山东省济南市平阴县实验高级中学2025~2026学年高二上册11月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份山东省济南市平阴县实验高级中学2025~2026学年高二上册11月阶段检测数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．已知直线的斜率为，则（ ）
A．3B．C．1D．
3．在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A．21B．19C．13D．11
5．已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A．5B．7
C．11D．13
6．已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于
D．若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．经过点，且的一个方向向量为的直线方程为
C．若空间向量，，则在上的投影向量为
D．若点在圆的外部，则的取值范围为
10．已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线为双曲线，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其实轴长为
C．当时，曲线为圆
D．曲线为焦点在轴上的椭圆，则
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）

A．平面平面
B．平面
C．异面直线与所成角的范围是
D．三棱锥的体积不变
三、填空题
12．已知两直线与之间的距离为___________.
13．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________.
14．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是__________
四、解答题
15．已知直线，直线经过点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16．如图，平面，四边形是正方形，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
17．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程并指出P点的轨迹形状；
（2）若直线l过点且与点P的轨迹相切，求直线l的方程.
18．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足．
（1）当时，求证平面
（2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．
19．已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的面积；
(3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由可得，解得.
故选C
2．【正确答案】B
【详解】因为的斜率为，
所以，则.
故选B.
3．【正确答案】B
【详解】易知.
故选B
4．【正确答案】B
【详解】由条件可知，，
则，解得，所以．
故选B．
5．【正确答案】D
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为两圆外切，所以，即，解得.
故选D.
6．【正确答案】C
【详解】对于A选项，直线的方程可化为，
由可得，所以，直线恒过定点，A错；
对于B选项，直线过定点，设为，
所以坐标原点到直线的最大距离为，故B错误；
对于C选项，当时，直线的方程为，
设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，解得，
圆心为，圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
所以，直线、都与圆相交，
所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对；
对于D选项，因为直线与直线平行，则，解得，
即点在直线上，连接，则，
由勾股定理可得，
当直线与直线垂直时，取最小值，
且，则，D错.
故选C.
7．【正确答案】C
【详解】如下图所示：

因为的中点，且，则，
由椭圆的定义，则，
又为的中点，可得，
因为，由勾股定理可得，
即；又因，
代入整理得：，即，
解得或（舍）.
故选C.
8．【正确答案】C
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵四点共面，
∴，即．
∵，当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为1．
故选C
9．【正确答案】AC
【详解】对A，易知直线的斜率为，所以倾斜角为，即A正确；
对B，因为的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，所以B错误；
对C，，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对D，因为点在圆的外部，则，解得，故D错误.
故选AC.
10．【正确答案】BC
【详解】对于A：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，实轴长为，故A不正确、B正确；
对于C：当时，曲线的方程为，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故C正确；由C显然D不正确；
故选BC
11．【正确答案】ABD
【详解】分别以、、为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

对于A：设边长为1，则，，
所以，
因为，所以，即，
又平面，所以直线平面，又平面，
所以平面⊥平面，故A正确；
对于B：因为点P在线段上运动，所以设，，则点，
则，由选项A可知：平面的法向量为，
因为，又平面，所以直线平面，故B正确；
对于C：，，设异面直线与所成角为，
所以，
因为，所以当时，，
当时，，
因为，所以，综上，所以，故C错误；
对于D：因为，点P在线段上运动，所以点P到直线的距离不变，即的面积不变，
又因为点到平面的距离恒为，所以点到平面的距离不变，
所以三棱锥的高不变，所以三棱锥的体积为定值，
所以为定值，故D正确.
故选ABD
12．【正确答案】
【详解】直线，与之间的距离为
13．【正确答案】
【详解】由，的夹角为，且，得，
，
设与的夹角为，则，
由于，故.
14．【正确答案】
【详解】双曲线的两条渐近线方程为，
设,，,，的中点坐标为,；
所以，，
两式相减得：，化简得：，
由于点,在直线上，则①，
由于，
所以，②，
联立①②得：，，代入，得到，
所以渐近线的方程为．
15．【正确答案】（1）；
（2）或．
【详解】（1）因为，所以可设直线的方程为．
因为直线经过点，所以，解得．
所以直线的方程为．
（2）已知直线在两坐标轴上的截距相等，
若直线过原点，设直线的方程为，
因为直线经过点，所以，
此时直线的方程为，即．
若直线不过原点，设直线的方程为．
因为直线经过点，所以，所以．
此时直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
16．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）证明：平面，，
、、两两互相垂直，
如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
可得，
则，，，
设是平面的一个法向量，
可得，取，得，，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
可得，取，得，
是平面的一个法向量，
，，
即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，
可得平面平面；
（2）由（1）得是平面的一个法向量，
，
点到平面的距离．
17．【正确答案】（1），以为圆心，以2为半径的圆 .
（2）或
【详解】（1）设，，，点P满足，
所以，平方化简得，即.
所以P点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆 .
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为时，
此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l直线的方程为，即，
则，解得，所以l的方程为即，
综上所述，直线l的方程为或.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）或．
【详解】（1）连接，因为，，可得点E是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又面，面，
所以面.
（2）因为正方形，所以，且平面，
以为原点，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得， ..
因为，所以，
则，
设平面的法向量为，
则，令，
可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的正弦值为，所以，
可得，所以或．
19．【正确答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，.
【详解】（1）依题意可知，
当为短轴顶点时，取到最大值，
可得解得
所以椭圆的标准方程；
（2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设，
若，则直线，
联立方程消去可得，解得或，
所以的面积；
（3）由（2）可设，则，
设直线的方程为，此时，
联立直线与椭圆方程消去可得，
则，
不妨设，因为三点共线，则，
可得，则，
因为三点共线，则，
可得，则，
可得，
则，可得，
所以，即.