2026年中考数学一轮复习 圆的综合题练习含答案

这是一份2026年中考数学一轮复习 圆的综合题练习含答案，共21页。
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若CD=6，tan∠OAB=12，求AE的长．
2．如图，在△ABO中，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与边OB相交于点D，将△ABD沿AD翻折，得△ACD，AC与OB交于点E．
（1）证明：CD∥OA；
（2）当AC⊥OB时，
①证明：AB为⊙O的切线；
②若OA＝5，tan∠EAD=12，求BD的值．
3．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在⊙O上，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）∠APB的度数是 ；
（2）求证：PA+PB＝PC；
（3）若DPBP=13，AD＝2，求线段BC的长．

4．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于E，连接OA交BC于点D，连接AC，OC．
（1）求证∠ACE＝∠ABC；
（2）探究AC，BC与CD的数量关系，并说明理由；
（3）若tan∠DCO=13，CE＝6，求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若∠BOD＝60°，则∠M的度数是 ．
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且CM=BD，求CBD的长．
6．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠BDE＝∠C，点E在线段CB上，CB的延长线交⊙O于点F．
（1）写出一个与∠CDE相等的角： ；
（2）连接OD，求证：OD⊥DE；
（3）若BD＝2，BC＝4BE，求BF的长．
参考答案
1．（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB；
（2）解：平行，如解图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB=AC，即点A为BAC的中点，
∵AO是半径，∴AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴AO∥CD；
（3）解：由（2）易得OF=12CD=3，
∵tan∠OAB=12，
∴设BF＝x，则AF＝2x，
∴OA＝OB＝2x－3，
∵BF2+OF2＝OB2，
∴x2+32＝（2x－3）2，解得x＝4，
∴OA＝5，
∴AB=BF2+AF2=42+82=AC=45，
∵AO∥CD，
∴△AOE∽△CDE，∴AECE=OACD=56，
∴AE=511AC=20511．
2．（1）证明：∵△ABD沿AD翻折，得△ACD，
∴∠CAD＝∠BAD，∠C＝∠B，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAC＝∠OAD－∠CAD，∠B＝∠ODA－∠BAD，
∴∠OAC＝∠B，
∴∠OAC＝∠C，
∴CD∥OA；
（2）①证明：∵AC⊥OB，
∴∠OEA＝90°，
∴∠O+∠OAC＝90°，
∵∠OAC＝∠B，
∴∠O+∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴AB⊥OA，
∵OA为⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
②解：∵AC⊥OB，
∴∠AED+∠CED＝90°，
∵tan∠EAD=12=DEAE，
∴AE＝2DE，
∴设DE＝x，则AE＝2x，
∴OE=52−(2x)2=5−x，
解得x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴DE＝2，OE＝3，
∵CD∥OA，
∴△CDE∽△AOE，
∴CDAO=DEOE=23，∴CD=103，
∵将△ABD沿AD翻折，得△ACD，
∴BD=CD=103．
3．（1）120°；
（2）证明：在PC取一点E，使PE＝PB，连接BE，如图，
∵∠BPC＝60°，PE＝PB，
∴△PBE为等边三角形，
∴PB＝PE＝BE，∠PBE＝60°，
∴∠PBE＝∠ABC＝60°，
∴∠PBA＝∠EBC．
∵PB=PB．
∴∠PAB＝∠ECB．
在△BPA和△BEC中，
BP=BE∠PBA=∠EBCBA=BC，
∴△BPA≌△BEC（SAS），
∴PA＝EC，
∵PC＝PE+EC，
∴PA+PB＝PC；
（3）解：过点D作DF⊥PA于点F，连接AO并延长交⊙O于点G，连接GC，如图，
∵过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D，
∴OA⊥AD，
∴∠DAG＝90°，
∴∠DAP+∠PAG＝90°，
∵∠PCG＝∠PAG，
∴∠DAP+∠PCG＝90°．
