2026年中考数学-二轮专题复习-圆综合题训练

这是一份2026年中考数学-二轮专题复习-圆综合题训练，共26页。试卷主要包含了切线相关，圆的性质应用，与三角形综合，面积计算，辅助线作法，存在性问题，内心与外心混淆，相似三角形对应关系混乱等内容，欢迎下载使用。
1.切线相关：判定与性质是核心
切线判定（两种核心思路）：
① 连半径证垂直：连接圆心与直线上的点，证明该线段与直线垂直（常用圆周角定理、全等、勾股定理逆定理推导垂直）；
② 作垂直证半径：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。
切线性质：切线垂直于过切点的半径，可直接推导直角；若有两条切线从同一点出发，则切线长相等（切线长定理），且该点与圆心的连线平分两切线的夹角。
2.圆的性质应用：转化角与线段
圆周角定理：同弧（或等弧）所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角（可构造直角三角形）。
弧、弦、圆心角关系：等弧对等弦、等弧对等圆心角，可实现线段和角度的等价转化。
弦心距性质：圆心到弦的垂线平分弦，可结合勾股定理求弦长（弦长=2√(半径²-弦心距²)）。
3.与三角形综合：全等、相似+特殊点性质
全等/相似：通过圆的性质（如等角、等线段）构造全等（SAS、AAS、HL）或相似（两角对应相等），求解边长、角度或证明线段相等。
内心与外心：内心是角平分线交点，到三边距离相等；外心是垂直平分线交点，到三个顶点距离相等（即外接圆半径），可结合角平分线、垂直平分线性质解题。
直径相关：遇直径优先构造直角三角形，利用直角三角形边角关系（勾股定理、三角函数）计算。
4.面积计算：扇形+规则图形组合
扇形面积：S=（nπr²）/360（n为圆心角度数，r为半径），关键是准确求圆心角（利用圆周角定理、弧的关系推导）。
阴影部分面积：常用“整体减部分” “分割求和”，将不规则图形转化为扇形、三角形、矩形等规则图形的面积差或和。
5.辅助线作法：搭建解题桥梁
必连辅助线：连接半径、直径、弦心距、切点与圆心；
构造辅助线：遇切线作半径（垂直）、遇直径作直角、遇等弧作弦或圆周角、遇角平分线作垂线（内心性质）。
6.存在性问题：分类讨论+方程思想
相似三角形：明确已知三角形的边角特征，按对应顶点不同分类列比例式，结合圆的性质求参数。
特殊四边形：利用“对边平行、对角线平分、邻边相等”等性质，结合坐标法（若有坐标系）或几何定理列方程，验证是否符合圆的约束条件。
常见易错点提醒
1.切线判定遗漏条件：仅证明“垂直”未连接半径，或仅连接半径未证明垂直，导致判定不成立。
2.圆周角定理误用：混淆“同弧所对的圆周角”与“不同弧所对的圆周角”，或忽略“直径所对的圆周角为直角”的前提是“直径是弦所在的直线”。
3.圆心角计算错误：未通过弧的关系（等弧、弧的和差）推导圆心角，直接用圆周角代替或计算时角度换算失误。
4.忽略双解情况：圆的对称性导致多解（如弦可能在圆心上方或下方、切线可能有两条），未分类讨论导致漏解。
5.面积计算失误：扇形面积公式中误用圆周角代替圆心角，或分割阴影部分时漏算、重复计算规则图形面积。
6.辅助线作法不当：未连接关键辅助线（如遇切线未连半径），或过度作辅助线导致图形复杂，无法转化条件。
7.内心与外心混淆：误将内心到顶点的距离当作半径，或外心到边的距离当作半径，混淆两者性质。
8.相似三角形对应关系混乱：未明确对应顶点，直接套用比例式，导致边长、角度计算错误。
1．如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD=∠CAB．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接OD，若∠CAB=30°，AB=4，求扇形OBD的面积．
2．如图，∠MPN=30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F．
(1)求证：CD=PA；
(2)若PA=4，求EF的长．
3．如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC=90°，分别交EF、AB于点C、D，若CB=CD．
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为3，tan∠OAD=13，求BC的长．
4．如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．
(1)求证：
①△APO≌△BPO．
②PO∥AC．
(2)AC=2，OC=5，求OP的长．
5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, ∠DOE=120°，∠EOF=150°．
(1)求△ABC的三个内角的大小；
(2)设⊙O的直径为d，证明：d=AB+AC-BC．
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长DC交AB的延长线于点E．
(1)求证：AC平分∠DAE；
(2)若tanE=512，CE=12，求⊙O的半径和CD的长．
7．如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙O，分别交AC，AB于点D，E，连接DO并延长，交⊙O于点F，过点F作⊙O的切线，交CB的延长线于点G．
(1)求证：DF∥AB；
(2)若cs∠FOG=23,BG=2，求AC的长．
8．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若BE=1，BF=3，求sinC的值．
9．如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG．
