2025_2026学年北京市第一零九中学八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第一零九中学八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．4，5，7C．5，12，13D．10，10，10
3．下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（ ）
A．B．2C．D．5
5．如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）
A．4B．3C．2D．不确定
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ）
A．4B．8C．D．
7．小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值：
根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（ ）
A．24cmB．25cmC．26cmD．38cm
8．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：
①正方形ABCD的面积等于的一半；
②正方形EFGH的面积等于的一半；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③D．①②③
二、填空题
9．计算：______．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
11．如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________ ．
12．如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OBCD是正方形，点B（1，0），请写出一个图象与该正方形有公共点的函数表达式：______．
14．如图，直线与交于点，则不等式的解集为______．
15．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图．

（1）在直线上取一点（不与点重合），连接；
（2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）；
（3）连接交于点，连接，．
根据以上作图过程及所作图形，在下列结论①；②；③中，一定正确的是__________（填写所有正确的序号）．
16．如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______.

三、解答题
17．计算：．
18．如图，在平行四边形中，点E，F分别是，的中点．
求证：．
19．已知，，求代数式的值．
20．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长．
21．已知一次函数与的图象都经过点（2，1）．
（1）求k，b的值；
（2）在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，．
22．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点M，连接，若，，求，的长．
23．学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程y（千米）与出发的时间x（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的路程为______千米；
（2）乙车行驶的速度为______千米／时，甲车等候乙车的时间为______小时；
（3）甲、乙两车出发________小时，第一次相遇；
（4）甲、乙两车出发________小时，相距20千米．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点A关于y轴的对称点为C，将直线、直线BC都沿y轴向上平移t（）个单位，点在直线平移后的图形上，点在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由．
25．点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过点作交射线于点．
①求的度数；
②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
26．对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，．
已知，，．
（1）若，则______，______；
（2）若，，则的值为______；
（3）若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标．
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义，即可一一判定．
【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意；
B.，该选项含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，该选项被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.，该选项含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选A．
2．【正确答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理运算判断．
【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意；
D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
故选C．
3．【正确答案】D
【分析】设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，根据函数定义判断即可．
【详解】解：A、符合函数定义，故该项不符合题意；
B、符合函数定义，故该项不符合题意；
C、符合函数定义，故该项不符合题意；
D、不符合函数定义，故该项符合题意；
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边中线的性质得到OP的长．
【详解】解：∵，B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴，
∵P为线段AB的中点，
∴OP==，
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．由平行四边形的对边相等的性质求得，然后利用三角形中位线定理求得即可解答．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为的中点，
是的中位线，
．
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选B．
7．【正确答案】A
【分析】根据待定系数法先求出函数解析式，然后将x=38代入函数解析式求出相应的y的值，即可解答本题．
【详解】解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，
∵点（26，18），（30，20）在该函数图象上，
∴
解得
即y与x的函数解析式为y=0.5x+5，
当x=38时，y=0.5×38+5=24，
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝即可判断①②，再由正方形ABCD，EFGH的面积相等得出，进而判断③．
【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，
则，，，，
∴S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝，
∴正方形ABCD的面积大于的一半；正方形EFGH的面积等于的一半；
∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，
∴，
∴，
∴，即，
∴正确结论的序号是②③，
故选B．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：
10．【正确答案】
【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
解得：
11．【正确答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：点A表示的数为.
12．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可．
【详解】解：∵AE⊥BC，
∴
，
∴
∴
补充：或或，
∴四边形AEFD是矩形.
13．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】先设出函数解析式，利用待定系数法，在正方形的边上任取一点，写出它的坐标，将坐标代入解析式求解即可．
【详解】解：∵四边形OBCD是正方形，点B（1，0），
∴
设过C的正比例函数为．

