五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)16：二次函数（教师版）

这是一份五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)16：二次函数（教师版），共48页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
考情概览
考点1 二次函数综合
考点1 二次函数综合
1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)0，
(2)①4；②且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，抛物线，
可得，
∴该抛物线解析式为，
将点代入，抛物线，
可得，解得；
（2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，，
当时，可有点，
如下图，
∵轴，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴；
②当点P从点O运动到点的过程中，
∵轴，，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴，
令，即，解得或，
若，可有，即点在轴右侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，
则，解得，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；
若，可有，即点在轴左侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，
则，解得，
∴．
综上所述，a的取值范围为且．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；
（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；
本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；
当时，和都在对称轴右侧，
此时y随x的增大而增大，
∵，
∴
如图，此时，
∴，
又∵，
∴；
当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
如图，此时，
解得，
又∵，
∴；
综上，当或，都有．
3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
【答案】(1)（0，2）；2
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴对称，
∴；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为；
（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：
①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；
②当时，
∵抛物线始终过定点，
∴此时抛物线的对称轴的范围为，
∵点在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，
∵，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若对于，，都有，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)m的取值范围是
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵对于，，都有，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴；
当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵对于，，都有，
∴，
解得，
∵，
∴这种情况不存在．
综上，m的取值范围是．
2．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）．
(1)当，时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标；
（2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围．
【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得，
∴ ，
∴顶点坐标为．
（2）∵，
∴，
将点，和分别代入表达式得，
，
，
，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
当时，
，
，
，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∴ 或
解不等式组①得：
解不等式组②得：无解．
∴
同法可求，当时，，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解．
3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．
（1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：抛物线对称轴为，
①若，
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
，
，
设点M关于对称轴的对称点为，
则，
，
，
（i）当时，有，
，
，符合题意；
（ii）当时，令，
，
，
，不符合题意；
（iii）当时，令，
，
，不符合题意；
②若，
则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
（i）当时，令，
，
，
，不符合题意；
（ii）当时，令，
，
，
，不符合题意；
（iii）当时，有，
，
，符合题意，
综上所述，a的取值范围是或．
4．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线为，
，
顶点为；
（2）解：抛物线，
点，，在抛物线上，
，，，
，
，即，
解可得或，
或，
，
或，
解，
，
，
，
，
，
，
则，
，
，
综上所述，或．
5．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可；
（2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为
（2）∵，所以分为两种情况，
①当时，对称轴为，开口向上，
∵,,
∴此时、都在对称轴的右侧，
又∵当时，y随x的增大而增大，
结合图象，若对于，，都有
则：，
∴
②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵,,
∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧,
又∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
结合图象，若对于，，都有．
∴
∴
∴
综上，a的取值范围是或．
6．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
(2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；
(3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)或或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键．
（1）利用二次函数的性质即可解答；
（2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可；
（3）表示出，再表示出，最后解不等式即可．
【详解】（1）解：对称轴为；
（2）解：令，，
解得，
二次函数与轴的交点为，
当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时，
解得；
当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时；
当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时，
解得；
综上所述，或或；
（3）解：对称轴为，
为顶点，
二次函数开口向上，
，
，
可得，
，
，
，
可得，
解得．
7．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．
(1)当时，求的值；
(2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)的取值范围是或．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答；
（2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线．
所以该抛物线的对称轴为，即．
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，且．
当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立；
①若，此时，
则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（ⅰ）当时，，成立．
（ⅱ）当时，
点关于对称轴的对称点为．
．
．
当时，成立．
（ⅲ）当时，不合题意，舍去．
②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
满足题意．
综上所述，的取值范围是或．
8．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点．
(1)当时，有，求的值；
(2)当时，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
（1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解．
（2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线
∵，
∴点关于直线对称.
