广东省东莞市2026届高三下学期第一次模拟考试 数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市2026届高三下学期第一次模拟考试 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10的25%分位数为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
4．设且,，下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．且B．或
C．且D．或
5．已知与 互相垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
8．已知函数满足，若函数与 图象的所有交点为，则 （ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
9．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为B．虚半轴长为4
C．离心率为2D．渐近线方程为
10．如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（ ）
A．B．
C．D．
11．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件A₁，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知等比数列的前项和为，则 ___
13．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____.
14．已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________.
四、解答题
15．一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为.
(1)求的概率;
(2)求Y的分布列与数学期望.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列.
(1)若，，求的面积.
(2)求证:.
17．如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， ，点分别为棱的中点.
(1)证明: ；
(2)若 ，三棱锥的体积为 时，求平面与平面所成角的余弦值.
18．已知函数
(1)判断是否为周期函数，并说明理由；
(2)求的最大值和最小值；
(3)设证明：
19．对于抛物线过原点作斜率为的直线，交抛物线于另一点.作关于轴的对称点过点作的平行直线，交抛物线C于另一点.作 关于轴对称点以此类推构造点记的坐标为
(1)若，求点的坐标；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求的面积的最大值.
参考答案
1．B
【详解】已知，则，
解得，
集合，
已知，
．
2．C
【详解】由题意，，
所以，复数对应的点为，即为第三象限的点.
故选：C.
3．D
【详解】由题意得样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10，则，，
又不是整数，故取数据的第2个数据为.
故样本数据的25%分位数为.
4．A
【详解】若，函数单调递增，，可得，
所以且时，,A正确；
对于B，若，，所以B错误；
对于C，若，，所以C错误；
对于D，若时,函数单调递减，
所以,所以D错误.
5．C
【详解】由题意得，因为与垂直，所以，
即，所以，所以与的夹角为.
6．D
【详解】由在上单调递减，而在上单调递增，
所以在上单调递减，
想要函数 在上单调递减，
即要在上单调递减，且，
即，解得，
所以的取值范围是．
故选：D
7．A
【详解】
圆的标准方程为，则圆心，半径，
在线段的垂直平分线上，
，
在线段上，且是圆的半径，
，
定点间的距离为，
，满足椭圆的定义，
N点的轨迹为椭圆．
8．B
【详解】因为，所以，
则关于对称，而设，
而，
则关于对称，可得两个函数的交点也关于对称，
得到，即，故B正确.
9．ACD
【详解】A选项，由题意得，
又，由双曲线定义可知，故，
顶点坐标为，A正确；
B选项，中，令得，
故，又，解得，，
故虚轴长为，B错误；
C选项，，所以，离心率为，C正确；
D选项，渐近线方程为，D正确.
10．BD
【详解】设正方体的棱长为，
对于A，如图建立空间直角坐标系：
则，
所以，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
所以，所以MN与平面ABC不平行，故A错误；
对于B，如图连接交于点，连接，
根据正方形的性质可知是的中点
又是的中点，所以，又平面，平面，
所以平面ABC，故B正确；
对于C，如图建立空间直角坐标系：
，
则，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
所以，所以MN与平面ABC不平行，故C错误；
对于D，如图建立空间直角坐标系：
则，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
所以，又平面，
所以平面ABC，故D正确.
11．ACD
【详解】对于A，表示在第1次投篮的人是乙的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率，
因为乙投篮未命中则换甲投篮，乙每次命中率均为，所以乙未命中的概率为，
所以，故A正确；
对于B，表示在第1次投篮的人是甲的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率，
因为甲每次命中率均为，所以，
，故B错误；
对于C，表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率，有三种情况：
第一种情况是第一次甲投篮未中，第二次乙投篮命中，其概率为；
第二种情况是第一次乙投篮命中，第二次乙投篮未命中，其概率为；
第三种情况是第一次乙投篮未命中，第二次甲投篮未命中，
其概率为；
所以，故C正确；
对于D，的可能取值为，
，由C选项可知，
，，
所以，故D正确.
12．
【详解】等比数列通项公式为，已知，代入得：，解得公比，
等比数列前项和公式为，代入得：.
13．
【分析】将点的距离转化为平行线间距离，结合导数的几何意义求出参数得到，最后利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】设与直线平行并与相切的直线为，
则两平行线间的距离即为的最小值，
因为，所以，设切点为，
则，解得，此时，则切点为，
代入中，可得，解得，
则直线方程为，而可化为，
由平行线间距离公式得平行线间距离为.
14．
【详解】，，，，，
，，，，，
，，，，，，，，，，
，
，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，共个元素.
15．(1)
(2)分布列
【详解】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次，
因此,根据二项分布概率公式： .
（2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为，
概率公式为：.
，，，.
的分布列为：
数学期望： .
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，将，代入可得，
则，
因为，所以，
所以的面积为；
（2）由余弦定理及可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
则，
所以，
即，
化简可得.
17．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）已知 ，是 中点，所以，
又 分别为 中点，故 是 的中位线，得 ，
由 ，知 ，因此 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故 ，得证；
（2）
由（1），以 为原点， 为 轴， 为 轴，过作平面 的垂线为轴，
又，可得： ，，，，，
由 ，，设，
，
三棱锥体积 ，
解得 ，即 ，
因为平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
在平面 中，，
设其法向量为，
则
令，得，
即，
设平面与平面所成角为，
则，
即平面与平面所成角余弦值是.
18．(1)是周期函数，利用周期函数定义判断；
(2)最大值为​​​，最小值为；
(3)证明见解析.
【详解】（1）是周期函数，
理由如下： 由三角函数周期性知：，，
因此： ，
即是的一个周期，故是周期函数；
（2）由（1）可知求在上的最值即可.
对求导得： ，
令，得​或，
在一个周期内，当时，，
当时，，当时，，
故在，单调递增，在单调递减，
又，，
，，
所以的最大值为​​​，最小值为；
（3）记，
由（2）知对任意实数，都有，
对，令，得： ，​​
将上述个不等式累加，左边整理得：
右边为​​，
因此：，
整理得：，
由，，得，
因此：，得证.
19．(1)
(2)证明见详解
(3)的面积的最大值为
【详解】（1）由题意如图所示：
若，则直线的斜率为，抛物线方程为：，
又直线过原点，所以直线的方程为：，
联立，消去得：，解得：或，
当时，，此时该点为坐标原点，
当时，，即.
（2）证明：由题意如图所示：
由直线的方程为：代入中化简得：，
解得：或，
当时，，此时该点为坐标原点，
当时，，即，
由题意知直线与直线平行，所以直线的斜率为，
由点关于轴对称后得点，
且在直线上，所以直线的方程为：，
又点在直线上，所以，①
又点也在抛物线上，
所以，代入①得：
所以，
因为，所以，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
（3）由题意如图所示：
由题意可知：，
且，，
则直线的斜率为：
，
所以直线的方程为：，
即，
所以点到直线的距离为：
将代入上式可得：
由（2）得：，
所以，
又
，
所以的面积为：,
设，则，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
0
1
2
3
0
1
2
3