2025_2026学年北京市海淀区首都师大二附中九年级下学期月考数学检测试卷（3月份） [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市海淀区首都师大二附中九年级下学期月考数学检测试卷（3月份） [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房用科学记数法表示（ ）
A．元B．元C．元D．元
5．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），于点D，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
10．因式分解：__．
11．如图，在扇形中，圆心角，是上的点，，则的度数为________．
12．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示．根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约为______千克．
13．分式方程的解是________．
14．若点与点都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______．（填“＞”或“＜”）
15．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为______．
16．小茗同学爱好气象研究．小茗用数列记录其生活城市年月份天中每天是否下过雨，方法为：当第天下过雨时，记；当第天没下过雨时，记．他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第天有雨时，记；当预报第天没有雨时，记记录完毕后，小茗计算出，若已知月气象台预报准确天，则m=______；若，则气象台k天中预报准确的天数为______（用，表示）．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值.
20．如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．
21．已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积．
22．在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点．
（1）求k和b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围．
23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
．教师评委打分：86，90，90，91，91，91，91，92，96，92；
．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为 ．
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ．
24．如图，点P是圆O直径延长线上的一点，与圆O相切于点B，点D是圆上的一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25．如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．

小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表：
在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）．
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）当抛物线过点时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知，若抛物线上存在两点和，且当时，求的取值范围并判断与n的大小关系．
27．在正方形中，是一条对角线，点P在射线上（与点C，D不重合）连接，平移．使点D移动到点C，得到，过点Q作于H，连接．
（1）若点P在线段上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断与的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段的延长线上，且，正方形的边长为1，直接写出的长．
28．在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”．
（1）已知直线．
①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______；
②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______；
（2）已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键．由数轴得，, 进一步得出，即可作出判断.
【详解】解：由数轴得，，
选项A，B，C错误，选项D正确，
故选D.
3．【正确答案】C
【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
解得：．
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决．
【详解】解：前三日平均每天的票房为亿元亿元，
亿，
，
故选D．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除以等可能发生的情况数即可．
【详解】解：画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种，
故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是，
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】根据角垂直的定义，平角的定义，平分线的定义，对顶角的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，则，
∴，
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角；根据作图可得，结合，即可根据证明．
【详解】解：根据作图可得，
又∵，
∴．
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】根据是半圆O的直径，得出，根据直角三角形的性质得出，根据C是半圆周上的动点(与A，B不重合），即可判断①；根据点C的运动轨迹确定，即可判定②；证明，根据相似三角形的性质得出，结合①中结论即可判断③．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，圆周角定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵是半圆O的直径，
∴，
∵点O是中点，
∴，
∵，，
∴，，
即，故①正确；
∵C是半圆周上的动点(与A，B不重合），
∴，，
∴，
∴，故②错误；
，，
，
，，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
故选C．
9．【正确答案】x≥
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
解得，x≥.
10．【正确答案】
【分析】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解，先提公因式3，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解.
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理，先根据已知求得，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
12．【正确答案】62.5
【分析】求出样本中这100户家庭中投放有害垃圾质量的平均数，再乘以500可得答案．
【详解】解：估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾共约
（千克），
13．【正确答案】x=1
【分析】变形后方程两边都乘以3（x+1）得出6=x-1+3（x+1），求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
原方程化为：，
方程两边都乘以3（x+1），得6=x-1+3（x+1），
解得：x=1，
检验：当x=1时，3（x+1）≠0，所以x=1是原方程的解，
即原方程的解是x=1.
14．【正确答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，又，可得到与点是第四象限图象上的两点，可得．
【详解】解：∵反比例函数的，
在每个象限内，随的增大而增大，
又∵点与点都在反比例函数的图象上，且，
可得.
15．【正确答案】米
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米）.
16．【正确答案】；；．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是得出气象台预报准确的天数为．根据题意可得：的值为或，且当时，表示第天预报正确，若，则表示第天预报错误，据此即可求解．
【详解】解：根据题意可得：若，则表示第天预报正确，
若，则表示第天预报错误，
若，
其中天预报正确，则天预报错误，
、、、、中有个，个，
；
气象台预报准确的天数为；
若，
假设其中有天预报正确，即等式的左边有个，个，即，
解得：，
即气象台预报正确的天数为.
17．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质计算，再合并即可．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】此题考查求不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小无解.
分别解不等式，再根据不等式组解集的确定方法解答即可 ．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴．
19．【正确答案】3
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
中，，
，，
，，
过点C作的垂线交其延长线于点E，
，
中，，
．
21．【正确答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A区域的面积为，根据题意得出，解得，再求出C区域的面积即可．
【详解】解：设A区域的面积为，
，
解得，
，
答：C区域的面积是．
22．【正确答案】（1）k的值为1，b的值为
（2）且
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为：
将代入，则，
∴直线的图象过定点，
将代入，则，
由图象得：当直线的图象过点时，
则，解得：；
将代入，则，
由图象得：当直线的图象过定点时，
则，解得：；
综上，m的取值范围为:且．
23．【正确答案】（1）① 91，4；② 91
（2）甲，92
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：① 从教师评委打分的情况看，91分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为91，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故91，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为： 90，90，91，91，91，91，92， 92，
平均数为：，
故91；
（2）解：，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
，
，
解得，
当时，，
此时，，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当时，，
此时，，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故甲，92．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质和等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）作于，根据圆周角定理得到 ，，
由得到，根据直角三角形的性质可得到，，根据勾股定理求出，即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，

