2025_2026学年北京市第一六一中学七年级下学期期中数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第一六一中学七年级下学期期中数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列给出的图形中，与是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．16的平方根是（ ）
A．2B．C．4D．
3．已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各数中，，，，，，，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，一个三角板的两直角边与直线a、b相交，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题中的真命题是（ ）
A．两点之间直线最短
B．不相交的两条直线，叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线平行于已知直线
D．若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等
9．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于 x、y的方程组，给出下列说法：
①当时，x、y的值都相等； ②当时，x、y的值互为相反数；
③无论a为何值，y的值都不变； ④若，则．
其中说法正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．的立方根是__________．
12．将命题“对顶角相等”改成“如果．．．，那么．．．”的形式为________________．
13．人教版七年级下册数学课本共有如下6章内容：《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》．若某期末试卷要求，每章至少有4个题，全卷总题数不超过26个题，设本期末试卷的全卷总题数为x个题，则x的取值范围是__________．
14．已知，则的值是______．
15．如图，，交于，，，则______．
16．若不等式组有解，则m的取值范围是_____．
17．如图，面积为的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1．将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S．当时，数轴上点表示的数是__________（用含a的代数式表示）．
18．餐厅用西瓜、哈密瓜、火龙果三种水果两两搭配做成水果拼盘，有以下三种搭配方式：
（1）若三种水果共用了，则搭配三的数量为_______；
（2）若使用的西瓜不超过，使用的火龙果不超过，则搭配二的数量最多是_______．
三、解答题
19．（1）解方程组：
（2）计算：
（3）求下列式子中x的值：
（4）解不等式组 并写出它的所有整数解．
20．如图，，相交于点O，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．请在网格中画图并回答下列问题：
（1）过点画直线的垂线，垂足为点；
（2）过点画射线，交直线于点；
（3）点到直线的距离为线段______的长度；
（4）比较线段和线段长度的大小______，并说明理由______；
（5）将三角形沿着直线方向向上平移个单位，再向右平移个单位，请画出平移后的三角形 ，并计算其面积______．
22．已知，是 的立方根．
（1）求的值；
（2）理解无理数的表示方法：因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．在（）的条件下请解答下列问题：的整数部分是______，小数部分是______．
23．在学完了《相交线与平行线》后，课上李教师呈现了这样一个问题：
爱棣、爱民两位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：
（1）爱棣同学利用图甲给出了不完整的解题过程，请你帮他将过程补充完整；
解：过点作，交于．
，
，
，
又，
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
又，
．
（直接填度数）．
（2）请你根据爱民同学在乙图添加的辅助线写出求解过程．
24．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，；还可以对连续求根整数，直到结果为1为止，例如：对10连续求根整数2次：，，得到结果为1．
（1）仿照以上方法计算：______；
（2）对123连续求根整数，______次之后结果为1；
（3）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计算说明．
25．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．购买预算金不超过920元，请问学校有几种购买方案．
26．综合与实践
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，．
【操作发现】
（1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．
【拓展运用】
（3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数．
（4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系．
27．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是______；（写出一个即可）
（2）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围．
28．学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线．
（1）如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
（2）如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由．
（3）如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．
【详解】根据对顶角的定义可知：只有C图中的是对顶角，其它都不是．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查平方根的定义，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题关键． 根据平方根的定义即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴16的平方根是，
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、不等式a＜b的两边都乘以-2，不等号的方向改变，错误，故此选项符合题意；
B、不等式a＜b的两边都乘以2，不等号的方向不变，正确，故此选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边都减去2，不等号的方向不变，正确，故此选项不符合题意；
D、不等式a＜b的两边都加上2，不等号的方向不变，正确，故此选项不符合题意；
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意；
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查无理数的识别，涉及实数分类、有理数与无理数定义及常见无理数，根据常见无理数及有理数定义逐项验证即可得到答案，熟记无理数定义是解决问题的关键．
【详解】解：，，，
，，，，，中，无理数有，，即无理数的个数为2，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】根据天平的图片得到的取值范围，在数轴上表示的取值，问题得解．
【详解】解：由图可知，
∴的取值范围在数轴上表示如图：
故选A．
7．【正确答案】A
【分析】此题考查平行线性质的应用，解题关键是由平行线性质：两直线平行，同位角相等，求出．
先由直线，根据平行线的性质，得出，再由已知直角三角板得，然后由平角的意义即可求解．
【详解】解：如图：
∵直线，
∴，
∵，，
∴．
故选A．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了命题的真假，平行线的性质及判定，熟练掌握有关平行线的概念、公理、性质及判定是解题的关键．
由线段的性质可判断A，由平行线的定义可判断B，由平行线公理可判断C，由平行线的判定与性质可判断D，则可求得答案．
【详解】A．两点之间线段最短，故A不正确；
B．在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线，故B不正确；
C．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故C不正确；
D．若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则可知这两条直线平行，则同位角也相等，故D正确，
故选D．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设雀每只两，燕每只两，分别根据“五只雀、六只燕，共重两”和“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，进行列式即可 ．
【详解】解：设雀每只两，燕每只两，
由“五只雀、六只燕，共重两”，得：，
由“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重” ，得：，
则可列出方程组为，
故选B．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，将每个命题代入方程组中，对各选项进行判断，结合不等式的性质，求a的取值范围即可．
【详解】解：①当时，方程组为，
解得：，
x，y的值相等，故①正确；
②当时，方程组为，
解得：，
x，y的值互为相反数，故②正确；
③解方程组，得，
无论a为何值，y的值不变，故③正确；
④若，则，，即，故④正确，
综上所述，其中说法正确的有①②③④共4个．
故选D．
11．【正确答案】
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是.
