青海省海西蒙古族藏族自治州2025-2026学年高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份青海省海西蒙古族藏族自治州2025-2026学年高考考前模拟数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，若复数，则
A．B．
C．D．
2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ）
A．命题是真命题
B．命题的逆命题是真命题
C．命题的否命题是“若，则”
D．命题的逆否命题是“若，则”
10．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．B．C．D．
11．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
12．已知集合则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________．
14．双曲线的左焦点为，点，点P为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.
15．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.
16．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）.
（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.
19．（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线.
20．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最大值为，若，证明：.
21．（12分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
因为，所以，故选B．
2．D
【解析】
由题知，又，代入计算可得.
【详解】
由题知，又.
故选：D
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
3．A
【解析】
取，得到，取，则，计算得到答案.
【详解】
取，得到；取，则.
故.
故选：.
本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.
4．B
【解析】
∵
∵
∴
∵，
∴
∴
故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
5．B
【解析】
根据抛物线定义得，即可解得结果.
【详解】
因为，所以.
故选B
本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．A
【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】
解：由集合，解得，
则
故选：．
本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．
7．C
【解析】
将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.
【详解】
已知圆，
所以其标准方程为：，
所以圆心为.
因为双曲线，
所以其渐近线方程为，
又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，
则圆心在渐近线上，
所以.
所以.
故选：C
本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．C
【解析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】
由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
9．B
【解析】
解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；
命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；
命题的否命题是“若，则”，C选项错误；
命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．
故选：B．
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.
10．B
【解析】
二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
11．B
【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】
由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，
∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，
∴2n＝8，∴n＝3，
∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，
∵，1＜lnπ＜3，n＝3，
∴，
∴a＜b＜c，
故选：B.
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
12．B
【解析】
解对数不等式可得集合A，由交集运算即可求解.
【详解】
集合解得
由集合交集运算可得，
故选：B.
本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为．
14．2 2
【解析】
设双曲线的右焦点为，根据周长为，计算得到答案.
【详解】
设双曲线的右焦点为.
周长为：.
当共线时等号成立，故，即实轴长为，.
故答案为：；.
本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15．10 900
【解析】
由题意列出方程组，求解即可.
【详解】
由题意可得，解得.
故答案为10 900
本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.
16．
【解析】
利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】
因为双曲线的离心率为,
所以,即,
因为双曲线的渐近线方程为,
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为:
本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.
【详解】
（1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且，
所以是正三角形，从而.
同理可证，，
所以平面.
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
易知，且为的中点，所以，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，，且四边形为正方形.设的中点为，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由得
取.
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
18．（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）（2）（3，2e]
【解析】
（1）当a＝2时，求出，求解，即可得出结论；
（2）函数在上有两个零点等价于a＝2x在上有两解，构造函数，，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝2时，定义域为，
则，令，
解得x1，或x1（舍去），
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）设，
函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解
令，，则，
令，，
显然，在区间上单调递增，又，
所以当时，有，即，
当时，有，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
时，取得极小值，也是最小值，
即，
由方程在上有两解及，
可得实数a的取值范围是.
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据已知可得，结合离心率和关系，即可求出椭圆的标准方程；
（2）斜率不为零，设的方程为，与椭圆方程联立，消去，得到纵坐标关系，求出方程，令求出坐标，要证、、三点共线，只需证，将分子用纵坐标表示，即可证明结论.
【详解】
（1）由于，将代入椭圆方程，
得，由题意知，即.
又，所以，.
所以椭圆的方程为.
（2）解法一：
依题意直线斜率不为0，设的方程为，
联立方程，消去得，
由题意，得恒成立，设，，
所以，
直线的方程为.令，得.
又因为，，
则直线，的斜率分别为，，
所以.
上式中的分子
，
.所以，，三点共线.
解法二：
当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
直线的方程为.
则，，，
所以，即，，三点共线.
当直线的斜率存在时，
设的方程为，，，
联立方程消去，得.
由题意，得恒成立，故，.
直线的方程为.令，得.
又因为，，
则直线，的斜率分别为，，
所以.
上式中的分子
所以.
所以，，三点共线.
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
20．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；
（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.
【详解】
（1）
①当时，恒成立，
；
②当时，，即，
；
③当时，显然不成立，不合题意；
综上所述，不等式的解集为.
（2）由（1）知，
于是
由基本不等式可得 （当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
上述三式相加可得
（当且仅当时取等号）
，
，故得证.
本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21．（1）见证明；（2）
【解析】
（1）取的中点，连.可证得，，于是可得平面，进而可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值．
【详解】
（1）证明：取的中点，连.
∵，
∴．
又，
∴.
在中，，
∴．
又，
∴平面，
又平面，
∴.
（2）解法1：取的中点，连结，
∵，
∴,
又，
∴．
又由题意得为等边三角形，
∴，
∵，
∴平面．
作，则有平面，
∴就是直线与平面所成的角．
设，则，
在等边中，．
又在中，，故．
在中，由余弦定理得，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
解法2：由题意可得，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则在直角三角形中，可得，
作于，则有平面几何知识可得，
∴．
又可得，.
∴,．
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则得．
又，
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．
22．（1），（1，2）；（2）存在，
【解析】
（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.
【详解】
（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为
抛物线的焦点坐标，
由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，
可得，解得或（舍去），
故抛物线C的方程为
又由消去y得，
因为直线与抛物线C相切，所以，解得，
此时，所以点P坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数，点，
联立，消去x得，
则，
依题意，可得，解得m