广西河池市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广西河池市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得集合，利用交集的意义可求.
【详解】，
又因为，所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. B. iC. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简求得，再根据共轭复数定义即得.
【详解】由可得：，则.
故选：B.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值.
【详解】，
∵，∴，解得.
故选：B.
4. 已知为奇函数，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用求出值并验证即可.
【详解】函数的定义域为，而为奇函数，则，
此时，，即为奇函数，
所以.
故选：B
5. 已知一组样本数据，，，，，分别为2，，3，4，5，5，若这组数据的平均数为4，则样本数据，，，，，的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平均数计算可得的值，先计算原数据的方差再结合方差的性质即可得结果.
【详解】因为2，，3，4，5，5的平均数为4，即，所以，
故数据2，5，3，4，5，5的方差为，
所以样本数据，，，，，的方差为，
故选：D.
6. 已知圆锥轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的结构特征，求出点到平面距离的最大值，再利用锥体体积公式计算即得.
【详解】依题意，点在圆锥的中截面圆上，它到平面距离的最大值即为该截面圆半径，
而的面积，
所以三棱锥体积的最大值为.
故选：C
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，在上，若的内切圆的半径为，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设Px0,y0，通过用等面积法表示焦点的面积，结合已知条件求出，进而得到，即可求得.
【详解】由得则，
所以，
设Px0,y0,的内切圆的半径为，
则
所以，则
故
故选：C.
8. 已知数列满足，，，设，则数列的前21项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列的首项及递推公式可得数列是周期为3的周期数列，故对数列进行分组求和，结合等比数列求和公式即可求解.
【详解】由，可得，，，
∴数列是周期为3的周期数列，，，.
.
设，
则，
∴数列是首项为，公比为8的等比数列，
∴数列的前7项和为，
即数列的前21项和为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小值为0，且最小正周期为，则（ ）
A. B.
C. 在区间上单调递增D. 在区间上的最大值为1
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的最小值为，则，即，
由的最小正周期为，得，解得，因此，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由时，，而正弦函数在上不单调，
因此在上不单调，C错误；
对于D，由时，，则当，即时，取得最大值2，D错误.
故选：AB
10. 不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取两次，每次取一球．表示事件“第二次取出球的数字小于等于3”表示事件“两次取出球的数字差的绝对值小于等于2”，则（ ）
A. B.
C. 事件与互斥D. 事件与相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意结合古典概型求，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解.
【详解】第二次取出一个球有6种取法，取出球小于等于3有1，2，3共3种取法，
所以，故A正确；
第一次取出数字为1，第二次取1，2，3，
第一次取出数字为2，第二次取1，2，3，4，
第一次取出数字为3，第二次取1，2，3，4，5，
第一次取出数字为4，第二次取2，3，4，5，6，
第一次取出数字为5，第二次取3，4，5，6，
第一次取出数字为6，第二次取4，5，6，
所以，，
所以，故B错误；
，故事件与不互斥，故C错误；
，故D正确.
故选：AD.
11. 在平面直角坐标系中，设，曲线上的点满足到与到直线的距离之和为4，则（ ）
A. 点在上B. 的图象关于轴对称
C. 点到坐标原点的距离的最大值为D. 曲线不在直线的上方
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，依题意，结合各个选项的条件，逐项计算判断即可.
【详解】设，依题意，令，解得，
所以点在上，故A正确；
将换成可得，即，
方程不变，所以的图象关于轴对称，故B正确；
当时，，所以，所以，
所以，故C错误；
当时，只需证，即成立，
当时，，所以，
只需证，即成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：关键在于求得点的轨迹方程，利用方程研究曲线的性质.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】求出fx=lnx的导数，可得切线的斜率f'1，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值.
【详解】函数fx=lnx的导数为，故函数在点1,0处的切线斜率为，
因切线与直线垂直，所以.
故答案为：.
13. 被15除所得余数为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出余数.
【详解】，
而是15倍数，
所以被15除所得余数为1.
故答案为：1
14. 已知双曲线，过坐标原点的直线交于，两点（在第一象限），过点作与直线垂直的直线交于点，直线分别与轴，轴交于，两点，若，则的渐近线方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法得到，再利用向量线性运算的坐标表示得到，结合求得，从而得解.
【详解】由题意，设点，其中
由题意得，则，
即，又，

因，所以，即，则，
所以，
所以，则，
即，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用点差法与向量的坐标表示得到之间的关系，从而得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可求得，进而可求得；
（2）由余弦定理可得，又由三角形的面积可得，进而可求的周长.
【小问1详解】
因为，所以根据正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
【小问2详解】
因为，，所以由余弦定理可得，
所以，，
又因为边上的高为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以的周长为．
16. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．
（1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率；
（2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）的分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即得；
（2）根据题意写出消费金额所有可能的值，分别计算对应的概率的值，列出分布列，用公式计算数学期望即可.
【小问1详解】
每位消费者从7折、7.5折、8折的奖券各2张中任意抽取2张奖券，有种方法，
而“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种，故其概率为：；
【小问2详解】
依题意，消费金额的可能的值有：210， 225和 240共三个.
，
，
.
则的分布列为：
故数学期望.
17. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，设为的极值点，若，求的取值范围．
【答案】（1）的极小值为，无极大值；
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值；
（2）根据题意求的导数，得极值点，将，令，探讨在的单调性即可求解.
【小问1详解】
当时，，，令，
当时，f'x>0；当时，f'x