2026年河南省平顶山市鲁山县第三协作区中考学科第一次调研考试九年级数学（含解析）中考模拟

这是一份2026年河南省平顶山市鲁山县第三协作区中考学科第一次调研考试九年级数学（含解析）中考模拟，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米，
光在真空中的速度约为30万千米/秒，
30万千米千米，3后面有5个0，
用科学记数法表示为千米/秒，
故选：B．
本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
3. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可．
本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式的基本运算，需要用到积的乘方、幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则，逐个计算判断即可．
【详解】解：对选项A，根据积的乘方与幂的乘方法则
∵，等式成立，
∴A正确，符合题意；；
对选项B，根据合并同类项法则，
，
∴B错误，不符合题意；
对选项C，根据积的乘方与同底数幂乘法法则，
，
∴C错误，不符合题意；
对选项D，根据完全平方公式，
∵，
∴D错误，不符合题意．
5. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解．
【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等，
抽到《九章算术》是其中1种可能，
因此概率为成功事件数除以总事件数，即，
故选：C．
6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，下列结论中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质即可一一判断
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
故A、B、C正确，
故选D
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
7. 已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法表示出方程的根，估算即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∵a是较小的根，
∴，
∵，
∴，
∴，即：；
故选A．
8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A. 25B. 22C. 19D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9. 图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，k为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（ ）
A. 青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B. 青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C. 函数解析式中自变量h的取值范围是
D. P与h的函数解析式为
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式逐一进行判断即可求解．
【详解】将点代入
即
解得
，故D不正确；
当时，，则青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B不正确；
函数解析式中自变量h的取值范围是，故C不正确；
所以只有A正确，
故选：A
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键．
10. 如图，四边形中．，，交于点E，以点E为圆心，为半径，且的圆交于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作EG⊥CD于点G，根据平行线的性质和已知条件，求出，根据ED=EF，得出，即可得出，解直角三角形，得出GE、DG，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．
【详解】解：过点E作EG⊥CD于点G，如图所示：
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∵，
∴，
∵ED=EF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DE=6，，
∴，
，
∴，
∴
，．
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，解直角三角形，作出辅助线，求出∠DEF=120°，DF的长，是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可．
【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大，
∴，
故可取．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为_____．
【答案】1800人
【解析】
【分析】本题考查利用样本估计总体，扇形统计图，根据扇形统计图求出样本中当地每天乘坐出租车离开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可．
【详解】解：（万人）（人）；
故答案为：1800人．
13. 【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
15. 在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，连接的长为________
【答案】2或
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形和等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是按动点在上的不同位置进行分类讨论．分两种情况：当点靠近点时，翻折后在上方，由和得为等腰直角三角形，作延长线交于点，则垂直平分，在中求出，从而；当点靠近点时，翻折后在下方，同理得为等腰直角三角形，从而，再由得为等边三角形，.
【详解】解：如图，当点靠近点时，沿翻折，的对称点在上方，
由折叠的性质得，，
，
是等腰直角三角形，
，
设的延长线交于点，
∵，，
∴是的垂直平分线，
在中，，
，
在中，
，
，
．
当点靠近点时，
如图，点靠近点时，沿翻折，的对称点在下方，由折叠的性质得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等边三角形，
；
综上所述的长为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、分式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）先利用负整数指数幂、零指数幂的运算法则化简，再利用有理数的混合运算法则计算即可；
（2）利用分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式
．
17. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
甲、乙两种西瓜得分统计表
（1）___________，___________；
（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【答案】（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．
【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，
将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90，
故答案为：a=88，b=90；
（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2，
故答案为：乙；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．
本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
18. 如图，点A，B，C在上，，以，为边作．
（1）当经过圆心O时（如图1），求的度数；
（2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出；
（2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出，
说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵经过圆心O，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：连接、，如图所示：
∵与相切，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
19. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．
（1）求的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解．
（2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，由题意可得，．
．
．
【小问2详解】
解：，
．
由（1）得．
．
又，
．
在中，，，
，
．
．
，
．
．
∴景点C与景点D之间的距离为．
20. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生
（2）至少种植甲作物5亩
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，
根据题意，得，
解得，
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；
【小问2详解】
解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得：，
解得，
答：至少种植甲作物5亩．
21. (阅读与思考)阅读下列材料，完成相应任务．
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，高斯函数也常应用于生活、生产的各个领域，高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过的最大整数，如：，，．我们规定函数．
任务：
（1）求当时，因变量的值______；
（2）在所给的平面直角坐标系中补全函数 的图象；(先填写下表，再描点、连线)
（3）根据作出的函数图象写出函数值的取值范围；
（4）根据作出的函数图象写出函数的两条性质．
【答案】（1）；
（2）补全表格、图象见解析；
（3）；
（4）见解析．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（）根据定义即可求解；
（）根据定义填好表格，再根据表格中的数值补全函数图象即可；
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可写出两条性质即可；
本题考查了函数的新定义，画一次函数图象，一次函数的性质，理解函数的新定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：填表如下：
补全函数图象如下：
【小问3详解】
解：由函数图象可得，函数值的取值范围为；
【小问4详解】
解：由函数图象可得函数的两条性质：①当时，随的增大而增大；②当取整数时，的值取最小．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 经过点．点 A，B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m，．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 A 的坐标．
（3）设抛物线在A，B两点之间的部分（含A，B两点）为图象G．当时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，请直接写出m 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）m的值为 或
【解析】
【分析】（1）因为抛物线经过点，所以将点的坐标代入抛物线表达式，可求出的值，进而得到抛物线的函数表达式．
（2）因为抛物线的对称轴公式为​，先求出该抛物线的对称轴，又因为A、B两点关于对称轴对称，所以A、B两点横坐标的中点在对称轴上，由此可列方程求出，再代入抛物线表达式得到点A的坐标．
（3）因为，所以先确定抛物线在A、B两点之间部分的最高点和最低点的位置，再分别表示出它们的纵坐标，根据纵坐标之差为​列方程求解．
【小问1详解】
将点代入，得 ，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
将抛物线配方得，
∴抛物线的对称轴为直线．
若点A、B关于对称轴对称，则两点横坐标的中点在对称轴上，即 ，
解得．
将​代入抛物线，得．
∴点A的坐标为：；
【小问3详解】
由（2）知时，点A、B关于对称轴对称，
当时，由开口向上时离对称轴越近函数值越小可知：
最高点即点纵坐标为，最低点即顶点纵坐标为，
∴，
解得或（舍去）；
当时，由开口向上时离对称轴越近函数值越小可知：
最高点即点纵坐标为，最低点即顶点纵坐标为，
，
解得或（舍去）．
因此的值为或 ．
23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

【答案】（1）正方形，见解析
（2）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【小问1详解】
解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
【小问2详解】
：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
序号
1
2
3
4
5
6
7
甲种西瓜（分）
75
85
86
88
90
96
96
乙种西瓜（分）
80
83
87
90
90
92
94
平均数
中位数
众数
甲种西瓜
88
a
96
乙种西瓜
88
90
b