2025年高考数学重点题型精准训练(新高考通用)专题19线性回归、分线性回归和相关系数(学生版+解析)

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1．2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：
(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.
附注：参考数据：t=16i=16ti=3.5，y=16i=16yi=2.09，i=16tiyi=47.72，i=16ti2=91，i=16ti-ti=16yi-y2≈7.参考公式：相关系数r=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2i=1nyi-y2=i=1ntiyi-ntyi=1nti-t2i=1nyi-y2，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2=i=1ntiyi-ntyi=1nti2-nt2，a=y-bt
【答案】(1)0.55，线性相关性不强
(2)y=0.26t+1.43，2.47亿
【分析】（1）由已知数据结合相关系数公式求出相关系数，再进行判断即可，
（2）由已知数据结合回归方程公式计算y关于t的线性回归方程，再将t=4代入回归方程可求出2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值
【详解】（1）由参考数据计算得
i=16(ti-t)(yi-y)=i=16tiyi-6ty=47.72-6×3.5×2.09=3.83
所以r=i=16(ti-t)(yi-y)i=16(ti-t)2i=16(yi-y)2≈3.837≈0.55，
因为00,m>0)，该商场现有60~150m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?
附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，a=y-bx.
【答案】(1)y=0.15x-7.5
(2)小李应该租100m2的商铺
【分析】（1）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，
（2）根据题意得Z=Wx=k0.15x-7.5x+m，60≤x≤150，构造函数f(x)=0.15x-7.5x2，利用二次函数的性质可求出其最大值，从而可求出Z的最大值
【详解】（1）由已知可得x=120i=120xi=120，y=120i=120yi=10.5，
b=i=120xi-xyi-yi=120xi-x2=630042000=0.15，
a=y-bx=10.5-0.15×120=-7.5，
所以回归直线方程为y=0.15x-7.5.
（2）根据题意得Z=Wx=k0.15x-7.5x+m，60≤x≤150.
设f(x)=0.15x-7.5x2=0.15x-7.5x2，令t=1x，1150≤t≤160，
则f(x)=g(t)=0.15t-7.5t2=-7.5×(t-0.01)2+0.00075，
当t=0.01，即x=100时，f(x)取最大值，
又因为k，m>0，所以此时Z也取最大值，
因此，小李应该租100m2的商铺.
4．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．
参考公式：b=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；
(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．
①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^；
②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
【答案】(1)15
(2)①y=187x-307 ；②14人
【分析】（1）利用列举法求解，先列出从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况，然后找出其中2组数据都是20日的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，
（2）①根据表中的数据和公式求出y关于x的线性回归方程，②把x=7代入回归方程求解即可
（1）
记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6共15种，
其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种．
根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率P=315=15．
（2）
①由所选数据，得x=11+13+12+84=11，y=25+29+26+164=24，
所以b=11×25+13×29+12×26+8×16-4×11×24112+132+122+82-4×112=187，
所以a=y-bx=24-187×11=-307，
所以y关于x的线性回归方程为y=187x-307．
②当x=7时，y=187×7-307=967≈14，
所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人．
5．某科技公司研发了一项新产品A，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x（千元）和销售量y（千件）之间的一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0．65千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程y=bx+a，其中b=i=1nxiyi-n⋅x⋅yi=1nxi2-nx2.
参考数据：i=15xiyi=392，i=15xi2=502.5.
【答案】（1）y=-3．2x+40；（2）是.
【分析】（1）先由表中的数据求出x,y，再利用已知的数据和公式求出b,a，从而可求出y关于x的回归直线方程；
（2）当x=8时，求出y的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为x=159+9.5+10+10.5+11=10，y=1511+10+8+6+5=8，
所以b=392-5×10×8502.5-5×102=-3.2，
得a=8--3.2×10=40，
于是y关于x的回归直线方程为y=-3.2x+40；
（2）当x=8时，y=-3.2×8+40=14.4，
则y-y=14.4-15=0.6