2025_2026学年北京市顺义区第三中学九年级下学期第一次月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市顺义区第三中学九年级下学期第一次月考数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．年月日，起飞重量约千克的梦天实验舱搭乘长征五号四运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射． 将用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，过点作．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线 (其中 ) 一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，在中，是的中点，点是上一点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”．某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活动．为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下：
两组数据的众数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．下面的三个问题中都有两个变量：
①圆的面积与它的半径；
②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量与放水时间；
③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务与施工时间．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是_______．
10．分解因式：______．
11．如果命题“若，则”为真命题，那么可以是______（写出一个即可）．
12．方程组的解为_______．
13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_______．
14．如图，在菱形中，点，分别在，上，．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是_______（写出一个即可）．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
16．某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案__________，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是__________元．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点P．
求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．

作法：如图，
① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ；
② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B；
③ 作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵是的直径，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴．
∵为的半径，
∴是的切线（ ）（填推理的依据）．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
23．首钢园区内的石景山被誉为“燕都第一仙山”，石景山上的功碑阁作为石景山区地标性建筑之一，彰显着地域文化魅力与历史底蕴．某校社会实践小组选择了一处开阔平坦的区域进行测量活动．如图，是水平地面，在F处用高的测角仪测得功碑阁顶A的仰角为，然后沿方向前行到达G处，在G处测得功碑阁顶A的仰角为．根据以上测得的数据，求功碑阁顶A到水平地面的距离约为多少米．（参考数据：，，，，，．）
24．如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，，，求的长．
25．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：），记录了如下两次训练：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 ．
26．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，两个不同的点在抛物线上
（1）若，求t的值；
（2）若，求t的取值范围．
27．在中，，，点D为射线上一点，过点D作且（点E在点D的右侧），射线交射线于点F，点H是的中点，连接，．
（1）如图1，当点D在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）当点D在线段的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为，
①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ；
②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围；
（2）图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断．
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】B
【分析】根据乘方运算，用科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，，是小数点向左（或向右）移动的位数，当小数点向左移动时，为正数；当小数点向右移动时，为移动位数的相反数，由此即可求解．
【详解】解：，
故选．
3．【正确答案】C
【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，，，
∴．
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
5．【正确答案】C
【分析】根据二次函数的各项系数进行判断对称轴以及与点的坐标，画出草图，进而即可求得答案
【详解】解：
抛物线 的对称轴为则对称轴在轴的右侧，且开口向上，
令，即抛物线与点的坐标大于0，如图，
故该函数的图象不经过第三象限
故选C
6．【正确答案】C
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵圆心角与圆周角所对弧是同弧，
∴，
∴，
故选．
7．【正确答案】A
【分析】分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可．
【详解】解：由题意得，
甲组的平均数为，
∴ ；
乙组的平均数为，
∴，
∴．
故选A．
8．【正确答案】D
【分析】由图象可知，图象为一次函数的图象，且随的增大而减小，逐一分析每一条中与的关系，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：图象为一次函数的图象，且随的增大而减小；
①圆的面积随着半径的增大而增大，不符合题意；
②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量随着放水时间的增大而减小，而且是匀速减小，符合题意；
③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务随着施工时间的增大而减小，且匀速减小，符合题意．
综上，符合题意的是②③；
故选D．
9．【正确答案】
【分析】根据分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：
10．【正确答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解.
11．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质，观察不等号的方向是否改变，命题真假的判定等即可求解．
【详解】解：根据题意，“若，则”为真命题，
∴，
∴可以是负数，答案不唯一，如：．
12．【正确答案】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解．
【详解】解：，
得，，解得，，
把代入得，，解得，，
∴原方程组的解为．
13．【正确答案】
【分析】将点代入求得反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
.
14．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】根据矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：菱形，，
∴，即，且，
∴四边形是平行四边形，根据矩形的判定，
①四边形是平行四边形，，
∴，平行四边形是矩形；
②四边形是平行四边形，若，
∴，平行四边形是矩形.
15．【正确答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．
根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得.
16．【正确答案】租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆（答案不唯一）；2600
【分析】设租用A，B，C三种型号客车分别为辆，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】解：设租用A，B，C三种型号客车分别为辆，由题意，得：
，
∵均为正整数，
∴或或或或，
∴可以租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆（答案不唯一）；
当租用A型号客车1辆，B型号客车1辆，C型号客车8辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车1辆，B型号客车2辆，C型号客车5辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车2辆，B型号客车1辆，C型号客车4辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车2辆，B型号客车2辆，C型号客车1辆时，花费的费用为：元；
故最低租车费用为：元.
17．【正确答案】4
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
19．【正确答案】，5
【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后把变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
∵，
∴．
∴原式．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）根据已知条件得出，，，可得四边形是平行四边形．进而根据已知条件得出，即可得出结论；
（2）连接，得出是等边三角形．在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点，
∴，，．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：连接，如图．
∵四边形是菱形，
∴，．
∴是等边三角形．
∵，
∴．
∴．
在中，，，
∴．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）；直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据题意，画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【详解】（1）解：如下图即为所求；

