高中数学三角函数的概念教案及反思

这是一份高中数学三角函数的概念教案及反思，共20页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
5.2.1三角函数的概念（第一课时）
教学目标
1. 了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系。
2. 经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养。
教学重点：
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。
教学难点：
理解三角函数的对应关系，影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解，对符号sin，cs和tan的认识。
教学过程
Ⅰ、复习旧知
（1）在客观世界中存在大量运动，变化都遵循循环往复，周而复始的规律，这种变化规律就是周期现象，比如日出日落，钟摆运动等，圆周运动就是这类现象的代表。
我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。例如，直线运动可以用一次函数描述，抛物运动用二次函数，指数爆炸用指数函数，对数增长用对数函数来刻画，那么，圆周运动用什么来刻画呢？
研究函数的一般路径是什么呢？
【设计意图】用数学的观点，函数的角度看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的重要性，以现实现象为背景，通过信息技术，帮助学生更好的理解周而复始。让学生感受进一步定义新函数的必要性。
（2）高中函数的概念是什么？
【设计意图】复习高中函数概念，以此作为依据，为后面理解任意角的三角函数概念做铺垫。
Ⅱ、情境引入、提出问题
摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？我们可以将转动的摩天轮抽象成一个圆，将座舱抽象成圆上的点，从而把实际问题转换成数学问题：随着角AOB的变化，动点P在半径为R的圆上做圆周运动，那么如何从函数角度刻画点P的变化呢？
【设计意图】通过学生熟悉的生活情境，激发学生学习的兴趣,圆周运动是研究周期现象的变化规律的理想载体，通过以上几个问题，寻找三角函数的两个变量。
Ⅲ、构建模型、寻找函数
（一）引进圆周运动、坐标系、单位圆
以上情境, 我们不妨把问题转化化为,
圆 O 上的动点 P 从点 A 出发, 按照逆时针方向做匀速圆周运动.
为了简单起见，我们先研究单位圆上点P的运动情况
【设计意图】引入单位圆，方便研究。
问题简化为, 单位圆 O 上的动点 P 从点 A 出发, 按照逆时针方向做匀速圆周运动.构建一个函数模型，刻画点P的位置变化情况。
问题1：要确定点P的位置，可用什么量来刻画？需要什么工具？
【设计意图】引出直角坐标系，体现数形结合思想。
问题2：直角坐标系放在什么位置合适？
【设计意图】平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键。
（二）寻找变量，构建函数
在整个旋转过程中，观察发现角在变，点P的坐标也在变
问题3，对于给定的角，单位圆与终边的交点P是唯一确定的吗？
【设计意图】通过学生的积极参与与知识的“发现”与“形成”过程，让学生探索、挖掘点P的位置变化与以射线OP为终边的角α之间的对应关系。
当 α=π6 时，点P的坐标是什么？当α=π2 或α=2π3 时，点P的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？
问题4：通过信息技术，任意给定一个角α，观察它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，你有什么发现？
【设计意图】以函数的对应关系为指向，从特殊到一般,使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为后面生成三角函数的概念作准备.
问题5：你认为点 P 的坐标 (x, y) 是角 α 的函数吗? 如果是, 你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗? 如果不是，那谁才是角 α 的函数呢？（学生讨论）
【设计意图】对照函数概念，抓住函数概念的本质，发现点P构成的是点集，不符合函数要求，一步步引导学生发现，点P的横坐标，纵坐标是的函数，从而引出正弦函数和余弦函数概念
Ⅳ、生成概念，深化理解
设角它的终边OP与单位圆相交于点。
（1）把点P的纵坐标
把点P的横坐标
问题6：在这个变化过程中，你还能发现其他的函数吗？
【设计意图】引导学生发散性思维，只要是关于的代数式都可以是的函数，比如，等，说明正余弦函数只是其中的两种，引出正切函数
把点P的纵坐标与横坐标的比值 是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数

问题7：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？与以往学习的函数定义有什么不同？
（2）三角函数的三要素分别是什么？
【设计意图】在问题引导下，使学生明确三角函数的“三要素”。
正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
通常将它们记为：正弦函数 y=sinx ,x∈R;
余弦函数 y=csx ,x∈R;
正切函数 y=tanx x≠π2+kπ(k∈Z);
符号sin，cs和tan分别表示什么？如何理解符号sin，cs和tan?在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
【设计意图】引导学生理解三角函数符号的意义。
问题8：初中我们已经学了锐角三角函数，今天我们又学习了任意角的三角函数，那么，它们有什么区别和联系呢，二者有矛盾吗？，
【设计意图】建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的区别与联系。
Ⅴ、例题讲解，加深对概念的理解
例1、 求的正弦、余弦和正切值．
【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵。
例2、如右图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：sin α=，cs α=，tan α=．
思考：例2实际上提供了另外一种求任意角三角函数值的方法，．你能用自己的语言叙述吗？
【设计意图】 该题“实际上是坐标比”，通过这道题的解答，使学生认识到，只要知道角终边上的任意一点（除了原点），就可以得出相应的三角函数值，它实际是任意三角函数定义的推广。
Ⅵ、课堂小结
三角函数再日常的生活中应用广泛
【设计意图】使学生感受到三角函数是有用的数学，激发学生的学习热情
（2）回顾三角函数的研究思路
Ⅵ、作业布置
必做：《教材》179页练习1-4，
选做：收集并整理关于三角函数发展史的有关资料