广东省江门市2026年高三最后一卷数学试卷（含答案解析）

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1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
3．已知等差数列中，，则（ ）
A．20B．18C．16D．14
4．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是
A．B．C．D．
5．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A．B．C．D．1
6．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
9．执行下面的程序框图，则输出的值为 （ ）
A．B．C．D．
10．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
11．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米B．480米
C．520米D．600米
12．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量与的夹角为，，，则__________．
14．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．
15．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.
16．设复数满足,则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点为边的中点，且，求的面积.
18．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
19．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
20．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
21．（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
22．（10分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的大小.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先求出，再与集合N求交集.
【详解】
由已知，，又，所以.
故选：A.
本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.
2．B
【解析】
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：.，
∴，，
，
同理可得：；；.；，，…….
∴.
故是一个以周期为6的周期数列，
则.
故选：B.
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
3．A
【解析】
设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.
【详解】
设等差数列的公差为.由得,解得.所以.
故选：A
本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.
4．B
【解析】
初始：，，第一次循环：，，继续循环；
第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，
所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．
5．C
【解析】
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．
【详解】
如图，
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，
则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，
∴MH＝＝＝，
∴MN＝．
故选：C．
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．D
【解析】
A. 若，则或，故A错误；
B. 若，则或故B错误；
C. 若，则或，或与相交；
D. 若，则，正确.
故选D.
7．C
【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.
【详解】
不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
8．A
【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由图像可知，即，
所以，解得，
又，
所以，由，
所以或，
又，
所以，，
所以，，
即，
因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，
所以.
故选：A
本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.
9．D
【解析】
根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.
【详解】
运行程序，
，
，
，
，
，
，结束循环，
故输出，
故选：D.
本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.
10．A
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】
因为，所以是偶函数，排除C和D.
当时，，，
令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.
故选：A
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
11．B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：
由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
12．C
【解析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，
令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
故选：C.
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由平面向量模的计算公式，直接计算即可.
【详解】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为
本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.
14．
【解析】
由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.
【详解】
解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或
由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为
所以.
故答案为:.
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对 的两个值进行取舍.
15．
【解析】
由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.
【详解】
因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，
又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以不等式等价于，即或，
解得或，所以不等式的解集为：.
故答案为：.
本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.
16．.
【解析】
利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
【详解】
∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.
(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.
【详解】
（1）由,
可得,
由余弦定理可得,
故.
（2）因为为的中线,所以,
两边同时平方可得,
故.
因为,所以.
所以的面积.
本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.
【解析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；
（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵椭圆：，
长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，
∴，
又∵椭圆的离心率是，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，
联立得，
∴，，
∴．
过且与直线垂直的直线设为，
联立得，
∴，故，
∴，
面积．
令，则，，
令，则，即时，面积最小，
即当时，面积的最小值为9，
此时直线的方程为．
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.
19．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③
②①，得 ，
③②，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）由椭圆的离心率求出、的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出，可得出，
【详解】
（1）由题意得，，.
又因为，，所以椭圆的方程为；
（2）由，得.
设、，所以，，
依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以.
因为，，
所以.
即，将其整理为.
因为，所以，.
所以，即.
本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析
【解析】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．
（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
【详解】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，
则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，
其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：
2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，
∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．
基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，
再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，
∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，
列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，
X的分布列如下表：
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，
三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，
这个结果发生的可能性很小，
∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明，进而由线面垂直的判定定理证明平面.
（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角的大小.
【详解】
（1）证明：∵平面平面ABEG，且，
∴平面，
∴，
由题意可得，
∴，
∵，且，
∴平面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量是，
则，
令，，
由（1）可知平面的法向量是，
∴，
由图可知，二面角为钝二面角，所以二面角的大小为.
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P