初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）2. 矩形的判定背景图ppt课件

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矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等.
矩形的判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形.
分析：由已知条件，可知 BN ⊥ AD，DM ⊥ BC，因此，在四边形 BMDN 中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
证明：∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形，
∴∠ADB = ∠CDB = 60°.
又∵M、N 分别为 BC、AD 的中点，
∴∠DNB = ∠DMB = 90°,
∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°.
∴四边形 BMDN 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形.
分析：根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE = AB = AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
证明 ∵AB = AC， AD ⊥ BC，
∴∠B = ∠ACB， BD = DC.
又∵AE 是△ABC 的外角 ∠CAF 的平分线，
又∵DE // AB，
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
∴AE = BD，AB = DE.
∴AC = DE， AE = DC.
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
∴四边形 ADCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
如图，在▱ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD 于点 E，点 F 在边 AB 上，AF ＝CE，连结 DF、CF.
（1）求证: 四边形 DFBE 是矩形；（2）当 CF 平分∠DCB 时，若 CE ＝ 3，BE ＝ 4，求 CD 的长.
（1）证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形.∴ AB∥CD，AB ＝CD.∵ AF ＝CE，∴ AB－AF ＝CD－CE，即 BF ＝DE，∴ 四边形 DFBE 是平行四边形.∵ BE ⊥ CD，∴ ∠BED ＝90°，∴ ▱ DFBE 是矩形.
（2）解: 在Rt△BEC 中，∵ BE ＝4，CE ＝3，
∵ CF 平分∠DCB，∴ ∠DCF ＝∠BCF.∵ AB∥CD，∴ ∠DCF ＝∠CFB，∴ ∠BCF ＝∠CFB，∴ CB ＝BF. ∴ DE ＝BF ＝CB ＝ 5，∴ CD ＝CE + DE ＝3 + 5＝ 8.
【选自教材第120页 练习 第1题】
如图，AD、AE 分别是△ABC 的内角∠BAC 和外角∠BAF 的平分线，BE ⊥ AE，DA ⊥ BC，求证：四边形 AEBD 是矩形.
提示：已知有两个直角，再找出一个直角，就能运用判定定理 1.
∵ BE ⊥ AE，DA ⊥ BC，
∴ ∠AEB ＝∠ADB ＝∠DAE ＝90°.
∴ 四边形AEBD 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
即∠DAE ＝90°.
证明: ∵ AD、AE 分别是∠BAC 和∠BAF 的平分线，
∵ ∠BAC ＝∠BAF ＝180°，
【选自教材第120页 练习 第2题】
2. 一个四边形满足：它的每个顶点到其他三个顶点的距离 之和相等，试证明该四边形为矩形.
解: 已知: 在四边形 ABCD 中，AB + AC + AD ＝ BA + BC + BD ＝CA + CD + CB ＝DA + DB + DC .
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵ AB + AC + AD ＝ CA + CD + CB，
∴ AB + AD ＝CD + CB ①.
∵ BA + BC + BD ＝DA + DB + DC，
∴ BA + BC ＝DA + DC ②.
①＋②，得 2AB + AD + BC ＝2CD + AD + BC，
∵ AB + AD ＝CD + BC，∴ AD ＝BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵ AB + AC + AD ＝BA + BC + BD，∴ AC ＝BD，
∴ 四边形 ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
3. 如图，将 □ ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE = DC， 连结 AE，交 BC 于点 F，∠AFC = 2∠D，连结 AC、BE. 求证：四边形 ABEC 是矩形.
【选自教材第120页 练习 第3题】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB ＝CD，AD∥BC.
∵ CD ＝CE，∴ AB ＝CE，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AE ＝2EF，BC ＝2CF.
∵ AD∥BC，∴ ∠D ＝∠2.
∵ ∠AEC ＝∠1 + ∠2，∠AFC ＝2∠D，
∴ 2∠D ＝∠1 + ∠2，∴ 2∠2＝∠1 + ∠2，
∴ ∠１＝∠2，∴ EF ＝CF.
∴ AE＝BC，∴ 四边形ABEC 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).