(1)证明：四边形BGEH为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AD=10，csB=35，求FD的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，AD=DC=CB，DF⊥BC于点F，延长FD交BA的延长线于点E，连接BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
12．如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE．
(1)设∠ABC=α，则∠EAC= ；（用含α的式子表示）
(2)求证：AE=DE；
(3)若DE=2,BD=1，求EF的长．
13．如图，点A，C在⊙O上，连接AO，CO并延长，分别与⊙O的切线相交于点B，点D，切点为E，CD与⊙O交于点F，连接AE,AF,AD⊥BD，垂足为点D,DE=3,DF=1．
(1)求证：AE平分∠BAD；
(2)设AB=kOB(k>0)，求k的值；
(3)求cs∠EAF的值．
参考答案
1．(1)见解析
(2)23π
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，再由∠CBD=∠CAB即可证明BC⊥OB，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A=60°，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，即BC⊥OB，
∵OB为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，
∵∠A=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴扇形OBD的面积=60π×22360=23π．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)EF=21
【分析】（1）连接BD,OA，根据含30度角的直角三角形的性质得BD=12BC=OA，然后根据AAS证明△CBD≌△POA即可解决问题；
（2）过点O作OH⊥CE于点H，先求出EH=OA=433，证明△COH∽△CPE求出OH=2，求出CH=33OH=233，从而CE=EH+CH=23，证明△COF∽△POE求出CF=3，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接BD,OA，
∵⊙O与PN相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠OAP=∠BDC=90°
∵CD∥PN，
∴∠MPN=∠BCD=30°，
∴BD=12BC=OA，
∴△CBD≌△POAAAS，
∴CD=PA；
（2）解：如上图，过点O作OH⊥CE于点H，
∵CE⊥PN,OA⊥PA，
∴∠OHE=∠HEA=∠OAE=90°，
∴四边形OAEH是矩形，
∴OA=HE,OH=AE,OH∥AE，
∵∠MPN=30°,PA=4，
∴OA=tan30°⋅PA=33PA=433，
∴EH=OA=433，
∵∠P=30°,OA⊥PA，
∴PO=2OA，
∵OA=OC，
∴CP=OC+PO=3OC，
∵OH∥AE，
∴△COH∽△CPE，
∴OHPE=OCCP=13，
∴OH4+OH=13，
∴OH=2，
∵OH∥AE
∴∠COH=∠MPN=30°，
∴同上可得：CH=33OH=233，
∴CE=EH+CH=23，
∵CD∥PN，
∴△COF∽△POE，
∴CFPE=OCOP=OC2OA=12，
∴CF4+2=12，
∴CF=3，
∵CD∥PN,CE⊥PN，
∴CE⊥CF
∴EF=CE2+CF2=12+9=21．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，以及勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键．
3．(1)EF与⊙O相切，理由见解析
(2)BC=4
【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接OB，根据等边对等角可得∠CDB=∠CBD，∠OAD=∠OBD，进而根据∠AOC=90°，得出∠CBD+∠OBD=∠CBO=90°，即可得出结论；
（2）根据已知可得OD=1，进而设BC=CD=x，CO=CD+DO=x+1，在Rt△BOC中，CO2=CB2+OB2，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：EF与⊙O相切；
理由如下：如图，连接OB，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵∠AOC=90°，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
又∵∠ADO=∠CDB，
∴∠ADO=∠CDB=∠CBD，
∴∠CBD+∠OAD=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAD=∠OBD，
∴∠CBD+∠OBD=∠CBO=90°，即OB⊥BC，
∵OB为半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如（1）图，∠CBO=90°，
∵⊙O的半径为3，
∴OA=OB=3
∵∠AOC=90°，tan∠OAD=13，
∴tan∠OAD=DOAO=13，
∴OD=1，
设BC=CD=x，CO=CD+DO=x+1，
在Rt△BOC中，CO2=CB2+OB2，
∴x+12=32+x2
解得：x=4
∴BC=4．
