黑龙江省牡丹江市2025-2026学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．5
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )
A．B．C．D．
5．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ）
A．（1，＋∞）B．（1，2）C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）
6．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
7．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递增
C．函数的对称中心是
D．函数的对称轴是
8．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A．B．C．D．1
9．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数，则的大小关系是( )
A．B．C．D．
11．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则的最小值为______．
14．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．
15．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（—）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为__________．
16．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中.
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.
18．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．
19．（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.
（参考数据：）
20．（12分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边上的高.
21．（12分）己知，函数.
（1）若，解不等式；
（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.
22．（10分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.
【详解】
对于，图象如下图所示：
则函数在定义域上不单调，错误；
对于，的图象如下图所示：
则在定义域上单调递增，且值域为，正确；
对于，的图象如下图所示：
则函数单调递增，但值域为，错误；
对于，的图象如下图所示：
则函数在定义域上不单调，错误.
故选：.
本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.
2．D
【解析】
根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.
【详解】
依题意得，，，因此该双曲线的离心率.
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.
3．D
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.
【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，．
故选D．
本题考查全称命题的否定,难度容易.
4．A
【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上，所以
依题有,则，
所以，
故选：A
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
5．B
【解析】
，
，
∴．
故选．
6．B
【解析】
根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合
则
所以的子集共有
故选：B
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.
7．B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.
【详解】
由图象可得，函数的周期，所以.
将点代入中，得，解得，由，可得，所以.
令，得，
故函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，故A正确；
令，得，
故函数在上单调递增.
当时，函数在上单调递增，故B错误；
令，得，故函数的对称中心是，故C正确；
令，得，故函数的对称轴是，故D正确.
故选：B.
本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．C
【解析】
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．
【详解】
如图，
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，
则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，
∴MH＝＝＝，
∴MN＝．
故选：C．
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．C
【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，且，
所以.
故选：C.
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.
10．B
【解析】
根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．
【详解】
解：∵，
∴，，．
∴．
故选：B．
本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．C
【解析】
取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.
【详解】
解：如图，取中点，连接，，
由于正三棱柱，则底面，
而底面，所以，
由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，
所以，且,
所以平面，
而平面，则，
则//，，
∴即为异面直线与所成角，
设，则，，，
则，
∴.
故选：C.
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.
12．D
【解析】
根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数，其导数函数，
则有在上恒成立，
则在上为增函数；
又由，
则；
故选：．
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：根据题意有，因为三点共线，所以有，从而有，所以的最小值是．
考点：向量的运算，基本不等式．
【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化，根据三点共线，结合向量的性质可知，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加，得出最后的答案．
14．
【解析】
利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果．
【详解】
设人数、物价分别为、，满足，解得，.
故答案为：；.
本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．
15．2
【解析】
根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.
【详解】
画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场．
故答案为：2
本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
16．
【解析】
由已知可得，结合双曲线的定义可知，结合 ，从而可求出离心率.
【详解】
解：,，又，则.
，，，即
解得，即.
故答案为: .
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.
【详解】
（Ⅰ）函数的定义域为.
当时，.
令，解得（舍去），.
当时，，所以，函数在上单调递减；
当时，，所以，函数在上单调递增.
因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）由题意，可知在上恒成立.
（i）若，，，
，
构造函数，，则，
，，.
又，在上恒成立.
所以，函数在上单调递增，
当时，在上恒成立.
（ii）若，构造函数，.
，所以，函数在上单调递增.
恒成立，即，，即.
由题意，知在上恒成立.
在上恒成立.
由（Ⅰ）可知，
又，当，即时，函数在上单调递减，
，不合题意，，即.
此时
构造函数，.
，
，，
，
恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.
综上，实数的最大值为
本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.
18．（1）证明见详解；（2）.
【解析】
（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；
（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：
在中，因为 为的中点，
，且，
又为的中点，，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
又平面，平面，
平面，即证.
（2）取中点，连结，，则，平面，
以为原点，分别以，，为，，轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令．则，
同理得平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.
19．（1）（2）2
【解析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.
（2）对分成，两种情况进行分类讨论.当时 ，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）已知函数，则处即为，
又，，
可知函数过点的切线为，即.
（2）注意到，
不等式中，
当时，显然成立；
当时，不等式可化为
令，则，
，
所以存在，
使.
由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.
且在区间上，递减，在区间上，递增，
即的最小值为，令，
则，将的最小值设为，则，
因此原式需满足，即在上恒成立，
又，可知判别式即可，即，且
可以取到的最大整数为2.
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
20．（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理将边化成角，可得，展开并整理可得，从而可求出角；
（2）由余弦定理得，进而可得，由，可求出的值，设边上的高为，可得的面积为，从而可求出.
【详解】
（1）由题意，由正弦定理得.
因为，所以，所以，展开得，整理得.
因为，所以，故，即.
（2）由余弦定理得，则，得，故，
故的面积为.
设边上的高为，有，故，
所以边上的高为.
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解
【详解】
（1）当时，，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，由，解得.
综上可知，原不等式的解集为.
（2）.
存在使得成立，等价于.
又因为，所以，即.
解得，结合，所以实数的取值范围为.
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题
22．（1）当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为； （2）见解析.
【解析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n＝1时，X的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率，
有3个坑要补播种的概率为.
欲使最大，只需，
解得，因为，所以
当时，；
当时，；
所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
（2）由已知，的可能取值为0，1，2，3，1.，
所以的分布列为
的数学期望.
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．
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