五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)19：几何综合（教师版）

这是一份五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)19：几何综合（教师版），共6页。试卷主要包含了，过点作，交直线于点，理由见解析，，连接等内容，欢迎下载使用。
考情概览
考点1 几何综合
考点1 几何综合
1．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证；
（2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合
∴，，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2），
证明：如图，在上取一点，使得
∵
∴
∴，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
2．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点；
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出．
【详解】（1）证明：连接，

由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
5．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解．
【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，如图所示：
∴，
由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．
1．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段与的数量关系，并证明，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，
（1）根据题意补全图形即可；
（2）证明即可得到结论；
（3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论，
【详解】（1）解：补全图形如图．
（2）证明：在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）．证明如下：
如图，延长到点G，使，连接．
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴
在中，，F为的中点，
∴．
∴．
2．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，．
(1)如图1，用含有α的式子表示的度数；
(2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数，
（2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
∴是的中位线，平分．
∴，．
∴．
∵平分，，，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
在与中，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与的数量关系和位置关系．
（1）根据题意作图即可；
（2）延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，根据中位线定理可得，，，，可得、和都是等腰直角三角形，继而得到、和都是等腰直角三角形，证明，可得，，，从而得到，延长，，相交于点，证得，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，可得，．
（2）解：如图所示，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，，，
且，
和都是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，，
，，是的中点，
，，
，
，
、和都是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，，，
，
延长，，相交于点，
在中，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，
线段与的数量关系是，位置关系是．
4．（2025·北京平谷·一模）已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上．
(1)如图1，求与的数量关系；
(2)如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)图见解析，．理由见解析
【分析】（1）由旋转的性质求得，，再利用等边对等角求得，再根据，列式计算即可求解；
（2）先求得，，再证明是的平分线，再证明是等腰直角三角形，设，求得，根据线段垂直平分线的性质求得，据此求得．
【详解】（1）解：∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下：
如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
作于点，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即是的平分线，
∵，，
∴，即，
连接，作于点，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
5．（2025·北京·一模）如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于．
(1)求证：；
(2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①见解析 ②；证明见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键．
（1）根据题意， ，，由，得到即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则，
由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：①依题意补全图形，如图：

