上海市宝山区三校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题（含答案）

这是一份上海市宝山区三校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列实数中，有理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. a2•a4＝a8B. （a3）4＝a7C. （ab）4＝ab4D. a6÷a3＝a3
【答案】D
3. 下列函数中，若，则函数值随自变量的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 某人统计九年级一个班35人的身高时，算出平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中一位同学的身高记录错误，将160厘米写成了166厘米，经重新计算后，正确的中位数是a厘米，那么中位数a应（ ）
A. 大于158B. 小于158C. 等于158D. 无法判断
【答案】C
5. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合B. 面积相等的两个圆一定能够重合
C. 面积相等的两个正方形一定能够重合D. 周长相等的两个菱形一定能够重合
【答案】D
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）
A. 6B. 10C. 15D. 16
【答案】C

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：___________．
【答案】
8. 因式分解：___________．
【答案】
9. 函数y＝的定义域是_____．
【答案】x≠﹣2
10. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是_______．
【答案】m≥−4
11. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，掷这枚骰子，向上一面出现的点数是素数的概率是________．
【答案】
12. 如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是___________度
【答案】
13. 已知：是单位向量，且，若（是一个实数），则___________
【答案】##
14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为_______．

15. 空气质量检测标准规定：当空气质量指数W≤50时，空气质量为优；当50＜W≤100时，空气质量为良，当100＜Q≤150时，空气质量为轻微污染．已知某城市4月份30天的空气质量状况，统计如表：
这个月中，空气质量为良的天数的频率为_____．
【答案】0.5
16. 某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为_____元．
【答案】30.8
17. 如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则___________．
【答案】

18. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若M、N在轴、轴上分别对应实数a、b，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标．如图2，在斜坐标系中，已知点、点，是线段上的任意一点，试用含代数式表示，则___________
【答案】
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 化简求值：；其中
【答案】，
【详解】解：
；
当时，原式.
20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，
【答案】﹣4＜x≤2，在数轴上表示见解析
【详解】解：，
解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x≤2，
故不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：

21. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是1．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣x+2于点D，设平移后函数图象的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围．
【答案】（1）；（2）﹣6≤b≤2
【解析】
【详解】解：（1）把x＝1代入y＝﹣x+2得，y＝，
∴C（1，），
设正比例函数解析式为y＝kx，
把C的坐标代入得k＝，
∴正比例函数的解析式为y＝x；
（2）直线y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），B（0，2），
设平移后的直线解析式为y＝x+b，
把A（4，0）代入得，×4+b＝0，
解得b＝﹣6，
把B（0,2）代入得，b=2，
∴符合题意的b的取值范围是﹣6≤b≤2．
【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的交点，一次函数的平移，熟练掌握待定系数法，一次函数平移的规律是解题的关键．
22. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直），
（1）古树的高度约为多少米？
（2）为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计）
（参考数据：，
【答案】（1）古树的高度约为
（2）绳至少为
【小问1详解】
解：解：如图，延长交点H，则，

山坡上坡度，
，
，
设，则，
中，
，
，
解得：，
，，
在中，，
答：古树的高度约为
【小问2详解】
解：过B点作与交与M，
则，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
答：绳至少为
23. 如图，已知在正方形中，点在边上，过点作交延长线于点，连接，过点作交于点，
（1）求证：；
（2）连接．如果为的中点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由三角形内角和定理得：，
在和中，
∴．
【小问2详解】
解：设正方形的边长为a，
∵为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．点是直线上方的抛物线上的动点．
（1）若时，点正好位于抛物线顶点，求的长．
（2）求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）；
（3）若的面积的最大值为，求的值；
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【小问1详解】
解：过点作轴于，如图，
当时，，解得，，
，，
对称轴为直线，
，
，
，
当时，，即顶点坐标为，
当时，，即，
∵时，点正好位于抛物线顶点，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：过点作轴交于点，如图，
设，则，
，
的面积的面积的面积，
的面积，
当时，的面积有最大值为，
，
解得．
25. 已知四边形是边长为10的菱形，对角线、相交于点，过点作交延长线于点，连接交于点，
（1）如图1，当时，求；
（2）如图2，以EF为直径作，经过点交边于点，
①若，求的长；
②连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）
（2）①；②或
【小问1详解】
解：∵四边形是菱形，
∴和互相垂直平分，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴，
当时，，
，
∴，即，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，
∴，
∴；
小问2详解】
①，
，
，
，
是的直径，
，
，
设，
，
，
由（1）知，
，
∴，
∴，
∴，，
过作于，如图所示：
∴，
过作于，延长交于，连接，如图所示：
则，
∴，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴，
；
②设，，
连接，如图所示：
则，
，且，
∴，
∴，
在中，，
∴；
当时，有，
，
，
，
，即为的中点，
又，
是梯形的中位线，
∴，
∴，
∴，
解得x；
当时，连接，如图所示：
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
综上所述，的长为或．
空气质量指数（W）
40
60
90
110
120
140
天数
3
5
10
7
4
1