2026年营口市高考考前模拟数学试题（含答案解析）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．函数在上的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
6．若，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
7．i是虚数单位，若，则乘积的值是( )
A．－15B．－3C．3D．15
8．已知角的终边经过点P()，则sin()=
A．B．C．D．
9．已知函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
10．若向量，则（ ）
A．30B．31C．32D．33
11．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是
A．[－5，0)B．(－5，0)C．[－3，0)D．(－3，0)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数 满足，则的最大值为________.
14．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．
15．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．
16．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长.
18．（12分）已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的值；
（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．
19．（12分）如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
21．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.
22．（10分）已知数列满足（），数列的前项和，（），且，．
（1）求数列的通项公式：
（2）求数列的通项公式．
（3）设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的均有．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【详解】
解：

令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．
故选：．
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
2．D
【解析】
讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
【详解】
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令，则，
根据三角函数的性质，
当时，，故切线的斜率变小，
当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令 ，，
当时，，故切线的斜率变大，
当时，，故切线的斜率变小，可排除C，
故选：D
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
3．A
【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.
【详解】
设，且线过定点即为的圆心，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：A.
本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.
4．C
【解析】
对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
故选C.
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
5．A
【解析】
由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.
【详解】
由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，
所以圆心M到渐近线的距离为，故，
所以离心率为.
故选：A.
本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.
6．D
【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知，
所以的虚部是1.
故选：D.
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
7．B
【解析】
，∴，选B．
8．A
【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
，，则：
本题选择A选项.
9．C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于
，
故其最小值为：.
故选：C.
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
10．C
【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.
【详解】
因为,所以.
故选:C.
本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.
11．D
【解析】
由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.
【详解】
因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.
故选：D
此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.
12．C
【解析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.
【详解】
由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，
则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，
故选C.
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.
【详解】
画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，
目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，
当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.
故答案为：.

本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.
14．
【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解
【详解】
设圆柱的轴截面的边长为x，
则由，得，
∴．
故答案为：
本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
15．
【解析】
分三步来考查，先从到，再从到，最后从到，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
分三步来考查：①从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法；
②从到，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；
③从到，由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.
故答案为：.
本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.
16．
【解析】
先令可得其展开式各项系数的和，又由题意得，解得，进而可得其展开式的通项，即可得答案.
【详解】
令，则有，解得，
则二项式的展开式的通项为，
令，则其展开式中的第4项的系数为，
故答案为：
此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
【解析】
由，化简得，由，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的参数方程为，整理得，直线的方程与曲线的方程联立，，整理得，设，则，根据弦长公式求解即可.
【详解】
由，化简得，
又因为，所以直线的直角坐标方程为，
因为曲线的参数方程为，消去，整理得，
将直线的方程与曲线的方程联立，，消去，整理得，
设，则，
所以，
将，代入上式，整理得.
本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.
18．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）求出导数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值即可求解；
（2）分别设切点横坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.
【详解】
（1），
函数在上单调递增等价于在上恒成立．
令，得，
所以在单调递减，在单调递增，则．
因为，则在上恒成立等价于在上恒成立；
又
，
所以，即．
（2）设的切点横坐标为，则
切线方程为……①
设的切点横坐标为，则，
切线方程为……②
若存在，使①②成为同一条直线，则曲线与存在公切线，由①②得消去得
即
令，则
所以，函数在区间上单调递增，
，使得
时总有
又时，
在上总有解
综上，函数与总存在公切线．
本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）要证平面平面，只需证平面，而，所以只需证，而由已知的数据可证得为等边三角形，又由于是的中点，所以，从而可证得结论；
（2）由于在中，，而平面平面，所以点在平面的投影恰好为的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】
（1）由，所以平面四边形为直角梯形，设，因为.
所以在中，，则，又，所以，由，
所以为等边三角形，
又是的中点，所以，又平面，
则有平面，
而平面，故平面平面.
（2）解法一：在中，，取中点，所以，
由（1）可知平面平面，平面平面，
所以平面，
以为坐标原点，方向为轴方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，由得取，则
设直线与平面所成角大小为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，
所以平面，
过作于，连，则由平面平面，所以，又，则平面，又平面所以，在中，，所以，设到平面的距离为，由，即，即，
可得，
设直线与平面所成角大小为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.
20． (1)不能；(2) ①；②分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；
【详解】
(1)由图中表格可得列联表如下:
将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.
(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
；
②的取值为10，20，30，40.
,
,
,
,
所以的分布列为
.
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．
21．（1）；（2）
【解析】
（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；
（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.
【详解】
（1）设点，
∵点到直线的距离等于，
∴，化简得，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，
设点，过点的拋物线的切线方程为，
联立，化简可得，
∴，即，
∴，.
由，求得导函数，
∴，，，
∴，
因为点满足，
由圆的性质可得，
∴，即直线斜率的取值范围为.
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
22．（1）（）．（2），．（3）
【解析】
（1）依题意先求出,然后根据 ,求出的通项公式为,再检验的情况即可;
（2）由递推公式,得, 结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;
（3）通过（1）、（2）可得,所以,,,,．记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.
【详解】
解：（1）因为数列满足（）
①；
②当时,．
检验当时, 成立.
所以,数列的通项公式为（）．
（2）由,得, ①
所以,． ②
由①②,得,,
即,, ③
所以,,． ④
由③④,得,,
因为,所以,上式同除以,得
,,
即,
所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,
故,．
（3）因为．
所以,,,,．
记,
当时,．
所以,当时,数列为单调递减,当时,．
从而,当时,．
因此,．
所以,对任意的,．
综上,．
本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.
组别
男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
红包金额（单位：元）
10
20
概率
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非“环保关注者”
是“环保关注者”
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
10
20
30
40