2025-2026学年下学期辽宁丹东高三数学4月教学质量监测试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期辽宁丹东高三数学4月教学质量监测试卷含答案，共20页。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知全集 U=N ，集合 A={x∈N∣x>2} ，则 ∁UA=
A. {0,1,2} B. {0,1} C. {1} D. {1,2}
2. 双曲线 y23−x2=1 的离心率为
A. 2 B. 3 C. 23 D. 233
3. 复数 z 满足 1z−1=i ,则 z=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
4. 已知等比数列 an 的公比为 q ,命题 s:an 是递增数列,命题 t:q>0 ,则 s 是 t 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 一个口袋里装有大小、形状完全相同的 8 个红球和 2 个白球, 从中不放回地任取两个球. 已知取到了一个红球, 则取到的另一个是白球的概率为
A. 29 B. 411 C. 1645 D. 718
6. 已知函数 fx 的定义域为 R ,若 fx 与 fx+2 都是奇函数,则一定有
A. f1=0 B. f3=0 C. f13=0 D. f14=0
7. 在直角梯形 ABCD 中， AB//CD,AB⊥AD ，且 AB=2CD=2,AD=3 ，对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 M 满足 CM=λCB0≤λ≤1 ,则 AO⋅AM 的取值范围是
A. 43,2 B. 2,83 C. 43,83 D. 23,2
8. 已知 x>1,y>1 ,且 1lgx+4lgy+1=1 ,则 lgxy 的最小值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 记 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和, an 的公差为 d ,已知 S55−S33=2 ,且 S55 与 S33 的等差中项为 -2 , 则
A. S5=5 B. d=2 C. S3 最小 D. S70,φ0 的焦点为 F . 过点 P2p,2p 作 C 的切线 l,l 与 y 轴、 x 轴分别交于点 Q、K ; 过坐标原点 O 作 l 的垂线 l1,l1 与直线 PF 交于点 M ,则
A. l 的斜率为 p2 B. KF=PF
C. OM I/OF D. △OMF 是等腰三角形
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 y 与 x 的成对数据如下表:
若 y 关于 x 的回归直线方程为 y=bx+0.6 ,则 b= _____.
13. 已知半径为 23 的球内切于圆台,若圆台的上、下底面半径之比为 1:3 ,则圆台的母线长为_____.
14. 当 x>1 时， x3+xex≥aexlnx+ex ，则实数 a 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 sinA+C=4sin2B2 .
(1)求 csB ；
(2)若 D 是 AC 的中点，且 a+c=6,b=23 ，求 DB 的长.
16. (15分)
已知函数 fx=x−13−3ax .
(1)讨论 fx 的单调性;
(2)若 fx 存在极值点 x1 ，且 fx1=fx2 ， x1≠x2 ，证明: 2x1+x2 为定值.
17. (15分)
已知椭圆 C:x24+y23=1 的右顶点为 M ，圆 M 的半径等于椭圆的长半轴长，圆 N : x+12+y2=1 ,直线 l 与圆 M 和圆 N 都相切.
(1)求圆 M 的方程，并判断圆 M 与圆 N 的位置关系；
(2)求直线 l 的方程；
(3)若斜率存在的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，求 △ABM 的面积.
18. (17 分)
在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, AB=3,△PAD 是边长为 2 的等边三角形. 点 M,N,E 分别为 AD,BC,PC 的中点.
(1)求证:平面 PMN⊥ 平面 ABCD ；
(2)设直线 DE 与平面 PMN 所成角的正弦值为 1010 ，且四棱锥 P−ABCD 的各个顶点都在球 O 的球面上.
(i) 求二面角 P−AD−B 的余弦值;
(ii) 求球 O 的表面积.
19. (17 分)
Base16 Encding 是网络数据传输中常用的编码技术，它将二进制数转换为十六进制数, 从而将冗长的二进制序列转换为更短、更规整的十六进制字符串, 便于传输与解码.
(1)写出二进制数 111001011101 转换后的十六进制字符串(参考附 2)；
(2)十六进制字符串由数字与字母组成，传输时，数字保持不变，字母替换为两个连续的 “*”, 得到加密字符串 (如 5A6F3 加密为 5**6**3). 设 n 位十六进制字符串加密后,其加密字符串的第 n 位为 “ ∗ ” 的概率为 pn .
(i) 求 p1,p2 ,并证明数列 8pn+3pn−1 为常数列;
(ii) 若 an=k=0nCnk11pn−6133k ,求数列 an 的通项公式.
附 1:十进制与十六进制的对应关系
附 2:二进制数转换为十六进制数规则
将二进制数按 4 位一组映射为 1 位十六进制字符: 从二进制数的最右侧开始, 向左每 4 位分为一组; 若最左侧一组不足 4 位,则在其左侧补 0 凑齐 4 位.
例如:二进制数 11010 ，先补 0 分组为 00011010 . 由 0×23+0×22+0×21+1×20=1 ，得 00012=110 ,映射为十六进制数字 1 ; 由 1×23+0×22+1×21+0×20=10 ,得 10102=1010 ,映射为十六进制字母 A. 因此二进制数 11010 映射为十六进制字符串 1A.
丹东市 2026 届高三教学质量监测 数学试题评分参考
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1. A 2. D 3. B 4. A
5. B 6. D 7. C 8. C
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的给 6 分，有选错的给 0 分。有两个正确选项的仅选其中一个给 3 分; 有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分, 仅选其中两个给 4 分。
9. BC 10. AC 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 1.2 13. 8 4. (−∞,3]
四、解答题:共 77 分。
15. 解:
( 1 )因为 A+B+C=π ，所以 sinA+C=sinB ，而 4sin2B2=21−csB ，故 sinB=21−csB . 两边平方得 sin2B=21−csB2 ,进而 1−cs2B=41−csB2 ,因为 csB≠1 ,所以 1+csB=41−csB ,因此 csB=35 . 5 分
(2)由余弦定理 b2=a2+c2−2accsB ，得 b2=a+c2−2ac1−csB ，因为 a+c=6 ， b=23,csB=35 ，所以 ac=152 ，从而 a2+c2=21 . 8 分
在 △ADB 和 △CDB 中,分别应用余弦定理得
c2=DA2+DB2−2DA⋅DBcs∠BDA,a2=DC2+DB2−2DC⋅DBcs∠BDC .
因为 cs∠BDA=−cs∠BDC,DA=DC=3 ,将两式相加得 a2+c2=2DC2+2DB2 , 因此 BD=302 . 13 分
16. 解:
(1) fx 定义域为 R ， f′x=3x−12−a .
当 a≤0 时, f′x≥0 ,且仅当 a=0 且 x=1 时 f′x=0 ,所以 fx 在 −∞,+∞ 上单调递增.
当 a>0 时,由 f′x>0 解得 x1+a ; 由 f′x