2026年黑龙江省牡丹江市高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年黑龙江省牡丹江市高三第二次调研数学试卷（含答案解析），文件包含河北省沧州市八县联考2026届高三下学期3月阶段检测日语试卷含答案docx、河北省沧州市八县联考2026届高三下学期3月阶段检测日语试卷听力mp3等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于( )
A．1B．2C．3D．4
6．若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（ ）
A．B．2C．1D．3
7．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（ ）．
A．B．C．D．
8．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )
A．国防大学，研究生B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生
9．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:
得到正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
10．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
11．已知集合，，则集合子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是
丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”
可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
14．设数列的前n项和为，且，若，则______________.
15．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
16．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求．
18．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：；；.）
19．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.
（1）求矩阵;
（2）求矩阵的特征值．
20．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；
（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．
21．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
22．（10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.
若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.
【详解】
解: ，
故选：C
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.
2．B
【解析】
根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.
【详解】
如图所示：
因为正四棱锥底边边长为，高为，
所以 ，
到 的距离为，
同理到 的距离为1，
所以为球的球心，
所以球的半径为：1，
所以球的表面积为.
故选：B
本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.
3．C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
4．D
【解析】
把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．
【详解】
3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．
故选：D.
本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．
5．B
【解析】
设数列的公差为.由，成等比数列，列关于的方程组，即求公差.
【详解】
设数列的公差为，
①.
成等比数列，②，
解①②可得.
故选：.
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
6．B
【解析】
根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.
【详解】
解：由已知得，，，经检验满足题意.
，.
由得；由得或.
所以函数在上递增，在上递减，在上递增.
则，，
由于，所以在区间上的最大值为2.
故选：B.
本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题．
7．D
【解析】
根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，
需要卸下件邮件，
则，
故选：D．
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．
8．C
【解析】
根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.
【详解】
由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；
则丙来自军事科学院；
由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；
由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，
故丙为学士.
综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.
故选：C.
本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.
9．B
【解析】
通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.
【详解】
解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
10．D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
11．B
【解析】
首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.
【详解】
解：，，
，
子集的个数为.
故选：.
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．
12．D
【解析】
画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数．
【详解】
画出函数
令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个
故选：D
本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．A或D
【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．
【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，
则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，
丙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第4个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是；
假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，
则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，
乙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第3个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是．
故第4个盒子里面放的电影票为或．
故答案为：或
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．
14．9
【解析】
用换中的n，得，作差可得，从而数列是等比数列，再由即可得到答案.
【详解】
由，得，两式相减，得，
即；又，解得，所以数列为首项为-3、
公比为3的等比数列，所以.
故答案为：9.
本题考查已知与的关系求数列通项的问题，要注意n的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.
15．①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
16．18
【解析】
先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，.
故答案为：18.
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.
试题解析：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
18．（1），，；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），计算P（51＜X＜93）即可；
（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．
【详解】
解：（1）由已知频数表得：，
，
由，则，
而，所以，
则X服从正态分布，
所以；
（2）显然，，
所以所有Y的取值为15，30，45，60，
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
所以，
需要的总金额为：.
本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．
19．（1）（2）特征值为或．
【解析】
（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.
（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．
【详解】
解：（1）设矩阵由题意,
因为,
所以
,即
所以,
（2）矩阵的特征多项式,
令,解得或,
所以矩阵的特征值为1或．
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.
20．（1）.（2）.
【解析】
（1）先根据空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.
（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.
【详解】
规范解答 （1） 因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，
所以＝(－1，0，0)，＝
记异面直线AC和BE所成角为α，
则csα＝|cs〈〉|＝＝，
所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.
（2） 设平面BFC1的法向量为= (x1，y1，z1)．
因为＝，＝，
则
取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为＝(4，0，1)．
设平面BCC1的法向量为＝(x2，y2，z2)．
因为＝，＝(0，0，2)，
则
取x2＝ 得平面BCC1的一个法向量为＝(，－1，0)，
所以cs〈〉＝ =
根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角，
所以二面角F-BC1-C的余弦值为.
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21． (1)；(2)
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：

即


（2）由（1）知：
，

，即的取值范围为
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
22．；.
【解析】
设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，求出；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，，即，求出的最小值.
【详解】
设顾客获得三等奖为事件，
因为顾客掷得点数大于的概率为，
顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，
所以；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，
且，
，
，
所以随机变量的数学期望，
，
化简得，
由题意可知，，即，
化简得，因为，解得，
即的最小值为.
本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
Y
15
30
45
60
P