2027届高三物理一轮复习教案：第四章　第十六课时　曲线运动　运动的合成与分解

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曲线运动
第16课时 曲线运动 运动的合成与分解
目标要求 1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。3.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
考点一 曲线运动的条件和特征
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a恒定：匀变速曲线运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
3.做曲线运动的条件：
4.速率变化的判断
例1 (2025·浙江省名校新高考研究联盟联考)如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是( )
A.乒乓球仍沿着直线运动
B.乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒
C.乒乓球一定能进入纸筒
D.只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过纸筒口时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，乒乓球做曲线运动，故乒乓球会偏离原有的运动路径；而乒乓球会获得一个横向的速度，因此乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒；故A、C、D错误，B正确。
例2 (2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
答案 D
解析 小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1.速度方向与运动轨迹相切；
2.合力方向指向曲线的“凹”侧；
3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二 运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3.运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
例3 (多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则( )
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为53 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为102 m/s
答案 BD
解析 根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay=mgsin30°m=gsin 30°=5 m/s2
故t=1 s时，物块的y坐标值为
y=12ayt2=2.5 m
故B正确；
t=1 s时，Fx=6 N，故ax=Fxm=5 m/s2
则a=ax2+ay2=52 m/s2
故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt=mvx-0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
(4+2×0)+(4+2×2)2×2=1.2vx
解得vx=10 m/s
此时y轴方向速度大小为
vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
故此时物块的速度大小为
v=vx2+vy2=102 m/s
故D正确。
思考
1.如何判断两个直线运动合运动的性质？
答案 把两个直线运动的初速度和加速度分别合成，若a合恒定，则为匀变速运动，若a合变化，则为变加速运动，若a合与v0合共线，则为直线运动；若a合与v0合不共线，则为曲线运动。
2.完成下列表格。

考点三 小船渡河和关联速度
例4 (多选)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河岸成θ=60°角的速度v1(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m，则下列说法中正确的是( )
A.河中水流速度为2.53 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为243 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是905 m
答案 BD
解析 如图，河中水流速度为v2=v1cs 60°=2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t=dv1sin60°=1805×32 s=243 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin=dv1=1805 s=36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=2.5×36 m=90 m，则总位移大小s=d2+x2=905 m，选项D正确。
拓展
1.若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案 渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2.若在A处下游1803 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案 设船恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v1'=v2sin α，tan α=dl=33，得α=30°，所以船的最小速度为v1'=v2sin 30°=1.25 m/s。
小船渡河的两类情况
例5 (2025·黑吉辽蒙卷·6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v( )
A.一直减小B.一直增大
C.先减小后增大D.先增大后减小
答案 B
解析 设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳方向和垂直绳方向分解，可得v块cs θ=vsin θ，解得v=v块tanθ，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大。故选B。
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
例6 如图所示，半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为2r时，圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为( )
A.vB.12vC. 3vD. 33v
答案 D
解析 接触面两侧圆柱体的速度在垂直于接触面方向的速度分量相等，如图，根据几何关系有vcs 60°=vBcs 30°，解得vB=33v，故选D。
课时精练
[分值：39分]
[1~7题，每题3分]
1.关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A.曲线运动一定是匀变速运动
B.物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C.物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D.物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
答案 B
解析 曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。
2.(2025·浙江宁波市检测)2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1枚携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域。全程飞行试验行程9 070公里，落点靶区为2公里正方形区域，实际偏差仅为250米。如图是导弹的飞行轨迹，导弹的速度v与所受合外力F的关系可能正确的是( )
A.图中A点B.图中B点
C.图中C点D.图中D点
答案 D
解析 根据曲线运动的特点可知，速度v的方向沿运动轨迹的切线方向，合外力F的方向指向运动轨迹的凹侧，轨迹在两者之间，故图中D点符合要求，A点、B点、C点不符合要求。故选D。
3.(2025·浙江金华市检测)如图所示，从一根内壁光滑的空心竖直钢管A的上端边缘，紧贴钢管管壁向管内水平抛入一钢球，钢球一直沿管壁做曲线运动直至落地。若换一根等高但内径更大的内壁光滑的空心竖直管B，用同样的方法抛入此钢球，下列说法正确的是( )
A.在A管中的钢球运动时间长
B.在B管中的钢球运动时间长
C.钢球在两管中的运动时间一样长
