2025_2026学年北京市大兴区八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市大兴区八年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式化简错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（ ）
A．B．，，
C．D．
8．如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若有意义，则的取值范围是________．
10．化简：=_______.
11．计算：_____．
12．计算______．
13．实数、在数轴上的位置如图所示， 化简__．
14．已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______．
15．如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是___________．
16．折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则的长是_______cm．

三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．已知，求代数式的值．
21．如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
22．如图，在中，，点是边的中点．
求作：矩形，且点在边上，点在边上．
（1）根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）．
①作线段的垂直平分线，垂足为点；
②连接；
③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
④连接．
则四边形是所求作的矩形．
（2）完成下面的证明过程．
证明：
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线．
∴___________．
∵，
∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）．
又∵，
∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．
（1）___________；
（2）求证：．
24．如图，菱形的对角线相交于点，延长至点，使，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形．
25．如图，在四边形中，．求的长．
26．将一副斜边相等的三角板按图1所示摆放，得到四边形，过点作．
（1）求证：；
（2）如图2所示，将绕点顺时针旋转．
①延长交于点，求证：四边形是正方形；
②连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系．
27．正方形的对角线，相交于点，点为直线上一点（点不与点，，重合），连接，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
（1）如图1，当点在线段上．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并加以证明．
（2）当点在线段的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
28．阅读以下材料：
在数学学习中，我们常常需要对具有特定结构的代数式进行深入探究．以非负实数范围内的代数运算为例，通过建立代数式与已有知识体系之间的联系，可以有效解决相关问题。
例如：化简时，我们知道对于任意非负实数，有．
因此，我们进行了如下分析，因为，，所以
．
回答下列问题：
（1）化简：；
（2）在平面直角坐标系中，已知正方形的面积为，且点在轴正半轴上，点在第四象限，直接写出点的坐标，并用直尺和圆规画出正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意；
B. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式 ，不符合题意；
C.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意；
D.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意；
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解．
【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意；
B、，B选项运算正确，不符合题意；
C、，C选项运算正确，不符合题意；
D、，D选项运算错误，符合题意；
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C，D进行判断．
【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意；
B、，原计算错误，故B不符合题意；
C、，原计算正确，故C符合题意；
D、，原计算错误，故D不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选B．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先把分子分母因式分解，再约分化简，再代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
根据四边形是平行四边形无法得出，
∴选项A、B、D结论成立，选项C结论不一定成立，
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键．
根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意；
B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由，则,即是直角三角形，不符合题意．
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】根据矩形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可推得，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得垂直平分，得出③结论正确；根据等边三角形的性质得出，平分，根据全等三角形的判定和性质得出，得出②结论正确；根据度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出，结合垂直平分线的判定和性质得出，即可得出④结论正确．
【详解】解：在矩形中，，，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
故，
即，①结论正确；
∵，，
即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，③结论正确；
∵和是等边三角形，
∴，平分，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，②结论正确；
在中，，
∴，
故，
又∵，，
即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，
∴，
即，④结论正确；
故结论正确的有个．
故选D．
9．【正确答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于得出一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得.
10．【正确答案】
【分析】根据化简二次根式的法则计算即可.
【详解】解：=
故答案为．
11．【正确答案】18
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
【详解】解：9×2=18.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是理解二次根式的加减法则．
先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式．
【详解】解：．
故 ．
13．【正确答案】-2b
【分析】由数轴可知a＜0，-b＜0，a-b＜0，化简即可解答．
【详解】解： 由数轴可得：a＜0，-b＜0，a-b＜0，
故原式=-a-b-(b-a)=-2b，
故答案为-2b．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积公式是求解的关键．直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
故答案是：．
15．【正确答案】或
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，即点与点之间的距离，再确定点对应的实数即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
故，
即，
当点在点的左侧时，点对应的实数为；
当点在点的右侧时，点对应的实数为.
16．【正确答案】3
【分析】由折叠的性质可得，，设的长为，则，由勾股定理可求的长，的长．
【详解】解：设的长为，则，
折叠后的图形是，
，，，
∵矩形，
∴，
，
又，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
即，
化简，得，
．
即的长为.
17．【正确答案】
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的加减混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质、二次根式的加减混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
【详解】解：，
，
．
19．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，根据二次根式的运算法则以及完全平方公式、平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
．
20．【正确答案】2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
21．【正确答案】见详解
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形是平行四边形，得出，，由，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形
．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理．熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
（1）根据所给步骤，逐步作图即可求解；
（2）根据平行四边形和矩形的判定定理，结合证明过程，即可写出依据．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：补充后的证明过程如下：
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
23．【正确答案】（1）
（2）见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键．
（1）根据两点间距离公式进行计算即可；
（2）先利用勾股定理求出，进而得到，然后根据勾股定理逆定理证明为直角三角形即可．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴；
（2）解：，
由勾股定理同理可得，
，
，
，
．
24．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形的中位线的判定和性质．
利用菱形的性质得出，根据给出的条件得出为中位线，进而得出，证出四边形是平行四边形和即可得出结果．
【详解】证明：菱形的对角线相交于点，
，
，
为中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．
25．【正确答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形和勾股定理．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，平行线性质，是解题的关键．
延长，交于点．证明，，得，由勾股定理得，得，即得
【详解】证明：延长，交于点．
，
在Rt中，
在Rt中，，
在Rt中，且，
26．【正确答案】（1）见详解
（2）①见详解；②
【分析】（1）根据等腰直角三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据度所对的直角边是斜边的一半得出，即可证明；
（2）①根据有三个角是直角的四边形是矩形即可证明四边形为矩形，再根据邻边相等即可证明；
②由正方形可知，，推得，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵在中，，，
又∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．，
（2）①证明：如图：
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴矩形为正方形．
②解：，
理由如下：连接，如图：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
在中，．
故线段与之间的数量关系为．
27．【正确答案】（1）①见详解；②
（2）
【分析】（1）①连接，根据正方形的性质得出，，，，根据垂直平分线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，结合四边形的内角和是和等角的补角相等推得，根据等边对等角得出，即可证明；
②根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据勾股定理得出，再结合等腰直角三角形的判定与性质得出，即，结合题意即可求解；
（2）连接，根据正方形的性质得出，，，，根据垂直平分线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，结合对顶角相等和等角的余角相等得出，推得，根据等边对等角得出，推得；根据等角的补角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据勾股定理得出，再结合等腰直角三角形的判定与性质得出，即，结合题意即可求解．
【详解】（1）①证明：连接．如图：

∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②用等式表示线段，，之间的数量关系是：．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：．
（2）解：，理由如下：
当点在线段的延长线上时，如图，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在与中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：．
28．【正确答案】（1）
（2）；见详解
【分析】本题考查作图-复杂作图，二次根式的性质与化简，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题
（1）根据例题，进行计算求解；
（2）先结合例题，求出正方形的边长，结合题意即可得出点的坐标；结合勾股定理和圆规，先确定点的位置，再根据正方形的性质画图即可求解．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵正方形的面积为，且，
即正方形的边长为，
又∵点在轴正半轴上，点在第四象限，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
如图：正方形即为所求．
作图思路：如图：
第一步，作等腰直角三角形，使得，，，
则，
第二步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的正半轴交于点，则，
第三步，作直角三角形，使得，，
则，
第四步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的正半轴交于点，则，
此时，，
第四步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的负半轴交于点；
分别以点、点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于点；
连接、、、，所得四边形即为所求．