12．【正确答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果……那么……”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答．
【详解】解：原命题改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
13．【正确答案】
【分析】设本次期末试卷的全卷总题数为x，根据七年级下册数学课本有6章，每章至少有4个题，全卷总题数不超过26题，即可列出关于x的不等式组．
【详解】解：设本次期末试卷的全卷总题数为x，根据题意得
，
解得．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根的定义，先根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角和定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据平行线的性质得到，由三角形外角和的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴.
16．【正确答案】m＜2．
【分析】把不等式组的不等式在数标轴上表示出来，看两者有无公共部分，从而解出解集．
【详解】解：由不等式1＜x≤2，要使x＞m与1＜x≤2有解，
如下图只有m＜2时，1＜x≤2与x＞m有公共部分，
∴m＜2．
17．【正确答案】或
【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，分情况讨论：当正方形沿着数轴水平向右移动时，当时得到，求出，根据点表示的数为，可得到点表示的数；正方形沿着数轴水平向左移动时， 当时得到，求出，根据点表示的数为，可得到点表示的数．
【详解】解：如图，当正方形沿着数轴水平向右移动时，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为，
当时，，
，
，
点表示的数为，
点表示的数为．
当正方形沿着数轴水平向左移动时，
移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为，
当时，，
，
，
点表示的数为，
点表示的数为．
综上所述：点表示的数为或．
18．【正确答案】；
【分析】本题考查了有理数加法及乘法的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
（1）当每种搭配的数量是时，，不符合题意，此时水果还剩
，，得到，得出若三种水果共用了，则搭配三的数量为，即可得到答案；
（2）设搭配二的数量最多是，根据题意得，解得，得到搭配二的数量最多是，即可得到答案．
【详解】（1）解：当每种搭配的数量是时，，
不符合题意，
，，
，
若三种水果共用了，则搭配三的数量为.
（2）解：设搭配二的数量最多是，
根据题意得，
解得：，
搭配二的数量最多是.
19．【正确答案】（1）；（2）；（3）或；（4） ，整数解为
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）先算乘方、开方、绝对值，再算加减；
（3）根据平方根的定义求解即可；
（4）先求出不等式组的解集，再找出其中的整数即可．
【详解】（1）解：原方程组即为
把代入①，得
∴
∴
（2）解：
（3）解：∵
∴
∴或；
（4）解：解不等式，得：．
解不等式，得：
则不等式组的解集为
所以不等式组的整数解为
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．
（1）由已知条件可得，利用内错角相等，两直线平行可得；
（2）由平行线的性质可得，从而可得的度数．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
（4），垂线段最短
（5）见详解，
【分析】本题考查了利用网格作图、垂线段最短以及点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格的特点和垂线特点作图即可；
（2）根据网格的特点和平行线特点作图即可；
（3）根据点到直线的距离的概念解答；
（4）根据垂线段最短解答；
（5）根据平移规律画出，求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，射线即为所求；
（3）解：，
点到直线的距离为线段的长度
（4）解：，
，
理由：垂线段最短；
（5）解：如图，即为所求，
．
22．【正确答案】（1），，
（2），
【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，根据立方根的定义可求出的值；
（）把的值代入代数式，求出代数式的值，进而根据夹逼法解答即可求解；
本题考查了非负数的性质，立方根的定义，无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∵是的立方根，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴的整数部分是，小数部分是.
23．【正确答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；
（2）过程见详解
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）过点作，交于，先利用平行线的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点作，根据垂直定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，交于，如图所示：
，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又，
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
又，
，
（直接填度数）.
（2）解：过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
24．【正确答案】（1）5
（2）3
（3）255，见详解
【分析】本题考查新定义，无理数的估算，理解题意，读懂题目中给出的规定，熟练掌握无理数的估算方法是解答此题的关键．
（1）先估算的取值范围，再根据的含义可得出答案；
（2）根据题目中的规定对123连续求根整数，直到结果为1即可得出答案；
（3）根据题目中的规定分别对256和255连续求根整数，比较操作次数即可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴.
（2）∵，，，
∴对123连续求根整数3次之后结果为1．
（3）∵，
∴对256进行4次连续求根整数运算需要4次结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．
理由如下：
∵，
∴对255进行3次连续求根整数运算结果为1．
故最大的正整数是255．
25．【正确答案】（1）A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元．（2）学校有三种购买方案，方案一：购买A种奖品10个，B种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，B种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，B种奖品28个．
【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的且购买预算金不超过920元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．
【详解】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元．
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
依题意，得：，
解得：10≤m≤12．
∵m为整数，
∴m＝10，11，12，
∴40﹣m＝30，29，28．
∴学校有三种购买方案，方案一：购买A种奖品10个，B种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，B种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，B种奖品28个．
26．【正确答案】（1）见详解；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质．
（1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证；
（2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可；
小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答；
（3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出；
（4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴
∵，
∴；
（2），理由如下：
过点B作直线，如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3），理由如下：

如图3，过点O作，则，
∴，
∵，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∴，
∴，即．
（4）如图，
，理由如下：
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
27．【正确答案】（1）（答案不唯一）
（2）
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解关联方程的定义是解题的关键．
（1）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】（1）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∴其整数解为1，
则该不等式组的关联方程为．
（2）解方程得，
解方程得，
解关于x的不等式组得，
∵方程，都是关于x的不等式组的关联方程，
∴．
28．【正确答案】（1）①；②；
（2），理由见详解
（3）
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；
②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；
（2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出．
（3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论．
【详解】（1）解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：，理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
搭配方式
西瓜
哈密瓜
火龙果
总质量
搭配一
搭配二
搭配三
已知，如图，，，垂足为点，交于点，若，试求的度数．