∴所求的函数解析式为：
14．【正确答案】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可．
【详解】解：∵直线与交于点，
∴不等式的解集为为.
15．【正确答案】①②/②①
【分析】根据作图可得，则四边形是平行四边形，进而即可求解．
【详解】解：根据作图可得，则四边形是平行四边形，
∴，；故①②正确，
∵不一定相等，则不一定成立，即③不一定正确.
16．【正确答案】1；
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，AB∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积．
【详解】∵四边形是菱形，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴.
∴.
17．【正确答案】2
【分析】先分别化简二次根式，同时计算乘法，再计算加减法．
【详解】解：
=
=2．
18．【正确答案】见详解
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形是平行四边形，进而即可证明．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
E，F分别是的边，上的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
．
19．【正确答案】
【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴x＋y＝4，x−y＝，
∴．
20．【正确答案】3
【分析】求出∠ABD=30°，得到AD=AB=，利用勾股定理求出BD，再根据2CD2=BD2，得到2CD2=18，即可求出CD．
【详解】解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=AB=．
∴BD=，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴CD=CB，
∴2CD2=BD2，
∴2CD2=18，
∴CD=3．
21．【正确答案】（1）k=1，b=2
（2）x≤2
【分析】（1）将点（2，1）分别代入解析式即可求出k，b；
（2）利用描点法画出函数图象，解方程组求出函数图象的交点坐标，根据得到y1图象在y2象的下方，即可得到答案．
【详解】（1）解：将点（2，1）代入，得2k-1=1，解得k=1；
将点（2，1）代入，得-1+b=1，解得b=2；
（2）由（1）得
图象如图：
解方程组，解得，
∴两个函数图象的交点坐标为（2，1），
∴当x≤2时，．
22．【正确答案】（1）详见详解
（2），
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
是的中位线，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
23．【正确答案】（1）560；（2）80，0.5；（3）2；（4）1， 3，4.25.
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以写出甲行驶的路程；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙车行驶的速度和甲等候乙车的时间；
（3）根据函数图象中的数据可以计算出甲、乙两车第一次相遇的时间；
（4）根据题意可以计算出两车相距20千米时行驶的时间.
【详解】（1）由图象可得，
甲行驶的路程为560千米.
（2） 乙车行驶的速度为：5607=80千米/时， 甲车等候乙车的时间为：4080=0.5小时.
（3） a=32080=4， c=320+40=360，
当时，甲车的速度是: (360-60) (4-1) =100千米/时，
设甲、乙两车c小时时，两车第一次相遇，80c=60+100 (c-1)，
解得，c=2.
（4） 当甲、乙两车行驶t小时时，相距20千米，
当时，80t-60t=20，得t=1，
当时，，解得t=1（舍去），t=3，
当时，360-80t=20，解得t=4.25，
综上，当甲、乙两车行驶1小时、3小时或4.25小时，两车相距20千米.
24．【正确答案】（1）A（-，0），B（0，1）
（2）m＞n
【分析】（1）令x=0和y=0时，代入解析式得出坐标即可；
（2）求得直线BC的解析式为y=-2x+1，根据平移的规律得到y=2x+1+t、y=-2x+1+t，由图象上点的坐标特征得到m=-2+1+t=-1+t，n=-4+1+t=-3+t，由m-n=2＞0，即可得出m＞n．
【详解】（1）解：∵直线y=2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
将x=0代入y=2x+1，得到：y=1，
∴B（0，1），
将y=0代入y=2x+1，得到2x+1=0，
解得：x=-，
∴A（-，0）；
（2）解：∵点A关于y轴的对称点为C，
∴C（，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（0，1），C（，0）代入，得
，
∴，
∴直线BC为y=-2x+1，
将直线y=2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到y=2x+1+t、y=-2x+1+t，
∵点（-1，m）在直线y=2x+1+t上，
∴m=-2+1+t=-1+t，
∵点（2，n）在直线y=-2x+1+t上，
∴n=-4+1+t=-3+t，
∵m-n=-1+t-（-3+t）=2＞0，
∴m＞n．
25．【正确答案】（1）见详解；
（2）；，理由见详解．
【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可；
（）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论；
过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论．
【详解】（1）∵四边形是正方形,
∴，即，
∵，关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，关于对称，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
，理由：
过点作于点，

∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，关于对称，
∴，
∴．
26．【正确答案】（1），
（2）或
（3）的最大值为，四边形的对角线交点坐标为
【分析】（1）根据点坐标及画出图形，得到点，，，的位置，利用勾股定理求出，；
（2）分两种情况：①当较小时，②当较小时，分别求出点，，，的坐标，利用勾股定理列式计算可得的值；
（3）先确定，两直线平行，且关系直线对称，勾股定理求出，，当时，求出，当时，，且随的减小而增大；当时，；当时，，且随的减小而增大；故当时，有最大值，此时，得到，，，，求出及，得到四边形是平行四边形，进而得到四边形对角线交点坐标．
【详解】（1）当时，
直线，与轴交点坐标为，与轴交点，此时点与点重合，
直线中，当时，解得；当时，得，
直线与矩形的交点，，
，；
（2）分两种情况：
①当较小时，
直线中，当时，；当时，，
直线的图象与坐标轴交点为，，
，
解得：或（舍去）；
②当较小时，
直线中时，，
直线的图象与轴交点，
当直线与矩形的边相交时，令，则，
，
，
解得：或；
当时，直线，当时，；
当时，直线，当时，，故舍去；
当直线与矩形的边相交时，令，则，
，
，
此种情况不成立，
故的值为或.
（3）解：与不重合，与不重合，
，
与的值相等，值互为相反数，
两直线平行，且关于直线对称，
直线的图象与坐标轴交点为，，
，
直线的图象与坐标轴交点为，，
，
当时，，
解得：，
图1，当时，，且随的减小而增大；
图3，当时，，
图2，当时，，且随的减小而增大，
故当时，有最大值，此时，
此时，，，，
，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
对角线交点的坐标为，即，
综上，的最大值为，四边形对角线交点坐标为．码数x
26
30
34
42
长度y cm
18
20
22
26