4．(1)①见解析；②见解析
(2)5
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）根据切线长定理得出∠PAO=∠PBO=90°，结合AO=BO，PO=PO，即可证明．
（2）根据圆周角定理得出∠AOB=2∠C，由①可知：Rt△PAO≌Rt△PBO，得出∠AOP=∠BOP=12∠AOB，即可证明∠BOP=∠C，进而得到PO∥AC．
（3）连接AB．根据圆周角定理得出∠BAC=90°，证明△ACB∽△AOP，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）①证明：∵PA、PB是⊙O切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
又∵AO=BO，PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBOHL．
②证明：∵点C在⊙O上．
∴∠AOB=2∠C，
由①可知：Rt△PAO≌Rt△PBO，
∴∠AOP=∠BOP=12∠AOB，
∴∠BOP=∠C，
∴AC∥PO．
（2）解：连接AB．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵∠PAO=90°，∠AOP=∠C=∠BOP，
∴△ACB∽△AOP．
∴ACCB=AOOP，
∴225=5OP，
∴OP=5．
5．(1)∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°，∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°， ∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°，所以 ∠A=180°-∠B-∠C=90°．即可求出．
（2）由切线长定理得AD=AF，BD=BE,CF=CE，则BD+CF=BE+CE=BC，由AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC，得2AF=AB+AC-BC，由∠ODA=∠OFA=∠A=90°，得到四边形ADOF是矩形，则OD=AF，结合⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，得到d=2OD=2AF，即可求出．
此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识．
【详解】（1）解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,
∴AB⊥OD，BC⊥OE,CA⊥OF，
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠DOE=120°，∠EOF=150°，
∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°， ∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，
∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明：由切线长定理得AD=AF，BD=BE,CF=CE，
∴BD+CF=BE+CE=BC，
∵AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC，
∴2AF=AB+AC-BC，
∵∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OD=AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d=2OD=2AF，
∴d=AB+AC-BC．
6．(1)证明见解析
(2)⊙O的半径长为5，CD的长为6013
【分析】（1）连接OC，由等边对等角得到∠EAC=∠OCA，由切线的性质得CD⊥OC，而AD⊥CD，则AD∥OC，再由平行线的性质以及等量代换即可证明AC平分∠DAE．
（2）作OF⊥AD于点F，因为tanE=512，CE=12，所以OCCE=OC12=tanE=512，则OA=OC=5，求得EO=OC2+CE2=13△OAF∽△EOC，可证明，得FOCE=OAEO=513，求得FO=513CE=6013，则DC=FO=6013，即可求解半径和CD．
【详解】（1）证明：连接OC，则OC=OA，
∴∠EAC=∠OCA，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴AC平分∠DAE；
（2）解：作OF⊥AD于点F，∠AFO=∠OCE=90°，
∵tanE=512，CE=12，
∴ OCCE=OC12=tanE=512，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥CD，
∴EO=OC2+CE2=52+122=13，
∵AD∥OC，
∴∠OAF=∠EOC，
∴ △OAF∽△EOC，
∴ FOCE=OAEO=513，
∴FO=513CE=513×12=6013，
∵∠OFD=∠D=∠OCD=90°，
∴四边形OCDF是矩形，
∴DC=FO=6013，
∴⊙O的半径长为5，DC的长为6013．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)863
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行；
（2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出AC的长．
