陕西省咸阳市2026届高三下学期二模考试数学试卷含答案（word版）

这是一份陕西省咸阳市2026届高三下学期二模考试数学试卷含答案（word版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. B 2. A 3.C 4. A 5.C 6. D 7. B 8. C
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 若有两个正确选 项, 则选对一个得 3 分, 全部选对得 6 分; 若有 3 个正确选项, 则选对一个得 2 分, 选对两个得 4 分, 全部选对得 6 分; 有选错的得 0 分.
9. ACD 10. CD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. −23 13. 54 14. e2,e24
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)证明:因为 cn+1−cn=an+1+3bn+1−an+3bn=an+1−an+3bn+1−bn=d1+3d2 ， 所以数列 cn 是以 a1+3b1 为首项， d1+3d2 为公差的等差数列. (5 分)
(2)因为 a1=7,b1=−2,d1=−4,d2=2 ，
所以 cn=7−6+n−1−4+2×3=2n−1 , (9 分)
所以 An=1cncn+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ,
所以 Sn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1 . (13 分)
16. 解:(1) 由题意得 X∼B3,0.9 ，
PX=0=,
PX=1=,
PX=2=,
PX=3=,
则 X 的分布列为:
数学期望为 EX=3×0.9=2.7 . (7 分)
(2)设事件 A 为“一个机器人空翻转体完成”，事件 B 为“一个机器人稳准落地”.
根据题意 PA=0.9,PB∣A=0.8,PB∣A=0.1 , PB=PAB+PAB=PAPB∣A+PAPB∣A=0.9×0.8+0.1×0.1=0.73 , PA∣B=PABPB=0.9× (15 分)
17. 解: (1) 证明: 因为 A′E//D′F,A′E⊄ 平面 D′FC,D′F⊂ 平面 D′FC ,
则 A′E// 平面 D′FC ,
又 BE//CF,BE⊄ 平面 D′FC,CF⊂ 平面 D′FC ,
则 BE// 平面 D′FC ,
又 A′E∩BE=E,A′E,BE⊂ 平面 A′EB ,所以平面 A′EB// 平面 D′FC . (6 分)
(2)因为四边形 ABCD 为等腰梯形， AB//CD,EF⊥AB ，又平面 A′D′FE⊥ 平面 BCFE ，所以 FD 、 FE 、 FD′ 两两垂直,则建立如图所示的空间直角坐标系 F−xyz ,由已知得 A3,2,0,B−4,2,0,A′0,2,3,D′0,0,1 , AA′=−3,0,3,AD′=−3,−2,1,BD′=4,−2,1,BA′=4,0,3 ,

设平面 AA′D′ 的法向量为 m=x1,y1,z1 ,
则 AA′⋅m=0,AD′⋅m=0, 即 −3x1+3z1=0,−3x1−2y1+z1=0,
取 x1=1 ,则 y1=−1,z1=1 ,所以 m=1,−1,1 .
设平面 BA′D′ 的法向量为 n=x2,y2,z2 ,
则 BA′⋅n=0,BD′⋅n=0, 即 4x2+3z2=0,4x2−2y2+z2=0,
取 x2=3 ,则 y2=4,z2=−4 ,所以 n=3,4,−4 .
设平面 AA′D′ 与平面 BA′D′ 的夹角为 θ ,
则 csθ=cs=m⋅nmn=53×41=5123123
所以平面 AA′D′ 与平面 BA′D′ 夹角的余弦值为 5123123 . (12 分)
(3)因为 C、E、F、D′ 四点在一个球面上，所以该球可看成是以 FC、FE、FD′ 为长、宽、高的长方体的外接球，故该外接球的直径为 12+22+22=3 ,所以所求球的体积为 V=43πR3=43π323=92π . (15 分)
18. 解: (1) 因为椭圆 C 左顶点为 N−2,0 ,所以 a=2 ,
ΔMF1F2 的周长为 4+23 ,则 2a+2c=4+2c=4+23 ,所以 c=3,b=1 .
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1 . (4 分)
(2)证明:易知过点 N 的圆 D 的切线斜率存在,则设切线的方程为 y=kx+2 ,动圆 D 的半径为 rr>0 ， 由已知得 r0 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
则 x1,x2 是方程 4m2+1x2+8mtx+4t2−4=0 的两个根,
所以 x1+x2=−8mt4m2+1,x1x2=4t2−44m2+1 , (12 分)
因为以 AB 为直径的圆经过点 N ,所以 NA⋅NB=0 ,
又 NA=x1+2,y1,NB=x2+2,y2 ,
所以 x1x2+2x1+x2+4+y1y2=0 ,①
又 y1y2=mx1+tmx2+t=m2x1x2+mtx1+x2+t2 ,
所以 y1y2=m24t2−44m2+1−8m2t24m2+1+t2=t2−4m24m2+1 ,
将 x1+x2=−8mt4m2+1,x1x2=4t2−44m2+1,y1y2=t2−4m24m2+1 代入①式，
可得 5t2−16mt+12m2=0 ,解得 t=65m 或 t=2m , (15 分)
当 m=0 时,直线 l 的方程为 y=0 ,与已知矛盾,所以 m≠0 ;
当 t=65m 时,直线 l 的方程为 y=mx+6m5=mx+65 ,直线 l 过定点 −65,0 ;
当 t=2m 时,直线 l 的方程为 y=mx+2m=mx+2 ,直线 l 过定点 −2,0 ,矛盾.
所以直线 l 恒过定点 −65,0 . (17 分)
19. 解: (1) 当 c=0 时,函数 fx=lnx−ax ,其定义域为 0,+∞ ,求导得 f′x=1x−a ,
当 a≤0 时, f′x>0 在 0,+∞ 上恒成立,所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增.
当 a>0 时,令 f′x=0 ,解得 x=1a ,
当 x∈0,1a 时, f′x>0,fx 单调递增;
当 x∈1a,+∞ 时, f′x0 时, fx 在 0,1a 上单调递增,在 1a,+∞ 上单调递减. (5 分)
(2)当 c=π2 时， fx=sinπ2x+lnx−ax ，
设 φx=f′x=π2csπ2x+1x−a,x>0 ,
1∘ 当 a=1 时, φx=π2csπ2x+1x−1 ,
易知 φ1=0 ,且 x∈0,1 时, φx>1x−1>0,x∈1,2 时, φx