贵州省黔东南州九年级上学期期末文化水平测试数学试卷（解析版）

这是一份贵州省黔东南州九年级上学期期末文化水平测试数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了不能使用计算器．， 一元二次方程的解是， 如图，点在上，若，则的度数是等内容，欢迎下载使用。
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1.本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟．
2.一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3.不能使用计算器．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C.不中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C. 任意一个三角形，其内角和是
D. 某射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断．
【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件，本选项不符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，属于随机事件，本选项不符合题意；
C、任意一个三角形，其内角和是，属于必然事件，本选项符合题意；
D、某射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，本选项不符合题意；
故选：C．
3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是，
故选：B．
4. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得，．
故选：C．
5. 10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式的应用．掌握概率为所求情况数与总情况数之比是解题的关键．直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵10件外观相同的产品中有1件不合格，
∴现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：．
故选B．
6. 如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的关键．
观察图形可得，所对的圆周角是，所对的圆心角是，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
故选：C．
7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. a>0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数的性质结合函数图象分析即可求解．抛物线开口向下，即可判断A选项；抛物线与y轴交于正半轴，即可判断B选项；抛物线与x轴有2个交点，即可判断C选项；当时，，即可判断D选项．
【详解】A、二次函数的图象开口向下，∴，∴选项不正确；
B、二次函数的图象交y轴于正半轴，∴，∴选项不正确；
C、二次函数的图象与x轴有两个交点，∴ ，∴选项不正确；
D、当时，，∴选项正确．
故选：D．
8. 如图，把五角星图案绕它的中心O旋转，若旋转后的五角星能与原来的五角星图案重合，则至少旋转（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为．
故选：C．
9. 一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（ ）
A. 2B. 3C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
则有，
解得：，
故选：A．
10. 如图，等边三角形内接于，点P是上一点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质及等边三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．首先根据等边三角形的性质计算出，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故选：C．
11. 如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为90°，，，三点在同一直线上时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，即可得出答案．
【详解】由旋转可知，，
∴．
故选：C．
12. 抛物线 （a，b，c为常数，） 经过点两点，若关于x的一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将方程的根的问题转化为抛物线与直线的交点问题是解题的关键．由抛物线经过点得到对称轴为直线：，接着根据二次函数的性质得到时，，从而得到抛物线与直线的交点的横坐标只能为0和4或1和3或2，即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴对称轴为直线：，
∵关于x的一元二次方程（t为常数，）的根为整数，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为整数，
∴抛物线与直线的交点的横坐标只能为0和4或2或1和3，
∴t的值有3个，
故选：B．
二、填空题：（每个小题4分，4个小题共16分）
13. 点关于原点对称的点的坐标为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标均互为相反数进行求解.
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为.
故答案为.
【点睛】本题考查了坐标系中点的对称性，难度不大，熟知一个点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特征是解题的关键.
14. 二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数图象在x轴上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为，则由函数图象可知，当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或．
15. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是__________（精确到） ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键；
本题根据频率估计概率的方法结合表格数据即可得答案；
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，
故答案为：；
16. 如图，等边的边长为2，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，交点为P，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证和全等得，由此得，过点作于，过点作交的延长线于点，连接，根据等边三角形的性质得，，，以点为圆心，以为半径作，在优弧弧上取一点，连接，，连接，，则，由此得，从而得点始终在劣弧上运动，则，根据“两点之间线段最短”可得的最小值．
【详解】解：为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作交的延长线于点，连接，如图1所示：
为等边三角形，
是的垂直平分线，，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
以点为圆心，以为半径作，在优弧上取一点，连接，，连接，，如图2所示：
则，
，
，
点始终在劣弧AB上运动，
则，
根据“两点之间线段最短”得：，
，
，当点O、P、C共线时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点在劣弧上运动是解决问题的难点．
三、解答题：（9个小题，共98分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
18. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________；
（2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）设“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏"分别用字母、、表示，然后画出树状图即可求解．
【小问1详解】