【详解】（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB．
∵OC=OD，
∴∠ACB=∠ODC，
∴∠A=∠ODC，
∴DF∥AB；
（2）解：如图，设⊙O的半径为r，连接CE，
∵FG切⊙O于点F，
∴∠OFG=90∘．
在Rt△OFG中，cs∠FOG=OFOG=rr+2=23，
解得r=4，
∴BC=8，
∵DF∥AB，
∴∠FOG=∠ABC．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=90°．
在Rt△CEB中，BE=BC⋅cs∠ABC=163，
∴CE=BC2-CE2=82-1632=853．
∵AB=BC=8，
∴AE=AB-BE=83．
在Rt△CEA中，AC=AE2+CE2=832+8532=863．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)33
【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．
（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，推出BD⊥AC，根据等腰三角形三线合一得AD=CD，根据三角形的中位线可得OD∥BC，所以得DF⊥OD，从而根据切线的判定可得结论；
（2）证明△FBE∽△FOD，求出OD=32，再证明△BDC∽△BED，求出BD=3，利用正弦的定义即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，
∴ BD⊥AC，
∵ AB=BC，
∴ AD=CD，即点D为AC中点，
∵ OA=OB，即点O为AB中点，
∴ OD∥BC，
∵ DF⊥BC，
∴ DF⊥OD，
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线．
（2）解：由（1）知OD∥BC，
∴ △FBE∽△FOD，
∴ODBE=OFBF，
∵BE=1，BF=3，OF=BF+OB=BF+OD，
∴OD1=OD+33，
∴OD=32，
∴AB=2OD=3，
∴BC=AB=3
∵∠C+∠DBC=∠DBE+∠BDE=90°，∠DBC=∠DBE，
∴∠C=∠BDE，
∵∠DBC=∠DBE，
∴ △BDC∽△BED，
∴BDBE=BCBD，即BD2=BE·BC=3，
∴BD=3（负值舍去），
∴sinC=BDBC=33．
9．(1)证明过程见解析
(2)16π3-83
【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键．
（1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据正六边形的概念，确定∠BAF的度数，进而确定∠BOF的度数和OB的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可．
【详解】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=EF=CD=AF=AB=DE，∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC，
又CH=FG，
∴△BCH≌△EFGSAS，
∴BH=EG，
∵CD=AF，CH=FG，
∴CD-CH=AF-FG，即DH=AG，
∴△DEH≌△ABGSAS，
∴EH=BG，
∴四边形BGEH是平行四边形；
（2）解：如图，连接OB，OA，OF，
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB=OA=OF，∠BAE=5-1×180°6=120°，
∴△AOB≌△AOFSSS，
∴∠OAB=∠OAE=12∠BAE=60°，
∴△OAB和△OAF都是等边三角形，
∴OB=OA=OF=AB=AF=4，∠AOB=∠AOF=60°，
∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，S△AOB=S△AOF=34AB2=43，
∴S扇形BOF=120×42×π360=16π3，
∴阴影部分的面积为S扇形BOF-S△AOB-S△AOF=16π3-43-43=16π3-83．
10．(1)证明见解析
(2)907
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由csB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD:AC:AD=3:4:5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
又∵OC=OD，
∴∠ADC=∠OCD，
又∵∠DCF=∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B=∠ADC，csB=35，
∴cs∠ADC=35，
在Rt△ACD中，cs∠ADC=35=CDAD，AD=10，
∴CD=AD⋅cs∠ADC=10×35=6，则AC=AD2-CD2=8，
∴ CDAC=34，
∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴ CDAC=FCFA=FDFC=34，
设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，
∵FC2=FD⋅FA，即(4x)2=3x(3x+10)，
解得x=307或x=0（舍去），
∴FD=3x=907．
11．(1)证明见解析
(2)32-π6
【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键．