∵与圆相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，作于，则，

∵为的直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【正确答案】（1），，；
（2）①2.2；②见详解；
（3）1.9．
【分析】（1）由函数的定义可得答案；
（2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可；
（3）结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；
（2）①如图，当时，而，，
∴是的中点，
∴，
此时重合，
过作交于，交于，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②描点画图如下：

（3）由函数图象可得：当时，；
26．【正确答案】（1）
（2），
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求得解析式，进一步变形为顶点式即可求解．
（2）依据题意，由在抛物线上，可得，又结合，且，可得的范围；再作差，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：将代入，
可得，解得，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线与x轴的交点为和，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线开口向上，，
∴在的右侧，
∴，
∴，
又
∴，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵点在抛物线上，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
27．【正确答案】（1）①见详解，②，见详解
（2）
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②连接，先根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，再由定理得出，故，由正方形的性质即可得出结论；
（2）同（1）②的可证，得出，推导出，再由三角函数即可求解．
【详解】（1）解：①如图1；
②．
如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
由平移的性质可知，
在和中，
，
∴，
∴，
根据正方形是轴对称图形得到，
∴；
（2）解：如图2，点P在线段的延长线上，点D移动到点C，得到，过点Q作于H，连接，，作于点R，
同（1）②可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
28．【正确答案】（1）①，；②或
（2）；
【分析】（1）①由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内．先将关于直线l对称得到，则，由图可知点，，都在上，最小为2，最大为4，故符合定义的点为，；
②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示，所以，，所以，，设，由两点间距离公式可得方程，解之即可得Q点坐标；
（2）如图3所示，作关于过的动直线l对称的，即的圆心在以为圆心、2为半径的上，则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点，根据在转动过程中，会经过点Q，结合图形，分别得出和的取值范围即可．
【详解】（1）解：由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内；
①如图1所示，将关于直线l对称得到，则，
∵点P是点Q关于直线与的“反射极值点”，
则点P必在上，且的距离必须为所有符合条件中的P中的最大值或最小值，
∵，，都在上，最小为2，最大为4，
故符合定义的点为，.
②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示，
则由定义可知，为点Q关于直线与的“反射极大值点”N的距离，
为点Q关于直线与的“反射极小值点”的距离，
所以，，
所以，，
设，由两点间距离公式可得：，
解得或4，
故或.
（2）解：如图3所示，作关于过的动直线l对称的对称，
即的圆心在以为圆心、2为半径的上，
则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点，
∵，，
∴，
∴的最大值为：，最小值为：，
∴的取值范围为：；
∵在转动过程中，会经过点Q，
∴的最小值为0，
最大值为：，
∴的取值范围为：．平均数
中位数
众数
教师评委
91
91
m
学生评委
90.8
n
93
评委1
评委 2
评委 3
评委 4
评委5
甲
93
90
92
93
92
乙
91
92
92
92
92
丙
90
94
90
94
k
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
位置11
0
0.5
1.0
1.5
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.5
6.0
0
1.5
2.2
2.5
2.4
m
2.0
1.6
1.3
0.4
0
0
0.9
1.7
2.3
2.9
3.0
2.9
2.7
2.3
0.9
0