∴，
∵；
（2）∵点是抛物线上的两个不同点．
∴，，
∵当时，都有
∴即在时恒成立，
当时，不等式化简为，
则，
解得，
∴，解得，
当时，不等式化简为，
解得或，
∴，解得，
∴，
综上可知，的取值范围是或．
9．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据对称轴公式进行计算即可；
（2）分和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，则：，
∴对称轴为直线；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为：，
当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，是抛物线上的两点，且对于，都有，
∴；
当时，抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴关于的对称点为：，
∵，是抛物线上的两点，且对于，都有，
∴，
∴，
综上：或．
10．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点．
(1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标；
(2)对于任意实数，若，都有，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可；
（2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
，有
该抛物线的顶点坐标为．
（2）抛物线的对称轴是直线，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
设点关于对称轴的对称点为，
抛物线的对称轴是直线，
．
点在对称轴右侧，且，
当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大，
．
，
．
当时，．
把代入函数表达式中，
，
．
11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）根据函数解析式确定对称轴即可；
（2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线．
（2）解：∵点，是抛物线上的两点，，
，
又 ∵，
，
当时，
又 ∵，
，
，
，
又 ∵，
，
；
当时，
又 ∵，
，
，
，
又 ∵，
∴；
综上所述，a的取值范围是或．
12．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
(1)当，时，求的值；
(2)当时，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
（1）当时，点的坐标为，根据抛物线上点的坐标特征得出，，根据题意求得，根据抛物线的性质即可求出；
（2）分为抛物线的对称轴在点的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，根据抛物线的对称性求出点关于对称的点为，结合抛物线的性质得出点在的左侧，即，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，结合抛物线的性质得出点在的左侧，点在的左侧，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；即可求解．
【详解】（1）解：当时，点的坐标为，
∵点，在抛物线上，
∴，．
又∵，
∴．
即，
∵抛物线的对称轴为，
故．
（2）解：分两种情况：
情况1：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，
点关于对称的点为，
根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上，
则；
∵，
∴抛物线开口向上，
故当时，随的增大而减小．
∵，
∴点在的左侧，
即，
∵时，都有成立，
∴，
解得；
又∵，
故的取值范围是；
情况2：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，
，
∴抛物线开口向上，
故当时，随的增大而减小，
∵，
∴点在的左侧，
即，
∵时，都有成立，
∴，
解得，
又∵，
故的取值范围是．
综上，的取值范围是．
13．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求该抛物线与轴交点坐标；
(2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）令，求得，则该抛物线与轴交点坐标为；
（2）根据题意得出且，求解即可．
【详解】（1）解：当时，则抛物线为．
令，则，
∴该抛物线与轴交点坐标为；
（2）解：∵抛物线，对于，，都有，
∴且，
则，即，，
解得：或；
，即，，
解得：或；
综上，或．
14．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．
(1)若对于，有，求抛物线的对称轴；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线；
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等．
（1）利用轴对称的性质求解即可；
（2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，有，
∴这两点关于轴对称，抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵，，又，
∴，
整理得，
∴或，
①若，即，
∵，
∴且，
∴且，
∴；
②若，
同理且，
∴且，
∴；
综上，或．
15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围
【答案】(1)
(2)或．
【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解；
（2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解；
【详解】（1）解：∵经过点，
∴，
整理得：，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）当时，抛物线开口向上．
点到对称轴的距离．
点到对称轴的距离．
∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大，
∴，同时
解不等式组
解得；
当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，
点到对称轴的距离．
点到对称轴的距离．
若，；
∵，
∴ ．
解得 ．
若，．
∴ ．
解得：，
∵，
∴不等式无解 ．
∴当时，的取值范围是；
综上，a的取值范围是或．
16．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解；
（2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可；
本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：将，，代入，得，
顶点的横坐标为，代入纵坐标为
∴顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为，
①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当有，
可得，
解得；
②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当有，
可得或，
，
解得；
综上，或；
17．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）；
(3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键；
（1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，当，抛物线开口向下，进而求得 关于对称轴的对称点为，根据当时，随的增大而减小，即可求解；
（3）分和两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线对称轴为直线，
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为
∵，抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
又∵
∴
故答案为：．
（3）①当时，抛物线过点，关于的对称点为
直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，
如图
∵B，
∴当时，由图象可知，抛物线与线段恒有一个公共点.
∴当时，抛物线与线段恒有一个公共点.
