2027届高三物理一轮复习教案：第五章　第二十一课时　人造卫星　宇宙速度

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考点一 卫星运行参量的分析
1.基本公式
(1)线速度大小：由GMmr2=mv2r得v=GMr。
(2)角速度：由GMmr2=mω2r得ω=GMr3。
(3)周期：由GMmr2=m(2πT)2r得T=2πr3GM。
(4)向心加速度：由GMmr2=man得an=GMr2。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=GMmR2，整理可得GM=gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T=24 h。
③高度固定不变，h=3.6×107 m。
④运行速率约为v=3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止卫星吗？
(3)赤道上放置一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v=GMr得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
答案 (1)由a=GMr2及v=GMr可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度大小和速度大小。
(2)由于静止卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止卫星只能定点在赤道正上方。
(3)赤道上放置的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v=GMr，由v=ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
例1 (2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是( )
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
答案 A
解析 恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可知GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2r=ma，解得T=2πr3GM，v=GMr，ω=GMr3，a=GMr2，因r甲ω乙，a甲>a乙，故选A。
例2 (2025·浙江省七彩阳光新高考研究联盟联考)天通一号系统是我国自主研制建设的卫星移动通信系统，天通一号系统空间段目前由01星、02星和03星三颗地球同步轨道卫星组成。天通一号卫星距地面的高度约为地球半径的5.6倍，中国空间站距地面的高度约为400 km，地球半径约为6.4×103 km，则天通一号卫星与中国空间站相比( )
A.线速度约为16.6倍
B.角速度约为5.6倍
C.周期约为15.63倍
D.受到的万有引力约为16.62倍
答案 A
解析 地球半径约为6.4×103 km，天通一号卫星距地面的高度约为地球半径的5.6倍，则天通一号卫星的轨道半径r1=6.6R
中国空间站距地面的高度约为400 km，则中国空间站的轨道半径r2=6.8×103 km≈R
根据万有引力提供向心力有GMmr2=mv2r
解得v1v2=r2r1≈16.6
A正确；
根据万有引力提供向心力有GMmr2=mrω2=mr4π2T2
解得ω1ω2=r23r13≈16.63，T1T2=r13r23≈6.63
B、C错误；
根据万有引力公式有F=GMmr2
由于天通一号卫星与中国空间站的质量关系未知，无法求出万有引力的关系，D错误。
例3 (多选)(2024·天津卷)卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时( )
A.角速度之比为1∶1
B.线速度之比为r∶R
C.向心加速度之比为R∶r
D.受到地球的万有引力之比为R2∶r2
答案 AC
解析 卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角速度之比为1∶1，故A正确；
根据题意，由公式v=ωr可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为轨道半径之比R∶r，故B错误；
根据题意，由公式an=ω2r可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度之比为轨道半径之比R∶r，故C正确；
根据题意，由公式F=GMmr2可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨道半径的平方成反比，即r2∶R2，故D错误。
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较

考点二 宇宙速度
三个宇宙速度
1.(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g取9.8 m/s2)
答案 (1)由Gm地mR2=mv2R得v=Gm地R
由mg=mv2R得v=gR
(2)近地卫星运行周期T=2πRg=2π6.4×1069.8 s≈85 min。
2.已知引力势能的表达式为Ep=-GMmr，其中r为卫星到地心的距离。试推导地球第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系，并给出第二宇宙速度的估算值。(此关系对于其他天体也是正确的)
答案 卫星从发射到脱离地球至无穷远处的过程中机械能守恒，有
-GMmR+12mv22=0
在地球表面附近环绕的卫星GMmR2=mv12R
联立得v2=2v1
又v1=7.9 km/s，故可得v2=11.2 km/s。
例4 火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为( )
A.1∶5B.2∶5
C.3∶5D.2∶3
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力有GMmR2=mv2R，可得v火v地=M火R地M地R火=15，故选A。
例5 (2025·甘肃卷·2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A.若v=GMR，小星球做匀速圆周运动
B.若GMRv2
B.从P点运动到Q点的过程中卫星S的机械能增加
C.两卫星通过A点时的加速度大小相等，但方向不同
D.在相等时间内卫星S与地心连线扫过的面积与“夸父一号”卫星与地心连线扫过的面积相等
答案 A
解析 设沿椭圆轨道运行卫星在远地点变轨成绕地球做匀速圆周运动，则需要在变轨处点火加速，可知v2小于变轨后圆轨道的运行速度v2'；卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得GMmr2=mv2r，解得v=GMr，可知v1>v2'，则两卫星在图示位置的速度v1>v2，A正确；从P点运动到Q点的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，B错误；两卫星在A处，都靠万有引力提供加速度，加速度大小相等，方向相同，C错误；开普勒第二定律是指同一卫星在相等的时间内，与中心天体连线扫过的面积相等，而“夸父一号”卫星和另一颗卫星S不是同一卫星，在相等的时间内，与地心连线扫过的面积不一定相等，D错误。
10.(2025·重庆卷·7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的( )
A.轨道半径之比为Ld
B.周期之比为3(L+dL)2
C.线速度大小之比为L+dL
D.向心加速度大小之比为(LL+d)2
答案 D
解析 根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为r地r金=d+LL，故A错误；根据万有引力提供向心力有GMmr2=m(2πT)2r=mv2r=ma，解得T=4π2r3GM，v=GMr，a=GMr2，故可得周期之比为T地T金=(d+LL)3；线速度大小之比为v地v金=Ld+L；向心加速度大小之比为a地a金=(Ld+L)2，故B、C错误，D正确。 比较项目
近地卫星a(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星b(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体c(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1=r3
角速度
ω1>ω2=ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度
v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度