四川省德阳市2026届高三下学期3月第二次诊断考试 数学试卷（含解析）

这是一份四川省德阳市2026届高三下学期3月第二次诊断考试 数学试卷（含解析），文件包含2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用教师版docx、2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共167页， 欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
2．本试卷满分150分，120分钟完卷．
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
3. 已知向量，，若“”，则x＝（ ）
A. 0或B. 0C. D.
【答案】A
4. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则m＋n＝（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】A
5 若，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则向量与的夹角为钝角
B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若为的外心，，则为的垂心
【答案】BCD
10. 设函数，且记，则（ ）
A. 数列的首项为1B. 数列的前10项和为512
C. 数列的前10项和为D. 数列的前10项和为0
【答案】BD
11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______
【答案】2
13. 已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______
【答案】
14. 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝______（用含有的式子表示）．
【答案】
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝4时，求△ABC面积的最大值．
解（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
16. 如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形.
（1）求证:平面 平面
（2）若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离.
解（1）因为，为中点，
所以，，即，
因为是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以，
又，平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，又，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍），，
所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为.
17. 东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．
（1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；
（2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．
①求，；
②求．
解（1）由题意可知：，
则，；
；；
则X的分布列为
所以X的均值，且方差.
（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，
若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；
若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，
所以；
②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，
则，可得，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
当时，则
，
且符合上式，所以.
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解（1）由椭圆的左右顶点可知，
设，则，
化简可得，则，
，
所以，则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，
，将直线和椭圆方程联立，
代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
所以，
令则，所以，
函数在上单调递增，
所以即时，，
此时的面积最大，最大值为；
（3）假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，
所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，
解得，故存在，使得.
19. 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点．
（1）当时，求；
（2）若
证明：（i）数列是等比数列；
（ii）若，则对一切恒成立．
解（1）当时，，
令，则，解得，
因为为的从小到大的第（）个零点，所以；
（2）（i），
所以，，
由于的周期为，相邻两个零点间的距离为，所以，
所以，
又，所以数列是等比数列；
（ii）由（i）可知，所以，
要证，即证，
因为是的第一零点，且（其中），
所以，
所以，
所以只需证，
因为，则，令，则，
要证，
因为是增函数，且，所以，
又因为，所以，
而，当时，成立，
当时，需证，
令，需证，
令，求导得：，
由和可得，
因此，因为，所以，
即，故，所以在上单调递增，且，
由可得，又，所以，
所以又在上单调递增，
所以，
所以对一切恒成立．X
0
1
2
3
P