山东省济南市平阴县实验高级中学2025~2026学年高二上册10月份阶段性检测数学试卷【附解析】

这是一份山东省济南市平阴县实验高级中学2025~2026学年高二上册10月份阶段性检测数学试卷【附解析】，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A B. C. D.
3．已知点到直线的距离为1，则的值为
A．或B．或15C．5或D．5或15
4. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ）
A. B. C. D.
6．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若为钝角，则D．若在上的投影向量为，则
7．如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量B．四点共面
C．D．
10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为
11. 已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线所成的角为 B.点到平面的距离为
C. 平面 D. 直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12.若，则 .
13.已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 .
14.在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .
四、解答题：（本大题共6道小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，需认真、规范书写.）
15．（13分）已知，.
(1)若()∥()，求x，y的值；
(2)若，且，求x的值.
16．（15分）已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
17．（15分）如图在平行六面体中，，．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线和夹角的余弦值．

18.（17分）已知直线l过点，O为坐标原点．
若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24．
（1）求直线l方程；
（2）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．
单选答案：1-4BCDB 5-8CDAA
二、多项选择题：（每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
多选答案：9.AD;10.AC;11.ACD
1.B【详解】因为直线可化为，则其斜率为，设其倾斜角为，
则，所以.故选：B.
2. C【详解】.故选：C.
4.B【详解】方法一 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．方法二 由题意知直线的一个法向量为，
∴直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为．故选：B
5. C【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确.
6．D【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误；
对于选项B:若，则，解得，故选项B错误；
对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误；对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确．故选：D.
7.A【详解】∵，，∴，∵，∴．
∵，∴
．∴．故选：A．
8.A【详解】平面的方程为，平面的一个法向量，
同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，
则，取，则 设直线与平面所成角为，
则 故选：A
9．AD【详解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；
设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；
，所以与不平行，故C错误；
，故D正确；
10．AC【详解】对于A项，若，则，解得或，经检验，均符合，故A项正确；对于B项，若，则，解得或，故B项不成立；对于C项，因为，则由得，所以l恒过点，故C项正确；对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点，则，得，所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立．故选：AC.
11. ACD【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，， ，，，对于A：，，
因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；
对于C：因为 ，，，
所以，，所以，，
因为，平面，所以平面，故选项C正确；
对于B：因为，平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，故选项B不正确.
对于D：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，
因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项D正确；
12.【详解】根据夹角公式，，
注意到，则，于是.故答案为：
13.【详解】因为，，，所以，．
直线过点且与线段相交，如下图所示：或，
直线的斜率的取值范围是：．
14．【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，又，
所以，所以，因为共面，
所以，解得.
15．（13分）已知，.
(1)若()∥()，求x，y的值；
(2)若，且，求x的值.
【详解】（1）∵，，∴，.（2分）
又()∥()，∴，（5分） 解得，.（7分）
（2）由，得，（9分） ∴，（10分）
∴，（11分） 即，∴，（12分） 解得.（13分）
16．（15分）已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
【详解】（1）由直线可得斜率为，2分
所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；7分
（2）联立，解得，即直线与的交点为， 9分
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时； 11分
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即 13分
综上所述：所求直线方程为或．15分
17．（15分）如图在平行六面体中，，．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线和夹角的余弦值．
【详解】（1）设，，，
则为空间的一个基底，且，，，（2分）
因为，，则，（3分）
，（4分） 可得，，（6分）
即，且，平面，所以平面.（7分）
（2）由（1），（8分）则（9分）
，（11分） 即，（12分）
则，即，（13分）
设与的夹角为，则，（14分）
所以直线和夹角的余弦值为.（15分）
18.（17分） 已知直线l过点，O为坐标原点．
若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24．
（1）求直线l方程；
（2）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）由截距式设直线的方程为，所以，……4分
所以，即 ；…………6分
（2）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则，…………7分
因为为等腰三角形，
当M为直角顶点时，设，，，
所以，即，…………9分
所以或（舍），所以，即点；…………10分
当Q为直角顶点时，点，，符合题意；…………12分
当P为直角顶点时，设，由可得：，
所以，；…………15分
综上所以，，，符合题意．…………17分
19．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．
【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面，
因为平面，所以，又，，，平面，
所以平面，因为平面，所以．…………2分
因为，，，所以，，
所以∽，所以，
因为，所以，所以，…………4分
又，，平面，所以平面．…………5分
（2）因为底面，平面，所以，
因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，…………6分
由（1）知，为平面的一个法向量．…………7分
设为平面的一个法向量，因为，，
所以，即，令，可得．…………9分
，所以平面与平面夹角的余弦值为．…11分
（3）设，，则，，…………12分
设到直线的距离为，则…………14分
，…………16分
所以当时，，即到直线距离的最小值为．…………17分