江西省南昌市2026届高三下学期3月第一次模拟测试 数学试卷（含解析）

这是一份江西省南昌市2026届高三下学期3月第一次模拟测试 数学试卷（含解析），文件包含2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用教师版docx、2026高考数学专题复习之历年真题分类汇编_专题五一元函数的导数及其应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共167页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. D. 5
【答案】C
3. 若，则所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. 某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6. 已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】C
7. 已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
10. 在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 平面B. 平面平面
C. D. 平面
【答案】BC
11. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，的系数是________.
【答案】80
13. 已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.
【答案】##
14. 已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若的面积为2，求和.
解（1）由正弦定理可得，因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又所以，.
所以，即，所以，
所以，解得，
所以.
因此，.
16. 近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表：
（1）从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由；
（2）利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
附：公式，独立性检验临界值表：
解（1）在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为，
用频率估计概率，得，
在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为，
用频率估计概率，得，
使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异.
因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.
（2）由题意，，，，，
则，
由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
17. 已知等比数列的公比为整数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解（1）由题意，，
两式相除可得，即，解得，
故，所以；
（2）因，
则①
所以②
则②①得：
所以.
18. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：
（3）当时，设，且满足，求证：.
解（1），
由，
当时，，即在为增函数；
当时，，即在为减函数.
所以的递增区间为，递减区间为；
（2）由，解得，
又因为，则，
所以切线方程为，
设，则，
令，解得，
当时，，当时，，
可知在为增函数，在为减函数，
故，所以；
（3）由（1）可知，
①若，则，
不符合题意；
所以，
②若，则，
③若，，又因为在为减函数，
所以，所以，
综上所述，
又因为，由，
所以，
即，即，
设，
所以，
方法一：设，所以，
因为在为单调递增，
当时，，，，
所以存在，使得，即，
又因为，，即在为减函数；
又因为，，即在为增函数；
所以，
又因为，则有，
又因为，
，
所以，即在为增函数，
又因为，所以，即.
方法二：
设，因为在单调递增，
又因为所以
所以，即在为增函数，
又因为，所以，即.
19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于.
（1）求四棱锥体积的最小值；
（2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.
（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；
（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.
解（1）设点到平面和直线的距离分别为，，
因为点在平面内，且平面与平面的夹角为，
因此，得，
所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线，
当点在抛物线的顶点处时，最小，
最小值为，此时，
所以四棱锥体积的最小值为；
（2）设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则，
（i）平面与平面的交线为，
因此，是直线与抛物线的交点，如图2，
在平面中，可以设：，
与抛物线方程联立，得：，
因此，；
（ii）如图3，在平面中，点在点上方，且，
得到点坐标为，因为，与平面所成角相等，
所以，与所成角相等，
因此，，的斜率互为相反数，
设，，则，
得，
因此，，
因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为，
又，
设平面的法向量，
由，由，
令，则，
又平面的法向量，，
所以平面与平面的夹角为定值，其余弦值为.使用手机时间
近视
不近视
总计
少于1小时
40
60
100
1小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828