（2）证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
22．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解；
（2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图象法求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴．
∵一次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴这个一次函数的解析式为．
（2）解：由题意，得：时直线在直线的下方，
如图：当直线在之间时，满足题意：
当与平行时，，
当过点时：，
∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值．
23．【正确答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得：，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意，C，D，B三点共线，，．
设，则米．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
答：功碑阁顶A到水平地面的距离约为．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）利用切线的性质可得出，利用垂直的定义可得出，利用等腰三角形的性质可得出，利用余角的性质可得出，再利用等腰三角形的判定即可得证；
（2）先利用正弦定义求出，利用勾股定理求出，在和中利用勾股定理可得出，然后代入数值求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图1．

∵是⊙的切线，是⊙的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；
（2）解：连接，如图2．
∵，是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，．
在中，．
∴，解得．
即的长为．
25．【正确答案】（1）①详见详解；②米；；③理由见详解．
（2）
【分析】本题考查二次函数的应用，根据图象求出抛物线解析式是解答本题的关键．
（1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象；
②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式；
③当时求出的值，再与比较得出结论；
（2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移个单位，然后把代入解析式求出，得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示，根据题意，描点，连线：
②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为米，
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
与满足的函数解析式为；
③当时，，
小石第一次投篮练习没能投进；
（2）解：根据题意可知：
第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为，
第二次篮球运行的抛物线经过，
，
解得，
，
答：小石的出手高度为：米．
故．
26．【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据点在抛物线上，且得到点与关于对称轴对称，得到关于的方程，求解即可；
（2）根据题意得到点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，点不在对称轴上．之后分点在对称轴的左侧与右侧时进行讨论即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点，在抛物线上，且，
∴．
解得：；
（2）解：由题意，点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，
点不在对称轴上．
①当点在对称轴的左侧时，
点关于对称轴的对称点为．
∵且，
∴．
∴．
②当点在对称轴的右侧时，
点关于对称轴的对称点为．
∵且，
∴．
∴．
综上所述，的取值范围是或．
27．【正确答案】（1）数量关系，位置关系，理由见详解
（2），作图及见详解
【分析】（1）易得为等腰直角三角形，连接，证明，即可得出结论；
（2）连接，，证明，推出，在中，由勾股定理，得到，进行线段的转化，即可得出结论．
【详解】（1）解：数量关系，位置关系，理由如下：
∵，，
∴，
∵且，
∴，，
∴，
连接，
∵为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（2）依题意补全图形，如图．
数量关系：．
证明：连接，，如图．
∵中，，，
∴．
∵，
∴，．
又∵
∴．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，
∴．
28．【正确答案】（1）①、；②
（2）
【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可；
②当直线经过点时，可得b的最小值，当直线经过点时，可得b的最大值，由此可解；
（2）当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可．
【详解】（1）解：①如图1，∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上，
绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上，
线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上，
∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”，
故、；
②如图2，当直线经过点时，可得b的最小值，
当直线经过点时，可得b的最大值，
把代入，得，
解得；
把代入，得；
解得；
∴b的取值范围为；
（2）解：根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，
则，
解得
∴t的取值范围为．甲组
乙组
水平距离
竖直高度