初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）3.2 勾股定理的逆定理习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）3.2 勾股定理的逆定理习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A . 12米 B . 13米 C . 14米 D . 15米
2.由下列线段 a ， b ， c首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A . a＝2，b＝2，c＝3
B . a＝7，b＝24，c＝25
C . a=3 ， b=4 ，c=5
D . a=15 ， b=112 ，c=113
3.将直角三角形的三边长同时扩大5倍后，得到的三角形是（ ）
A . 直角三角形
B . 锐角三角形
C . 钝角三角形
D . 以上结论都不对
4.有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为 3 ， 4 ， 5的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形.正确的个数有（ ）
A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个
5.三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（ ）
A . 三个内角度数之比为3:4:5
B . 三边之比为5:12:13
C . 一个内角等于另外两个内角之差
D . 三边长分别为 3 ， 2，7
6.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是（ ）
A . 5，9，12 B . 5，12，13 C . 5，9，13 D . 9，12，13
7.点 P−4,−3到原点的距离是（ ）
A . 3 B . 4 C . 5 D . 7
8.下列命题是假命题的是（ ）
A . 在 △ABC中，若 ∠A:∠B:∠C=3:4:5 ， 则 △ABC是直角三角形
B . 在 △ABC中，若 a2=b+cb−c ， 则 △ABC是直角三角形
C . 在 △ABC中，若 ∠A:∠B:∠C=1:2:3 ， 则 △ABC是直角三角形
D . 在 △ABC中，若 a:b:c=1:1:2 ， 则 △ABC是等腰直角三角形
9.以下列长度线段为边，不能构成直角三角形的是（ ）
A . 7，24，25 B . 8，15，17 C . 9，40，41 D . 10，24，28
10.下列长度的三条线段可以组成直角三角形的是（ ）
A . 3，4，2 B . 12，5，6 C . 3，3，4 D . 3，4，5
二、填空题
1.有一只鸟在一棵高 4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12米，高 20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以 4米 /秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 ________ 秒才能到达大树和伙伴在一起．
2.如图所示：分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、 S2、 S3表示，若 S1=25 ， S3=9 ， 则 BC的长为 ________ ．
3.一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 ________ .
4.为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为 ________ cm．
5.已知在 △ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，连接DE，DF，EF.若DE＝3cm，DF＝4cm，EF＝5cm，则 △ABC的面积为 ________ cm 2.
6.有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 ________ 米．
7.已知点O（0，0），A（6，8），则线段AO的长度为 ________ .
8.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ________ ．

9.如图，以 Rt△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，若斜边 AB=5 ，则图中阴影部分的面积 S1+S2+S3= ________ .
三、作图题
1.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
2.在如图所示的方格纸上，以格点为顶点，按要求画图．

（1） 在图1中画一个直角三角形，要求：三角形的三边长是勾股数；
（2） 在图2中画一个菱形，要求：线段 MN为菱形的对角线．
3.如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是（0，﹣2），（﹣1，3）．解答下列问题：
（1） 请在示意图中建立平面直角坐标系；
（2） 通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
4.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．
（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1 ， 请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2 ， 请画出△A2B2C2；
（3）直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是 ．
四、综合题
1.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC.
（1） △ACD是直角三角形吗？为什么？
（2） 小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
2.已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=BC=1 ， CD=3 ， DA=1 ，且 ∠B=90° 。
试求：
（1） ∠BAD 的度数；
（2） 四边形ABCD的面积。
3.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：4x2−4x−y2+1=(4x2−4x+1)−y2=(2x−1)2−y2=(2x−y−1)(2x+y−1)
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： x2−3x−40 分析：x2−3x−40

观察得出：两个因式分别为 (x+5)与(x−8)
解：原式=(x+5)(x−8)
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如： y2−10y+21=y2−10y+25−4=(y−5)2−22=(y−5+2)(y−5−2)=(y−3)(y−7) ．
（1） 仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ab−a−b+1= ________ ；
②（十字相乘法） y2+3y−10= ________ ；
（2） 已知：a、b、c为 △ABC的三条边， a2+b2+c2−6a=10b+8c−50 ， 判断 △ABC的形状．
4.为了把“广安民用运输机场选址岳池普安”宣传到各村，普安镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1） 请问村庄能否听到宣传，并说明理由；
（2） 如果能听到，已知宣讲车的速度是每分钟300米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
五、解答题
1.有一块四边形的土地，量得各边的长分别为：AB=130米，BC=120米，CD=40米，AD=30米，∠D=90°. 求这块土地是面积是多少平方米？
2.如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
3.【模型建立】如图，等腰直角三角形 ABC中 ∠ACB=90°，CB=CA ， 过点A作 AD⊥ED于点D，过点B作 BE⊥ED于点E，我们将这个模型称为“K形图”．
【模型应用】
（1） 如图1，当点 A−2，0，B0，4在坐标轴上时，以 AB为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形 ABC ， 则点C的坐标为 ；
（2） 应用：如图2，在四边形 ABCD中， ∠ADC=90°，AD=6，CD=8 ， BC=10，AB=102 ． 求线段 BD的长；
（3） 如图3，已知直线 y=−2x+4与坐标交于A、B两点，点D的坐标为 6，0 ， 点M是直线 y=−2x+4上一点，使 ∠BMD=45° ， 求线段 BM的长度．
4.如图所示，在 4×3的正方形网格中，从点 A出发的四条线段 AB ， AC ， AD ， AE ， 它的另一个端点 B ， C ， D ， E均在格点上（正方形网格的交点）．

（1）若每个小正方形的边长都是1，分别求出 AB ， AC ， AD ， AE的长度（结果保留根号）．
（2）在 AB ， AC ， AD ， AE四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．
六、阅读理解
1.阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务，
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 那么两点间的距离 MN=(x1−x2)2+(y1−y2)2 ， 例如：若点 M(4,1) ， N(3,2) ， 则 MN=(4−3)2+(1−2)2=2 ．
（1） 已知 A(3,5) ， B(−1,−3) ， 求 A,B两点间的距离；
（2） 已知 A(1,2) ， B(−3,4) ， C(−1,6) ， 判断 △ABC的形状；
（3） 代数式 (x−3)2+25+(4−x)2+9的最小值是．
2.阅读下列材料，回答问题：
如图，点 Ax1,y1 ， 点 Bx2,y2 ， 以 AB为斜边作 Rt△ABC ， 则 Cx2,y1 ， 于是 AC=x1−x2 ， BC=y1−y2 ， 所以 AB=x1−x22+y1−y22 ， 反之，可将代数式 AB=x1−x22+y1−y22的值看作点 x1,y1到点 x2,y2的距离．
例如：x2−2x+y2+2y+2
=x2−2x+1+y2+2y+1
=x−12+y+12
=x−12+y−−12
故代数式 x2−2x+y2+2y+2的值看作点 x,y到点 1,−1的距离．
已知：代数式x2−2x+y2+16y+65+x2+4x+y2−4y+8
（1） 该代数式的值可看作点 x,y到点 、 的距离之和．
（2） 求出这个代数式的最小值．
3.阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2），其两点间的距离 P1P2=(x1−x2)2+(y1−y2)2 ， 同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1||或|y2﹣y1|．
（1） 已知A（3，4）、B（﹣2，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2） 已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
（3） 已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．