云南省2026年高三第二次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份云南省2026年高三第二次模拟考试数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，某设备使用年限x，函数，设，，，则，，三数的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．在展开式中的常数项为
A．1B．2C．3D．7
3． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
4．若，则( )
A．B．C．D．
5．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．4D．8
6．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C．或－D．和－
7．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年B．9年C．10年D．11年
8．函数（）的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．设，，，则，，三数的大小关系是
A．B．
C．D．
11．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，若，，则________.
14．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
15．若，i为虚数单位，则正实数的值为______.
16．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
18．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E， F分别是棱AB， PC的中点.求证：
（1） EF //平面PAD；
（2）平面PCE⊥平面PCD．
20．（12分）设
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
21．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

22．（10分）如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是．
（1）求的值:
（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】
因为，故，
当时，，故在区间上单调递减；
当时，，故在区间上单调递增；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
2．D
【解析】
求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。
【详解】
展开项中的常数项及含的项分别为：
,，
所以展开式中的常数项为：.
故选：D
本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。
3．D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
4．D
【解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．
【详解】
∵，
∴，
故选D
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
5．B
【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.
【详解】
因为，
所以，
故，
解得，
又切线过点，
所以，解得，
所以，
故选：B
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
6．C
【解析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知k=±．
故选C．
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
7．D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
8．C
【解析】
对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.
【详解】

故选C．
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
9．D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】
连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
10．C
【解析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a，b，c与，比较即可.
【详解】
由，
，
，
所以有.选C.
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.
11．B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
12．D
【解析】
由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】
解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．127
【解析】
已知条件化简可化为,等式两边同时除以，则有 ，通过求解方程可解得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.
【详解】
由.
.
故答案为:.
本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.
14．2
【解析】
根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.
【详解】
为焦点
在双曲线上，则
又
本题正确结果：
本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.
15．
【解析】
利用复数模的运算性质，即可得答案．
【详解】
由已知可得：，，解得．
故答案为：．
本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
16．
【解析】
由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．
【详解】
如图，
由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，
即在直线，也就是在直线上，
联立，得或，
的中点坐标为，
则的垂直平分线方程为，
把代入上式，得，
令，则，
由，得（舍）或．
当时，，当时，.
当时，函数取极大值，亦为最大值．
故答案为：.
本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为
.
众数为330.
（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
的分布列为
（元）；
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元).
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）取中点，连，，由等边三角形三边合一可知，，即证．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．
取中点，连，，则，，
则平面，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．
如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
取
面的法向量取，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点构造平行四边形，得到，从而证出平面；
（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．
【详解】
证明：（1）如图，取的中点，连接，，
是棱的中点，底面是矩形，
，且，
又，分别是棱，的中点，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
（2），点是棱的中点，
，
又，，
平面，平面，
，
底面是矩形，，
平面，平面，且，
平面，
又平面，，
，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，
平面平面．
本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．
20．（1）（2）
【解析】
(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.
(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.
【详解】
解：（1）当时，，即
或或
解之得或，即
不等式的解集为.
（2）由题意得：
当时为减函数，显然恒成立.
当时，为增函数，
，
当时，为减函数，
综上所述：使恒成立的的取值范围为.
本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.
21．（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
22．（1）（2）
【解析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,,进而求出．
在利用余弦的和差公式即可求出.
（2）根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值.
【详解】
解：因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是,
所以由任意角的三角函数的定义可知,．
从而．
（1）于是
．
（2）因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,
所以,从而．
于是
．
因为为锐角,为钝角,所以
从而．
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
204
219
228
273
291
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2