2025_2026学年北京市鲁迅中学八年级下学期期中数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市鲁迅中学八年级下学期期中数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列根式中是最简二次根式的是（ ）．
A．B．C．D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．4、5、6B．1、2、3C．1、2、D．1、3、5
3．下列计算正确的是( )
A．B．
C．D．
4．小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
6．如图所示各图中反映了变量y是x的函数是（ ）
A．B．
C．D．
7．菱形的周长是20，对角线，相交于点，若，则菱形的面积为（ ）．
A．6B．12C．24D．48
8．如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A．10B．12C．20D．24
二、填空题
9．要使二次根式有意义，实数的取值范围是______
10．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别去OA、OB的中点M，N，测的MN=32 m，则A，B两点间的距离是________m.
11．如图，的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是______．
12．如图，矩形ABCD中，AC与BD的交点为E，若AB=6，BC=8，则DE= _____________ ．
13．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为_____．
14．尺规作图：作一个角的平分线．
小涵是这样做的：
已知：，如图1所示
求作：射线，使它平分
作法：（1）如图2，以为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点；
（3）作射线．
所以射线就是所求作的射线．
小涵是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接、和，发现与的位置关系是______，依据是______________________．
15．如图，线段为的中线，点P为线段上的动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为______．
16．甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线和线段分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有________．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．如图，在中，点E、F分别在，且，连接，求证：．
19．已知，求代数式的值．
20．已知：函数与．
（1）在同一坐标系中，作出两个函数的图象；
（2）写出与轴、轴的交点、坐标；
（3）写出两个函数的交点的坐标；
（4）求两个函数和轴围成的三角形面积；
（5）由图象直接写出，当取何值时，．
21．下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；
3、连接AD，CD．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．
证明：∵AB＝______，BC＝______，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（________）．
22．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
23．在平面直角坐标系中，，，．
（1）求直线所对应的函数的解析式，并画出直线；
（2）直接写出的度数为______°；
（3）若点是直线上一点，当的面积为5时，求点的坐标．
24．在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题：
（1）写出表中a、b的值：______，______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）结合函数图象，下列说法正确的有______．（请填入所有正确结论的序号）
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
②该函数图象不经过第三象限；
③当时，y随x的增大而减小；
④若点，为该函数图象上不同的两点，则；
⑤该函数图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于14：
（3）结合所画函数图象，直接写出不等式的解集是______．
25．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
26．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M，N为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”．
（1）如下图，平移线段MN，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是_______；若分别为的中点，在点中，连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”；
（2）如图，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若线段MN的中点P的坐标为，记线段MN到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
四、填空题
27．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE＋DF＝2，则∠EBF＝______°，面积的最小值为______．
五、解答题
28．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点，已知点．
（1）在中，点的等和点有__________；
（2）点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标；
（3）已知点和线段，点C也在 x轴上且满足，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】A选项中，因为不能再化简，所以A中的式子是最简二次根式；
B选项中，因为可以化简为，所以B中式子不是最简二次根式；
C选项中，因为的被开方数中含有分数，所以C中式子不是最简二次根式；
D选项中，因为的被开方数中含有小数，所以D中式子不是最简二次根式；
故选A.
点睛：最简二次根式需满足两个条件：（）被开方数的因数是整数，因式是整式．
（）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．
2．【正确答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形；
，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形；
，故选项C中的三条线段能构成直角三角形；
，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形；
故选C．
3．【正确答案】D
【分析】根据二次根式的性质和运算法则进行排除即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. , 故B选项错误；;；
C. ，故C选项错误；
D. ,正确；
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查函数图象，能根据题目中的语句得到父亲与儿子离家距离的变化过程即可解答本题.
【详解】解：根据题意可知父亲离家的距离在这个过程中分为段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；儿子离家的路程也分为段，先离家越来越近，再停止，最后到家．
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，再根据是的平分线，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵是的平分线，
∴，
，
∴，
．
故选∶A．
6．【正确答案】D
【分析】函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
只有D正确．
故选D．
7．【正确答案】C
【分析】题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
由菱形的性质可求得和，用勾股定理可得，代入面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点，
∴，，，，
∵菱形的周长是，，
∴，，
∴，
∴菱形的面积．
故选．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从图象中获取正确信息；根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从B向C运动时，先变小后变大，从而可求出与上的高，进而求出三角形的面积．
【详解】根据图象可知，点P在上运动时，此时不断增大，点P从A向B运动时，的最大值为5，即，
点P从B向C运动时，的最小值为4，即边上的高为4，
∴当，，
此时，由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
，
，
的面积为：，
故选．
9．【正确答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得.
10．【正确答案】64
【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，从而可得答案.
【详解】解： M、N是OA、OB的中点，
MN是△OAB的中位线，
∴AB=2MN=2×32=64（m）．
故答案为64
11．【正确答案】
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且即可得到结论．
【详解】如图，在中，，，
∴，
又∵，
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∵，
∴．
12．【正确答案】5
【分析】根据矩形性质，利用勾股定理求出对角线，再求对角线的一半即可.