②当时，
∵点的横坐标为1，则，即
把代入 得
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴
解得：
综上所述，或时，抛物线与线段恰有一个公共点，
18．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先配方成顶点式，即可求解对称轴；
（2）分两种情况讨论，①；②，分别根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：
该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由题意，得．
．
，
．
①当时，
可得，．
又，
．
点总在点的右侧，且点都在对称轴右侧．
时，随增大而增大．
又，
．
当时，恒成立
②当时，
可得．
点在对称轴左侧．
设点关于对称轴的对称点为，
．
．
,
．
，
．
．
综上，或．
19．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．
(1)当时，求的值；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的取值范围是或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上的点等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）由题意可得点为，然后代入抛物线解析式得到关于a的方程求解即可；
（2）由二函数的性质可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．然后根据题意分情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：当时，点为．
点在抛物线上，
．解得．
（2）解：∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴为，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
对于：
①若，
，
．
（i）当时，有．
．
，不符合题意．
（ii）当时，取．
．
，不符合题意．
（iii）当时，有．取，则．
设点关于对称轴的对称点为，则．
．
，
．
．
，不符合题意．
（iv）当时，有．
设点关于对称轴的对称点为，
则．
．
，
．
．
，符合题意．
②若，则，必有，不符合题意．
③若，
，
．
，符合题意．
综上所述，的取值范围是或．
20．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可．
（2）根据，，都有，分和，解答即可．
【详解】（1）解：根据抛物线经过，
得到且，
故即，
故抛物线的对称轴为：直线．
（2）解：根据题意，得，，
∴
解得，
∴，
∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
当，且时，，即，
根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴中点在对称轴的右侧，
则即，
解得，无解；
当，且时，，即，
根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴中点在对称轴的左侧，
则即，
解得；
当，且时，，即，
则即，无解；
当，且时，，即，
则，无解，
综上所述，符合题意的范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键．
21．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合．
(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；
(2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)且且且
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．
（1）令，解方程即可得解；
（2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：令，即，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线．
由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，．
∵，，，四点中，任意两点不重合，
∴且且且．
∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
①当时，
∵，
∴．
∴．
由知，不符合题意．
②当时，点在对称轴的左侧．
点关于直线的对称点为．
∵，
∴．
∴且．
∴．
综上所述，的取值范围是且且且．
22．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∵在抛物线上，
∴，
令，则，
∴或，
∴当时，结合函数的图象可得或，
当时，结合函数的图象可得，
当时，结合函数的图象可得或，
∵，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
23．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解．
【详解】（1）解：当时，抛物线．
∴．
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为．
对于，，；
①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
∵，，
∴，．
设点关于对称轴的对称点为，
则，．
∴．
∴．
（Ⅰ）当时，有．
∵，
∴，
∴，不符合题意．
（Ⅱ）当时，有．
∵，，
∴．
∴，符合题意；
（Ⅲ）当时，令，则．
∴，不符合题意．
②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
∵，，
∴．
设点关于对称轴的对称点为，
则，．
∴．
（Ⅰ）当时，有，．
令，则，即．
∴，不符合题意．
（Ⅱ）当时，有，则．
若，有，则，符合题意；
若，
设点关于对称轴的对称点为，
则，．
∴．
∴，
∴．
∴，符合题意．
（Ⅲ）当时，有．
∴，不符合题意．
综上所述，的取值范围是或．
24．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)当时，求抛物线与轴交点的坐标；
(2)若对于任意的，总有，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）当时，抛物线为．令，解方程即可求出答案；
（2）分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线为．
令，则．
解得．
抛物线与轴交点的坐标为．
（2）由可知，抛物线的对称轴为，抛物线与轴交点的坐
标为．
．
①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（i）当时，令，则，不符合题意．
（ii）当时，则．
．
．
，
，符合题意．
（iii）当时，则．
．
由可知．
，符合题意．
（iiii）当时，．
令，则，不符合题意．
②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
，
．
．
，
，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
25．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线．
(1)当时，求的值；
(2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）把代入，求出，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解；
（2）先确定点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出点关于对称轴直线的对称点为：，可得，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，把代入，
则，
解得：，
∴抛物线为：，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
∴点关于对称轴直线的对称点为：，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧随增大而减小，
∴．
26．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，求的值；
(2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质；
（1）由抛物线为，得对称轴是直线，又，进而可得，故可得解；
（2）由（1）对称轴是直线，则，又，从而，又抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，从而，故可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，抛物线为，
对称轴是直线．
又，
．
（2）解：由（1）对称轴是直线，
．
又，
．
抛物线开口向上，
抛物线上点离对称轴越近函数值越小．
点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，
，，．
，
，．
．
．
27．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
(2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；
(3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)或或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键．
（1）利用二次函数的性质即可解答；
（2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可；
（3）表示出，再表示出，最后解不等式即可．
【详解】（1）解：对称轴为；
（2）解：令，，
解得，
二次函数与轴的交点为，
当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时，
解得；
当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时；
当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时，
解得；
综上所述，或或；
（3）解：对称轴为，
为顶点，
二次函数开口向上，
，
，
可得，
，
，
，
可得，
解得．