②与之间的数量关系是，
证明：延长到，使，连接，
，
，
又∵由（1）得，
，
∵以为圆心，长为半径作弧，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．（2025·北京石景山·一模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接．
(1)求的大小；
(2)连接，判断与的位置关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的定义即可解答；
（2）连接，连接，可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，再连接并延长交于点，证明即可解答．
【详解】（1）解：F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，
，，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，连接，
，D是的中点，
，
F是的中点，
，
点在以点为圆心，以为半径的圆上，如图，连接并延长交于点，
，
∵，
，
，
，，D是的中点，
，
，
，
，即．
7．（2025·北京朝阳·一模）在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）依题意补全图形即可；
（2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数；
（3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：设．
四边形是正方形，
，，
，
将线段沿直线翻折，得到线段，
，，
，
，
．
（3）解：，证明如下：
如图2，作，交的延长线于点H，连接．
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
将线段沿直线翻折，得到线段，
，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
8．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接．
(1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）；
(2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据要求画出图形，证明，再证明，即可得到结论；
（2）过点作于，连接DH，证明．则，，在以为圆心，BD为半径的圆上．得到．证明．得到．求出．即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示：
如图，∵射线绕点顺时针旋转得到射线，
∴
．
，于．
∴．
∵于，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）线段和的数量关系为．
证明：过点作于，连接，如图所示．
∵于，
∴．
∵，
∴．
∵由（1），，
∴．
，，在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
9．（2025·北京丰台·一模）如图，在中，，为延长线上一点，过点作射线为射线上一点（不与点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)连接，作，交射线于点．连接交于点，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质求得，，证明，求得，再根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）先求得，作交于点，证明，，再证明是的中位线，据此即可得到．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
10．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设．
(1)如图，当时．
①求的大小（用含的式子表示）；
②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(2)当时，请直接写出线段之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解；
（2）利用②的方法来求解．
【详解】（1）解：①连接，，如下图
为边上一点，点与点关于直线对称，
，，，
．
在中，，
，，
．
，
，
，
．
②
证明：过点作交于,
∴.
∵
∴,
．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上，
∴，
，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
．
（2）
证明：同②的方法．
【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键．
11．（2025·北京通州·一模）以为斜边在它的同侧分别作和，其中，交于点．
(1)如图1，当平分时，求证：；
(2)如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点．
①依据题意补全图形；
②求证：是的中点．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质得到，由得到，即可证明结论；
（2）①按照题意补全图形；②连接、．证明，得到，由及得到，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点作于点，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）①依据题意补全图形；
②证明：如图3，连接、．
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
是的中点．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键．
12．（2025·北京大兴·一模）已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接．
(1)求的大小（用含的式子表示）；
(2)用等式表示线段的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键．
（1）延长交的延长线于点P，根据平行线的性质得出，确定，再由各角之间的等量代换即可得出结果；
（2）过点A作且，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， ，确定，继续利用全等三角形的判定和性质证明，结合图形利用勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）解：延长交的延长线于点P，如图所示：
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴；
（2）过点A作且，连接，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
由（1）得，
∴，
∵将射线绕点A逆时针旋转得到射线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
13．（2025·北京房山·二模）在和中，，连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______；
(2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)成立；证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）延长交于点，过点作，连接，则，进而根据等腰直角三角形的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得证；
（2）延长到，使得，证明，进而证明，得出，根据，即可得证．
【详解】（1），理由如下
如图，延长交于点，过点作，连接，则，
∵在和中，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵是的中点，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图，延长到，使得．
是的中点，
，
又，
．
，．
．
，
．
，
，
．
即．
又，
．
．
，
．
14．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点．
(1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
(2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，图形和证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）连接．由旋转的性质可得．可证明垂直平分，得到．则，证明，则．即可证明．
（2）作于点．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明．
【详解】（1）解：，证明如下：
如图所示，连接．
由题意可知，．
，
∴垂直平分，
．
．
，
∴，
∴，
．
．
（2）解：．证明如下：
如图，作于点．
由题意可知，．
．
，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
．
15．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
(1)求的度数；
(2)用等式表示，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）利用证明，即可求得；
（2）过点作交于点，求得，再证明，求得，在和中，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：，
．
即，
又，
，
；
（2）解：用等式表示线段，，的数量关系为：，
证明：过点作交于点，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
在中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
16．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数．
(2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解；
（）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证．
【详解】（1）解：在上取点，使得，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：．
证明：延长与交于点，连接，，，
∵，，是中点，
∴，，，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)详见解析
(2)，图见解析，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质是关键．
（1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）按照题意补全图形，证明，，．即可得到结论；
【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：补全图形如图所示．
线段与之间的数量关系：．
证明：在上取点，使得，连接．
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点为的中点，
∴．
设，，则，．
∴．
∴．
∴．
18．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，求证：；
(2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)的大小为，见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）延长至点G，使得，连接、，．证明，从而得到，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
【详解】（1）证明：由题意可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：的大小为．证明如下：
如图，延长至点G，使得，连接、，．
∵是中点，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴，
∵，，
∴在四边形中，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
19．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)连接，求的大小（用含的代数式表示）；
(2)过点作交的延长线于点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①见解析；②，证明见解析
【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论
【详解】（1）解：过点作于点H，
由旋转的性质得：，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①如图所示.
②，
证明：取中点P，连接，
∵，，
，
又，，
，
，
，
∴，
∴，
∴点中点，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．（2025·北京密云·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求的大小（用含的式子表示）；
(3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键；
（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）如图2，连接交于点，延长交于点，证明，得出，可得，、是等腰直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：补全图形，如图1，
（2）解：，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图2，连接交于点，延长交于点，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
、、是等腰直角三角形，
∴，，，
设，，
，，
，
．
21．（2025·北京海淀·二模）在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
(1)如图1，若点在线段上，求证：；
(2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接．
①依题意补全图2；
②直接写出的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②，理由见解析
【分析】（1）根据旋转得出，证明，根据等腰三角形判定得出，即可得出答案；
（2）①先作出对称点F，再连接即可；
②，连接，取的中点，连接，证明，得出，证明．得出四点在以点为圆心，为半径的圆上．根据圆内接四边形性质 ．根据，求出结果即可．
【详解】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
．
，
，
．
（2）解：①补全图形如图：
②．
证明：如图，连接，取的中点，连接．
点关于点的对称点为，
．
为的中点，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
．
四点在以点为圆心，为半径的圆上．
．
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．