云南省昭通市2026年高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份云南省昭通市2026年高考数学二模试卷（含答案解析），共2页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( )
A．B．C．D．
2．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递增
C．函数的对称中心是
D．函数的对称轴是
3．已知是的共轭复数,则（ ）
A．B．C．D．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
5．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
6．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
7．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
8．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）
A．多1斤B．少1斤C．多斤D．少斤
11．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )
A．B．C．D．
12．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为，则圆周率（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=, 那么椭圆的方程是 ．
14．定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________.
15．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____．
16．数列的前项和为 ，则数列的前项和_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数, ．
（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；
（3）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点M对应的参数，射线与曲线交于点．
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）若点A，B为曲线上的两个点且，求的值．
19．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积.
20．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2），，求实数的取值范围.
21．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.
（1）求和的标准方程；
（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.
22．（10分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，
所以圆锥的体积.
故选：D
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.
2．B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.
【详解】
由图象可得，函数的周期，所以.
将点代入中，得，解得，由，可得，所以.
令，得，
故函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，故A正确；
令，得，
故函数在上单调递增.
当时，函数在上单调递增，故B错误；
令，得，故函数的对称中心是，故C正确；
令，得，故函数的对称轴是，故D正确.
故选：B.
本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3．A
【解析】
先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
4．B
【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，
如图，故其表面积为，
故选：B.
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5．A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
6．D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
7．D
【解析】
如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.
根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，.
在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D．
8．B
【解析】
利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．
为数列的前项和，则．
故选：．
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差数列，若，则 ．
(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.
9．C
【解析】
画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．
【详解】
画出图形，如下图．
选取为基底，则，
∴．
故选C．
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
10．C
【解析】
设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ，
故选C
11．A
【解析】
求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正如下图所示：
其中正的面积为，
满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为.
则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.
故选：A.
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
12．A
【解析】
计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.
【详解】
由，∴.
故选：A
本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意可设椭圆方程为：
∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上
∴
又，
∴，
∴椭圆的方程为，
故答案为．
考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．
14．2 4
【解析】
根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
15．1 1
【解析】
根据复数运算法则计算复数z，根据复数的概念和模长公式计算得解.
【详解】
复数z，
∵复数z是纯虚数，∴，解得a＝1，
∴z＝i，∴|z|＝1，
故答案为：1，1．
此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
16．
【解析】
解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【详解】
解：
两式作差，得
化简得 ，
检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，，
令

故填： ．
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．
【详解】
（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），
则，
①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，
H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；
②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，
且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），
使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，
即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；
综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．
（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，
则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，
所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；
①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，
故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；
②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，
进而F（x）在递减，在递增，，
且x→﹣∞时，，
F（x）在上有一个零点，在无零点，
故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，
令，则，所以；
故有．
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．
18．（1）．．（2）
【解析】
（1）先求解a,b，消去参数，即得曲线的直角坐标方程；再求解，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线的直角坐标方程；
（2）由于，可设，，代入曲线直角坐标方程，可得的关系，转化，可得解.
【详解】
（1）将及对应的参数，代入
得，即，
所以曲线的方程为，为参数，
所以曲线的直角坐标方程为．
设圆的半径为R，由题意，圆的极坐标方程为
（或），
将点代入，得，即，
所以曲线的极坐标方程为，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由于，故可设，
代入曲线直角坐标方程，
可得，，
所以
．
本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.
试题解析：
（Ⅰ）在中，由余弦定理得
，
所以，由正弦定理得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
在中， .
在中，由正弦定理得，所以.
所以的面积.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，将函数的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由参变量分离法得出在区间内有解，分和讨论，求得函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
当时，；
当时，.
函数的值域为；
（2）不等式等价于，
即在区间内有解
当时，，此时，，则；
当时，，
函数在区间上单调递增，当时，，则.
综上，实数的取值范围是.
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21．（1）,；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．
（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得 ．则．即 ．
详解：（1）设的标准方程为，则．
已知在直线上，故可设．
因为关于对称，所以
解得
所以的标准方程为．
因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．
（2）设的斜率为，那么其方程为，
则到的距离，所以．
由消去并整理得：．
设，则，
那么 ．
所以．
所以，即 ．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；
（2），分，两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点的坐标为.
联立方程，消去后整理为
有，可得，，.
可得点的坐标为.
当时，可求得点的坐标为，
，.
有,
故有.
（2）若点在轴上方，因为，所以有，
由（1）知
①因为时.由（1）知，
由函数单调递增，可得此时.
②当时，由（1）知
令
由
，故当时，
，此时函数单调递增：当时，，此时函数单
调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时
，可求得.
由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.