∵AG为直径，
∴∠ACG＝90°，
∴∠ACP+∠PCG＝90°，
∴∠ACP＝∠DAP，
∵∠ACP＝∠ABP，
∴∠DAP＝∠APB．
∵∠PDA＝∠ADB，
∴△ADP∽△BDA，
∴DADP=DBDA，
∵DPBP=13，
∴设DP＝k，则BP＝3k，
∴DB＝4k．
∴DAk=4kDA，
∴4k2＝AD2＝4，
∵k＞0，
∴k＝1，
∴DP＝1．
由（1）知：∠APB＝120°，
∴∠APD＝60°，
∵DF⊥PA，
∴PF=12DP=12，DF=32DP=32，
∴AF=AD2−DF2=132，
∴AP＝PF+AF=1+132．
∵△ADP∽△BDA，
∴PAAB=DPDA=12，
∴AB＝2PA＝1+13，
∴BC＝AB＝1+13．
4．（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∴∠ACE＝90°－∠OCA＝45°，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）解：AC，BC与CD的数量关系为AC2＝CD•BC，理由：
由（1）知：∠ACE＝∠ABC，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠ABC，
∵∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ACCD=BCAC，
∴AC2＝CD•BC．
（3）解：过点A作AF⊥EC于点F，过点B作BG⊥OA于点G，如解图，
∵tan∠DCO=13，∠AOC＝90°，
∴tan∠DCO=ODOC=13，
设OD＝x，则OC＝3x，
∴CD=OD2+OC2=10x．
由（1）知：∠AOC＝90°，OC⊥EC，
∵AF⊥EC，
∴四边形AOCF为矩形，
∵OA＝OC，
∴四边形AOCF为正方形，
∴OA＝OC＝AF＝FC＝3x，
∴AC＝32x，AD＝OA－OD＝2x．
由（2）知：AC2＝CD•BC，
∴(32x)2=10x⋅BC，
∴BC=9105x，
∴BD＝BC－CD=4105x，
∵∠BGD＝∠AOC＝90°，
∴BG∥OC，
∴∠DBG＝∠DCO，
∴tan∠DBG＝tan∠DCO=13，
∵tan∠DBG=DGBG，
∴DGBG=13，
设DG＝k，则BG＝3k，
∴BD=DG2+BG2=10k=4105x，
∴k=45x，
∴BG=125x，AG＝AD－DG=65x．
∵四边形AOCF为正方形，
∴OA∥CE，
∴∠BAG＝∠E，
∵∠BGA＝∠EFA＝90°，
∴△BGA∽△AFE，
∴AGBG=EFAF，
∴65x125x=EF3x，
∴EF=32x，
∴EC＝EF+CF=32x+3x＝6，
∴x=43．
∴⊙O的半径＝OC＝3x＝4．
5．解：（1）30°；
（2）设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE=12CD=12×16＝8，
在Rt△ODE中，OE＝OB－BE＝r－4，OD＝r，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r－4）2+82＝r2，
解得r＝10，
∴⊙O的半径为10；
（3）如解图，连接OC，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，
∵∠DOE+∠D＝90°，
∴2∠B+∠D＝90°，
∵弧CM＝弧BD，
∴∠M＝∠D，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D+∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴CBD的长为120π×10180=20π3．
6．（1）∠DBE或∠DBA；
（2）证明：如解图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝180°－∠ADB＝90°，
又∠BDE＝∠C，∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°，
∴∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝180°－（∠C+∠CDE）＝90，
又BC＝BA，OD＝OA，
∴∠C＝∠BAC，∠ODA＝∠OAC，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∴OD⊥DE于点D；
（3）解：连接AF，
∵∠BED＝∠C，∠BED＝∠CDB，
∴△CDB∽△DEB，
∴DBEB=CBDB，
∴DB2＝EB·CB，
又CB＝4EB，
∴4＝EB•4EB，
∴EB＝1，BC＝4，
∴CE＝CB－BE＝3，
又AB为⊙O的直径，
∴∠F＝90，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∴DE∥AF，
又BA＝BC，BD⊥AC于点D，
∴AD＝CD，
又DE∥AF，
∴CDDA=CEEF，
∴CE＝EF＝3，
∴BF＝EF－EB＝2．