辽宁省辽阳市2026年高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．6
2．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A．或B．C．D．或
4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．复数的模为（ ）．
A．B．1C．2D．
6．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
7．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )
A．B．C．D．6
8．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
9．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.
A．B．9C．5D．
11．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）
A．36种B．44种C．48种D．54种
12．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.
14．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.
15．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
16．在的展开式中，的系数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和及使得最小的的值.
18．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
19．（12分）已知函数，.
（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；
（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中点．
证明：；
设，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.
22．（10分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：
.
故选：A
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.
2．A
【解析】
根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.
故选：A．
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
3．C
【解析】
试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
4．C
【解析】
根据可得四边形为矩形, 设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.
【详解】
设,,由,,知,
因为,在椭圆上,,
所以四边形为矩形,；
由,可得,
由椭圆的定义可得,①,
平方相减可得②,
由①②得；
令,
令,
所以,
即,
所以,
所以,
所以,
解得.
故选：C
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.
5．D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：，
复数的模为．
故选：D．
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
6．B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
7．C
【解析】
利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.
【详解】
已知与分别为函数与函数的图象上一点，
可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，
设抛物线的切点为，则由可得，
，所以切点为，
则切点到直线的距离为线段的最小值，
则.
故选：C.
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.
8．C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以
故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
9．B
【解析】
试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．
考点：抛物线的性质．
【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．
10．A
【解析】
根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.
【详解】
定点为,
，
当且仅当时等号成立，
即时取得最小值.
故选：A
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
11．B
【解析】
分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．
【详解】
六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，
如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：；
如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有；
如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧；
所以不同的执行方案共有种．
本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
12．B
【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】
由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，
∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，
∴2n＝8，∴n＝3，
∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，
∵，1＜lnπ＜3，n＝3，
∴，
∴a＜b＜c，
故选：B.
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.由正弦定理得.
故答案为：
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
14．
【解析】
分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.
【详解】
（1）斜边在上，设，则，
则，，
从而.
当时，此时，符合.
（2）若一条直角边在上，设，则，
则，，
由知.
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
.
当，即时，最大.
故答案为：.
此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.
15．1
【解析】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
16．
【解析】
根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.
【详解】
的展开式中，
所求项为：，
的系数为.
故答案为:.
本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）；时，取得最小值
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.
（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由及，
得
解得
数列的通项公式为
（2）由（1）知
时，取得最小值.
本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
18．（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大
【解析】
（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.
（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.
【详解】
（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.
可得.
（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.
②当投入2艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
③当投入3艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19．（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
【解析】
（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；
（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．
【详解】
解：（1）因为当时，恒成立，
所以，若，为任意实数，恒成立.
若，恒成立，
即当时，，
设，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
，
所以，要使时，恒成立，的取值范围为.
（2）由题意，曲线为：.
令，
所以，
设，则，
当时，，
故在上为增函数，因此在区间上的最小值，
所以，
当时，，，
所以，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.
而，即方程无实数解.
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
20．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由平面平面的性质定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线与所成角的余弦值为，得点M的坐标，从而求出二面角的余弦值.
【详解】
（1）平面平面，平面平面= ，，所以 .由面面垂直的性质定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，
，即，平面，.
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
，设 ，则，
,
得，，而，设平面的法向量为，由可得：，令，则，取平面的法向量，则，故二面角的余弦值为.
本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，属于中档题.
21．（1）（2）
【解析】
（1）因为，可得，即可求得答案；
（2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积.
【详解】
（1），
，
解得，
抛物线的方程为.
（2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点，
，
过点的抛物线的切线：，
由,消掉,
可得，
，即，
解得，，
又由，
得，
，，
同理可得，，
，，
，
切线的方程为，
点到切线的距离为，
，
即的面积为.
本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式
22．（1）答案见解析．（2）
【解析】
（1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.
（2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）由
由
因为是正四棱锥，故
于是，
由余弦定理，在中，设
再用余弦定理，在中，
∴是直角，
同理，而在平面上，
∴平面平面
（2）以为原点建立直角坐标系，如图：
则
设面的法向量为，的法向量为
则
，取
于是，二面角的余弦值为：
本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.
劳动节当日客流量
频数（年）
2
4
4
劳动节当日客流量
型游船最多使用量
1
2
3
2.5
6
2
5.5
9