（1）连接OC，OD，由AD=DC=CB得圆心角∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，进而得∠ABD=∠CBD=30°，由OB=OD得∠ODB=∠ABD=30°，由DF⊥BC得∠BDF=60°，可得∠ODF=∠BDF+∠ODB=90°，即可得OD⊥DF，又因OD是⊙O的半径即可证明；
（2）由OD⊥DF，结合∠AOD=60°得OE=2，由勾股定理可得DE=3，由S阴影=S△ODE-S扇形ODA即可得出．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，OD，
∵AB是⊙O的直径，AD=DC=CB，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABD=30°，
∵DF⊥BC，
∴∠F=90°，
∴∠BDF=90°-∠CBD=60°，
∴∠ODF=∠BDF+∠ODB=90°，
∴OD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥DF，
∴∠ODE=90°，
∴∠E=90°-∠AOD=30°，
∴OE=2OD=2，
∴DE=OE2-OD2=3，
∴S阴影=S△ODE-S扇形ODA=12×1×3-60×π×12360=32-π6．
12．(1)12α或α2
(2)见解析
(3)43
【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可；
（2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可；
（3）设EF=x，根据题意AE=DE=2,DF=DE-EF=2-x,BF=DF+BD=3-x，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可．
本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点D是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABC=α
∴∠ABE=∠CBE=12α，
∵∠EAC=∠CBE，
∴∠EAC=12α，
故答案为：12α．
（2）证明：连接AD，
∵点D是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠ADE=∠ABE+∠BAD，
∠EAC=∠CBE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
（3）解：设EF=x，根据题意AE=DE=2,BE=DE+BD=3，
∵∠EAF=∠CBF=∠EBA,∠AEF=∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EAEB=EFEA，
∵AE=2，BE=3，
∴23=EF2，
解得EF=43．
故EF的长为43．
13．(1)证明过程见解析
(2)k=74+1
(3)cs∠EAF=31010
【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键．
（1）连接OE，通过切线的性质得到OE⊥BD，从而推出OE∥AD，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可；
（2）连接OE，借助Rt△ODE，利用勾股定理求出OE（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出BE和OB，借助Rt△OBE，利用勾股定理求解即可；
（3）借助圆周角定理，推得∠DOE=2∠EAF，作∠DOE的平行线，借助△DOE，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OE，
由题意，得BD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BD，
又AD⊥BD，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠DAE，
∵OA和OE都是⊙O的半径，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠OAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：由（1），得OE⊥BD，
∵点F在⊙O上，
∴OF=OE，
∴OD=OF+DF=OE+1，
在Rt△OED中，OD2=OE2+DE2，即OE+12=OE2+32，
解得OE=4，
∴OA=4，
∴AB=OB+OA=OB+4=kOB，
∴OB=4k-1，
∵∠B=∠B，∠OEB=∠ADB=90°，
∴△OBE∽△ABD，
∴BEBD=OBAB，即BEBE+3=1k，
∴BE=3k-1，
在Rt△OBE中，OB2=BE2+OE2，即4k-12=3k-12+42，
设t=1k-1，则4t2=3t2+42，
解得t=477（负值已舍去），
∴1k-1=477，
∴k=74+1；
（3）解：由圆周角定理，得∠EOF=2∠EAF，
如图，过点O作OM平分∠EOF，交DE于点M，连接MF
由（2），得OE=OF，
∵OM平分∠EOF，
∴∠DOM=∠EOM=12∠DOE=∠EAF，
又OM=OM，
∴△OEM≌△OFMSAS，
∴EM=FM，∠OFM=∠OEM=90°，
∴DM=DE-EM=3-FM，
在Rt△DMF中，DM2=DF2+FM2，即3-FM2=12+FM2，
解得FM=43，
∴在Rt△OFM中，OM=OF2+FM2=4103，
∴cs∠DOM=OFOM=44103=31010，
∴cs∠EAF=cs∠DOM=31010．