解：九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：用A、B、C依次表示这三个节目，
根据题意画图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中一班、二班同学表演不同节目的有6种，则一班、二班同学表演不同节目的概率是．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
19. 如图， 在正方形中，E为边上点， 连接，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，点B，E的对应点分别是D，F，连接．
（1）绕点C顺时针方向旋转到的位置，请直接写出旋转角的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键．
（1）先根据题意确定一组对应边，再结合正方形的性质即可解答；
（2）由旋转知、，再结合正方形的性质可得、，最后根据角的和差即可解答．
【小问1详解】
解：∵正方形，
∴
∵将绕点C顺时针方向旋转到的位置，点B，E的对应点分别是D，F，
∴的对应边为，
∴将绕点C顺时针方向旋转到的位置的旋转角为．
【小问2详解】
解：由旋转知：、，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴．
20. 受益于国家支持新能源汽车的发展，某地某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2021年利润为3亿元，2023年利润为亿元．
（1）求该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率；
（2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过6亿元？为什么？
【答案】（1）
（2）不能超过6亿元，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）设该企业从2021年到2023年利润平均增长率为x．根据题意得方程求解即可；
（2）根据该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率求得2024年的利润，然后比较即可．
【小问1详解】
解：设利润的年平均增长率为x，根据题意，得：
，解得：（不符合题意，舍去），．
答：利润的年平均增长率为20%．
【小问2详解】
解：该企业2024年利润不能超过6亿元，理由如下：
∵．
∴该企业2024年的利润不能超过6亿元．
21. 已知：二次函数的图象与y轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标；
（3）若点在二次函数图象上，且，试比较与的大小．
【答案】（1）
（2）对称轴为直线：；顶点坐标为：；
（3）①当时，；②当，且时，；③当，且时，；④当，且时，；⑤当时，．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配方成顶点式，即可求解；
（3）由于该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，分五种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线：；顶点坐标为：；
【小问3详解】
解：∵该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∴①当时，；
②当，且时，；
③当，且时，；
④当，且时，；
⑤当时，．
22. 已知：如图，在△ABC中，，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ODB，∠B=∠C，再判断，然后利用平行线分线段成比例得到BD=DC；
（2）利用三角形内角和计算出∠B=∠C=65°，则∠ODB=∠B=65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠A=50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．
【小问1详解】
证明：∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C，
∴， ∴，
∴BD=DC；
【小问2详解】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=，
∴∠ODB=∠B=65°，
∵∠EDC=∠A=50°，
∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDC=180°-65°-50°=65°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形的性质，也考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例．熟练运用圆的内接四边形的性质是解本题的关键.
23. 如图，内接于，，是的切线，与直径的延长线交于点P．
（1）度；
（2）求证：；
（3）若，求的直径；
【答案】（1）30 （2）见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，再由得出，即可求解；
（2）连接由切线的性质可得，得出，再由圆周角定理可得，再证明是等边三角形，可得，再证明，从而得出结论；
（2）由（2）知：，求得，再求出，可得，最后可得出的直径．
【小问1详解】
解：连接，
，
，
又，
，
故答案为：30
小问2详解】
证明：连接
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，圆的切线的性质、圆周角定理、等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24. 年冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，某超市将进货价为每个元的冰墩墩饰品以元的价格售出，平均每天能售出个，调查表明：这种冰墩墩饰品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少1个，同时规定售价不低于元但不高于元．设这种冰墩墩饰品的销售单价上涨x元，该超市每天的销售量为y个．
（1）用x的代数式表示涨价后销售每个这种饰品的利润为 元；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）这种冰墩墩饰品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，读懂题意并列出关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据单个冰墩墩饰品的售价和进价，列出代数式即可；
（2）根据题意可直接得出y与x的函数关系式；
（3）根据销售利润（售价进价）销售量，列出利润w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大利润即可．
【小问1详解】
解：∵当售价上涨x元，售价为元，
∴单个饰品的利润为元．
故答案为：．
【小问2详解】
∵冰墩墩饰品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少1个，且售价上涨x元，
∴；
【小问3详解】
设每天的销售利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随着x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为，
此时（元），
答：冰墩墩饰品的销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
25. 如图，正方形的边长为a，点P在边上，将线段绕点P逆时针方向旋转 得到线段．
（1）【操作判断】在图1中画出线段，并判断与 的数量关系是： ；
（2）当点P 从点A运动到点 D时．
①【问题探究】
利用图2探究点E的运动路径，并求该运动路径的长度；
②【深入研究】
连接，延长交 的延长线于点 F，利用图3求 的值．
【答案】（1）
（2）①点E的运动路径为线段，的长为；②
【解析】
【分析】（1）都与互余，根据同角的余角相等即可解答此题；
（2）①连接，延长交的延长线于点F，过点E作，垂足为H．证明， ，然后推出是等腰直角三角形，，从而说明点E的运动路径是线段，求出即可；②如图3，延长交于点K，则．分别求出即可求解．
【小问1详解】
解：线段如图，
∵都与互余，
∴．
【小问2详解】
①连接，延长交的延长线于点F，过点E作，垂足为H．
由旋转知： ．
．
又∵．
又∵．
．
．
设，则，．
．
是等腰直角三角形．
．
．
为等腰直角三角形．
∴点E在直线上运动．
当点P在点A处时，点E与点D重合，当点P运动到点D时，点E与点F重合．
∴点E的运动路径为线段，的长为．
② 如图3，延长交于点K，则．
．
是等腰直角三角形．
∴．
∴．
投篮次数
投中次数
投中频率