D.钢球在两管中的运动时间无法确定
答案 C
解析 钢球在钢管内的运动可分解为水平面内的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动，则竖直方向上有h=12gt2，解得t=2ℎg，由于A管与B管高度相同，可知钢球在两管中的运动时间一样长，故选C。
4.如图是一个小球从水平向右的横风区正上方自由下落的闪光照片，除横风区外，其他位置的空气作用力可不计，则( )
A.小球在横风区中水平速度不变
B.小球刚进入横风区时加速度水平向右
C.小球刚从横风区飞出时速度最大
D.小球从横风区飞出后，做匀变速曲线运动
答案 D
解析 小球刚进入横风区时，受重力和水平向右的风力，根据牛顿第二定律可知加速度斜向右下方，且水平方向的速度增大，故A、B错误；小球从横风区飞出后，只受重力作用，做匀变速曲线运动，向下运动过程中速度不断增大，所以小球刚从横风区飞出时速度不是最大，故C错误，D正确。
5.在马戏表演中，演员顶着直杆沿水平地面做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，同时猴子沿竖直杆向上以速度v0匀速移动，经过一段时间，猴子沿杆向上移动的高度为h，如图所示，下列说法正确的是( )
A.猴子相对地面做匀变速直线运动
B.猴子相对地面的运动轨迹为直线
C.此时刻猴子对地速度的大小为v0+aℎv0
D.这段时间内演员对地的位移大小为aℎ22v02
答案 D
解析 猴子在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向上做匀速直线运动，根据运动的合成可知，合初速度与合加速度不在同一条直线上，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动，故A、B错误；这段时间为t=ℎv0，此时刻猴子对地的速度大小为v=v02+(aℎv0)2，故C错误；这段时间内演员对地的位移大小为s=12at2=12a(ℎv0)2=aℎ22v02，故D正确。
6.(2025·湖南卷·2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是( )
答案 C
解析 根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度大小为a，斜面倾角为θ，将物块的运动分解为水平和竖直方向的两个分运动，物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0x=v0cs θ，加速度大小为ax=acs θ，则有vx2-v0x2=-2axx，整理可得vx=(v0csθ)2−2acsθ·x，可知，vx-x图像为类似抛物线的一部分，故A、B错误；物块在竖直方向上做匀减速直线运动，初速度为v0y=v0sin θ，加速度大小为ay=asin θ，则有vy2-v0y2=-2ayy，整理可得vy=(v0sinθ)2−2asinθ·y，可知，vy-y图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。
7.(2025·浙江台州市检测)某一质点在xOy平面内运动。t=0时，质点位于y轴上，它在x轴正方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在y轴的纵坐标随时间变化图像如图乙所示。关于质点的运动下列说法正确的是( )
A.质点在y方向做匀减速直线运动
B.t=0.5 s时，质点的加速度方向沿y轴负方向
C.t=1 s时，质点速度大小是11 m/s
D.质点在xOy平面内的运动轨迹是抛物线
答案 D
解析 由题图乙可知质点沿y轴负方向做匀速直线运动，vy=ΔyΔt=0−102 m/s=-5 m/s，故A错误；由题图甲可知质点在x轴方向上的加速度为ax=ΔvxΔt=8−42 m/s2=2 m/s2，方向沿x轴正方向，由题图乙可知质点沿y轴负方向做匀速直线运动，加速度为零，t=0.5 s时，质点的加速度方向沿x轴正方向，故B错误；t=1 s时，由题图甲可知质点在x轴方向上速度为vx1=4 m/s+2×1 m/s=6 m/s，质点在y轴方向上速度为vy=-5 m/s，则t=1 s时，质点的速度大小为v1=vx12+vy2=62+(−5)2 m/s=61 m/s，故C错误；x轴方向上的匀加速直线运动和y轴方向上的匀速直线运动的合运动为匀变速曲线运动，质点在xOy平面内的运动轨迹是抛物线，故D正确。
[8题4分]
8.(2025·浙江省名校协作体检测)如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为( )
A.vrcs θtan θ2B.vrsin θtan θ2
C.vrcs θ2tan θD.vrcs θct θ2
答案 B
解析 设圆环与木板的接触点为P，圆心为O，角的顶点为A，连接AO，A1P之间的距离为x，将圆心的速度分解为垂直于板的速度和沿板方向的速度，如图所示，由几何关系有tan θ2=rx，由运动的合成与分解有v板=vsin θ
板的角速度为ω=v板x
解得ω=vrsin θ·tan θ2，故选B。
9.(10分)(2024·浙江绍兴市检测)图(a)是我国传统农具——风鼓车，图(b)是其工作原理示意图，转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10-5~2.0×10-5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10-5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.12 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.4 m；质量为2.0×10-5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B，设谷物从H漏出时速度竖直向下，大小为1 m/s；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，重力加速度g取10 m/s2。
(1)(3分)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)(4分)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)(3分)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。
答案 (1)0.2 s (2)1.2×10-4 N (3)0.08 m
解析 (1)谷粒从H落到出料口的过程，在竖直方向上做初速度为1 m/s的匀加速直线运动，
竖直方向上有h=v0t+12gt2，
将h=0.4 m代入可得t=0.2 s
(2)对质量为2.0×10-5 kg的谷粒，从H漏出后恰好经B点落入A2B，
水平方向有x1=12at2
设风力大小为F，由牛顿第二定律F=ma
将x1=0.12 m、t=0.2 s、m=2.0×10-5 kg代入，联立可得F=1.2×10-4 N
(3)质量等于1.2×10-5 kg的瘪粒，恰好落到A2点，设A2B宽度为x2，
有x1+x2=12a't2，F=m'a'，
联立可得x2=0.08 m。
[4分]
10.(2025·浙江湖州市三模)如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为33。则( )
A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B.若B做匀速运动，则A做加速运动
C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F有最小值
D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F一直在增大
答案 D
解析 A、B两滑块速度关系如图甲所示
甲
由几何关系有vB=vAcs θ
若A做匀速运动，θ逐渐减小，cs θ逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，θ逐渐减小，cs θ逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故A、B错误；
对滑块B有FT=2mg
对滑块A进行受力分析如图乙所示
乙
由于滑块A从题图所示位置开始缓慢向右移动至θ=30°的过程中，30°≤θ≤90°
可知FTsin θ=2mgsin θ≥mg，则在竖直方向上有FTsin θ=mg+FN
则在水平方向有F=μFN+FTcs θ
联立解得F=2mgcs θ+2μmgsin θ-μmg=2mg1+μ2(11+μ2cs θ+μ1+μ2sin θ)-μmg
假设sin α=11+μ2=32，cs α=μ1+μ2=12
解得α=60°
则可求得F=2mg1+μ2sin (60°+θ)-μmg
滑块A从初始位置开始缓慢向右移动到θ=30°的过程中，θ减小，可知F逐渐增大，当θ=30°时，解得拉力F有最大值Fmax=3mg，故C错误，D正确。考
情
分
析
生活实践类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
最短时间
最短航程
v船>v水
v船