
A
B
C
D
E
F
月资费x（元）
38
48
58
68
78
88
购买人数y（万人）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
75.3
24.6
18.3
101.4
2
3
4
6
60
75
2.25
82.5
4.5
120
28.67
年份代码
1
2
3
4
5
中国MCN市场规模
1.12
1.68
2.45
3.35
4.32
2.58
0.84
46.83
15.99
1
2
3
1
2
3
4
5
120
62
33
20
15
X
1
2
3
P
区
区
区
区
外来务工人数万
3
4
5
6
就地过年人数万
2.5
3
4
4.5
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
身体综合指标评分
1
2
3
4
5
用时（/小时）
9.5
8.6
7.8
7
6.1
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（）
4
7
8
9
14
12
新增感就诊人数y（位）
0
1
2
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
P
x
…
2.7
3.6
3.2
3.9
…
y
…
50.6
63.7
52.1
54.3
…
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人运输机指标数y
3
4
4
4
5
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数
2
4
5
6
8
甲型无人运输机指标数
3
4
4
4
5
年份代码
1
2
3
4
5
销量（万）
4
9
14
18
25