【详解】解：矩形ABCD中，AC= ,
因为矩形的对角线互相平分且相等，
所以DE= .
13．【正确答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线．
根据四边形为菱形得，，，由勾股定理求出，根据为的中位线，即可得．
【详解】解：∵四边形为菱形，，，
∴，，，
∴，
∵点O为的中点，点为的中点，
∴为的中位线，
∴.
14．【正确答案】（与互相垂直）；菱形的对角线互相垂直
【分析】作∠BAC的平分线，就是要证明这条射线是角平分线，把这条射线分得的两个角置于两个三角形中，为构造两个三角形，以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C，满足AB=AC，然后分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；由有BD=CD，由AD=AD，△ABD≌△ACD，则∠BAD=∠CAD,
脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD、CD和BC则AB=BD=CD=AC，四边形ABDC为菱形，BC与AD是菱形的对角线，BC⊥AD，．
【详解】以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C；则AB=AC，
分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；则BD=CD,
∵AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD是∠BAC的平分线
由作图知AB=BD=CD=AC，
∴四边形ABDC为菱形，
∴BC⊥AD．
15．【正确答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型；
如图，连接、．证明四边形是矩形，推出，当时，的值最小．
【详解】解：如图，连接、．
∵是中线，
∴，
∴，
∵于点于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当时，的值最小，即的值最小，
此时，
∴，
∴使得最小值为．
16．【正确答案】②③④
【分析】本题主要考查行程问题的函数图象，掌握“速度路程时间”以及函数图象上的点的坐标的实际意义，是解题的关键．根据“速度路程时间”，可得乙的速度以及甲车再次出发后的速度，即可判断①②；根据函数图象，可直接判断③；求出甲车再次出发时，乙车行驶的路程，即可得到两车的距离，即可判断④．
【详解】解：乙车的速度为：千米/时，故①错误；
甲车再次出发后的速度为：千米/时，故②正确；
由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确；
∵甲车再次出发时，两车相距：千米，故④正确.
17．【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算乘除，最后计算加减即可；
（2）先利用平方差公式计算，再计算加减即可；
（3）先利用平方差公式计算，再计算加减即可；
（4）先计算零指数幂，绝对值，完全平方公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
18．【正确答案】见详解
【详解】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质可得，，进而证得，从而证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
19．【正确答案】5
【分析】将所求的代数式利用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值．
【详解】解：，
∴x2−2x＋1＝（x−1）2＝（）2＝5．
即x2−2x＋1＝5．
20．【正确答案】（1）见详解
（2），
（3）
（4）
（5）
【分析】本题考查了一次函数的交点问题.
（1）在坐标系中作出函数图象即可；
（2）分别将、代入计算即可；
（3）联立与计算即可；
（4）根据三角形面积公式计算即可；
（5）根据图象作答即可.
【详解】（1）解：图象如下：
（2）解：当时，，即；
当时，，即；
（3）解：联立与得，
解得：，
∴，
即；
（4）解：；
（5）解：由图可知，当时，．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求．
（2）证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
22．【正确答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明得到，再由，列式计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，
为直角三角形，
，，
∴根据勾股定理得：，
又，，
，，
．
为直角三角形，
，
∴．
23．【正确答案】（1）直线解析式为；画图见详解
（2）45
（3）或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
（1）用待定系数法可得直线解析式即可；
（2）证明是等腰直角三角形，即可求解；
（3）设，根据求解即可；
【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
∴直线解析式为；
根据，画出直线如图：
（2）∵，，直线解析式为，
令，解得，
，
，
∵，
是等腰直角三角形，
∴；
（3）设，
∴，
∵，
，
解得或5，
或
综上所述，的坐标为或．
24．【正确答案】（1）, ，画见详解
（2）①②④⑤
（3）或
【分析】本题考查了函数的三种表示方式，数形结合思想，不等式解集的确定，熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．
（1）根据函数的表达式，代入计算即可．根据画图象的步骤画出图象即可．
（2）结合图象或表格的变化规律判断即可．
（3）根据函数的表格方式，列表确定公共点，结合图象确定解集即可．
【详解】（1）当时,
当 时, ；
画出函数的图象如图：

（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；说法正确；
②由于函数的图象在轴上方，即图象不过第三象限，说法正确；
③当时，随的增大而增大；说法错误；
④点，为关于轴对称，即，说法正确；
⑤如图，图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于黑色边框圈出的面积，即大于，说法正确；
说法正确的为①②④⑤.
（3）由图象可知：不等式 的解集为或.
25．【正确答案】（1）见详解
（2），理由见详解
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点；
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出．
【详解】（1）证明：连接，

由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【正确答案】（1）平行，P1；（2）的最小值为；（3）．
【分析】（1）根据图形，比较PP1，PP2的长度即可求解；
（2）根据已知条件求得∠P1BE=45，过P1作P1Q⊥BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；
（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：由图可得MN∥M1N1，MN∥M2N2，
∴M1N1∥M2N2，
而PP1