2025-2026学年北京市顺义区第三中学九年级上册期中考试数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市顺义区第三中学九年级上册期中考试数学试卷 [附答案]，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，点、分别在的、边上，且．如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cs∠BAO的值是( )
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为 ( )
A．3：4B．1：2C．2：3D．1：3
7．若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．或C．或D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．抛物线的对称轴是 ．
11．已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则 （填“＞”或“＜”）．
12．在中，，则 ．
13．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是 m．
14．如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为 .
15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是 ．

16．已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题
17．已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式．
18．如图，在中，，点是上一点，于点，求证：．
19．已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点；
（3）当时，求x的取值范围；
（4）当时，求y的取值范围．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
22．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
（1）求B处到灯塔C的距离；
（2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
23．如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
24．已知二次函数在和时的函数值相等．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N．当时，求b的值．
25．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：），竖直高度为y（单位：），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：
（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为________（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点________（填写“高”或“低”）．
26．已知抛物线．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围．
27．如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G．
（1）求的度数；
（2）在线段EG上取点H，使得，连接，．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．
（1）如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ；
（2）点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ；
（3）已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选C．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：的顶点坐标为，
故选．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，再结合求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选C
4．【正确答案】D
【详解】解：把二次函数的图象向左平移2个单位，得到，
再向上平移1个单位，得到，
故此题答案为D．
5．【正确答案】A
【详解】∵在中，当时，；当时，解得；
∴点A、B的坐标分别为（-4，0）和（0，3），
∴OA=4，OB=3，
又∵∠AOB=90°，
∴AB=，
∴cs∠BAO=．
故选A．
6．【正确答案】D
【详解】∵DC=AC，∴△ADC是等腰三角形，
∵∠ACB的平分线CE交AD于E，∴E为AD的中点（三线合一），
又∵点F是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，△AFE∽△ABD．∴S△AFE：S△ABD=1：4，
∴S△AFE：S四边形BDEF=1：3，
故选D.
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可．
【详解】解：函数的图象与轴有公共点，
方程有两个实数根，即，
解得：．
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象可得中x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：若，则，
有图象可知，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，即，
∴当或时，，
则当或时，，
故选B．
9．【正确答案】
【分析】此题主要考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．由已知分式等式变形，分离出 ，再通过倒数关系求解 .
【详解】解：由 ，得，
所以，
故，
故答案为 .
10．【正确答案】直线
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数对称轴公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：该二次函数的对称轴为直线；
故答案为直线．
11．【正确答案】＜
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答．
【详解】解：∵二次函数，
∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点，为二次函数的图象上的两个点，且，
∴．
12．【正确答案】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角的正切的定义是解此题的关键．根据代入即可得出答案．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
∴．
13．【正确答案】4
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作交的延长线于，则，
，
∵，
∴，
∵的长是，
∴，即.
14．【正确答案】
【分析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．
【详解】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，
则：点Q的横坐标为-1+4=3，
故答案为（3，0）．
15．【正确答案】
【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解．
【详解】解：，且，
，
，即：，
解得：（），
（），
树高是.
16．【正确答案】①③⑤
【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴②错误．
∵，
∴③正确．
∵当时，，
∴．
∴④错误．
当时，有最大值为，
∴对于任意实数m，总有，
∴对于任意实数m，总有．
∴⑤正确．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟知顶点式的特征是解本题的关键；根据顶点坐标设抛物线解析式为，代入已知点坐标计算即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线表达式为，
∵抛物线经过点，
∴将代入，
得：，
∴，
∴．
18．【正确答案】见详解
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】证明：于点，
∴
，
19．【正确答案】（1）该二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为
（2），
（3）或
（4）
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）该二次函数的图象的对称轴为直线，将代入，得，可得顶点坐标为．
（2）令，求出的值，即可得该二次函数的图象与轴交点．
（3）画出二次函数的图象，结合图象可得答案．
（4）结合图象可得答案．
【详解】（1）解：该二次函数的图象的对称轴为直线．
将代入，得，
顶点坐标为．
（2）解：令，
解得，，
该二次函数的图象与轴交点为，．
（3）解：画出二次函数的图象如图所示，
由图象可知，当时，的取值范围为或．
（4）解：将代入，得，
当时，的取值范围为．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∵，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为，
∴，
解得．
21．【正确答案】BC＝．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【详解】∵∠A＝105°，∠B＝30°．
∴∠C＝45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．
∴∠DAC═∠C＝45°．
∵sinC，
∴AD．
∴AD＝CD．
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵AD，
∴AB＝2．
∴由勾股定理得：BD．
∴BC＝BD+CD．
22．【正确答案】（1）36海里
（2）没有危险
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．
（1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得 , ，（海里），
∴ ，
∴ ，
∴（海里），
答：B处到灯塔C的距离为36海里；
（2）解：没有触礁的危险，理由如下：
过C作交的延长线于点D，
∵（海里），
∴（海里），
∵，
∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】对于（1），先说明四边形为平行四边形，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形为平行四边形，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案；
对于（2），先求出，再根据锐角三角函数求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案.
【详解】（1）连接，
点为中点，，
∴，即，
四边形为平行四边形，
∴，.
又为边上的中线，
∴，，
∴，，
四边形为平行四边形．
又，
平行四边形为矩形．

（2）∵，是上的中线，
，
在中，，
∴，
，
又点为中点，
∴，
在中，，
∴．
24．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．
（2）设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线．
（2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，设，，
∵对称轴为直线，，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，．
25．【正确答案】（1）见详解
（2）抛物线；
（3）高
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意画图即可；
（2）根据图表求解即可；
（3）根据图表求解即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；
结合图象，图象的最高点在到之间，可推断出水平距离约为时，甲运动员起跳后达到最高点.
（3）由图可知，乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高．
26．【正确答案】（1）
（2）
（3）当时，或；当时，
【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出对称轴；
（2）由（1）得出顶点坐标，再根据顶点的纵坐标为0，求出a值即可；
（3）根据点N关于直线的对称点为N'，再分和两种情况确定m的取值范围．
【详解】（1）解：
∴抛物线的对称轴为.
（2）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式；
（3）解：∵抛物线的对称轴为，
∴N关于直线的对称点为N'，
①当时，若，则或；
②当时，若，则．
综上，当时，或；当时，．
27．【正确答案】（1）
（2），见详解
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键．
（1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到．
（2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系．
【详解】（1）解：如图所示，
为正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
．
（2）解：① 如图所示，在线段上取点H，使得，连接，，
② 过点作交于点，如图所示，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，即，
（第一问已证），
，
又 ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
28．【正确答案】（1）
（2），
（3），或，
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上；
（2）把代入求出解析式，再求于的交点即为；
（3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可．
【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，，
当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或，
当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或，
点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”.
（2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，
把代入得，
∴，
“和谐点”的横坐标和纵坐标相等，
“和谐点”都在的图象上，联立得：，
解得或，
，
直线的解析式为.
（3）解：点，是抛物线上的“和谐点”，
，
即，
解得，，
当时，，当时，，
∴点，的坐标为，或，.
0
10
20
30
40
50
60
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8