湖北省黄冈中学等十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考数学试题含答案

这是一份湖北省黄冈中学等十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7} ，则 A∩∁UB= ( )
A. {5} B. {2,4} C. {1,3,7} D. {2,4,5,6}
2. 已知复数 z 满足: z−12+1=0 ,则 z= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3. f0=0 是 fx 为奇函数的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若单位平面向量 a,b 夹角为 π2 ,向量 m=a+b ,向量 n=a−b ,则下列命题为假命题的是 ( )
A. m=n B. m⋅a=1
C. m//n D. m⊥n
5. 已知变量 x 和变量 y 的一组成对样本数据为 xi,yii=1,2,3,⋯,8 ,其中 x=98 ,其回归直线方程为 y=2x−14 ，当增加两个样本数据 −1,5 和 2,9 后，重新得到的回归直线方程斜率为 3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据 4,10 所对应的残差为( )(残差=观察值一估计值)
A. 2 B. -2 C. -1 D. 1
6. 已知函数 fx=sinπx−π6 ,当 x∈0,20 时,把 fx 的图象与直线 y=12 的所有交点的横坐标限依次记为 a1,a2,a3,⋯,an ,记它们的和为 Sn ,则 Sn= ( )
A. 11603 B. 5803 C. 5603 D. 2803
7. 已知点 P 为椭圆 C:x216+y212=1 上任意一点,直线 l 过 ⊙M:x2+y2−4x+3=0 的圆心且与 ⊙M 交于 A,B 两点，则 PA⋅PB 的取值范围是( )
A. 3,35 B. (3,35] C. 2,6 D. (2,6]
8. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， P 为棱 BB1 的中点， Q 为正方体 ABCD−A1B1C1D1 表面上的一动点 (含边界),则下列说法中正确的是 ( )

A. 三棱锥 P−A1D1D 外接球的表面积为 41π16
B. 若 D1Q// 平面 A1PD ,则动点 Q 的轨迹是一条线段
C. 若 PQ⊥ 平面 A1PD1 ,则动点 Q 的轨迹的长度为 52
D. 若 D1Q=2 ,则动点 Q 的轨迹长度为 π2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 C:x24−y2b2=1b>0 的右焦点为 F ,直线 l:x+by=0 是 C 的一条渐近线, P 是 l 上一点,则( )
A. C 的虚轴长为 22 B. C 的离心率为 6
C. PF 的最小值为 2
D. 直线 PF 的斜率不等于 −22
10. 将函数 fx=sin2x+φφlnt+1 ,其中 t≥1,t∈N∗ .
19. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0,F 为其焦点，直线 l 过点 F 交抛物线 C 于 A 、 B 两点， 若三角形 OAB 面积的最小值为 92 .
(1)求 p ；
(2)若三角形 OAB 外接圆与抛物线的最后一个交点为点 T .
(i) 设 Ax1,y1,Bx2,y2,Tx3,y3 ,证明: y3=−y1+y2 .
(ii) 若 TF 平分 ∠ATB ,求线段 TF 长度的所有可能取值.
1. B
由题意得, ∁UB={2,4,6} ,则 A∩∁UB={2,4} .
故选: B
2. B
因为复数 z 满足: z−12+1=0 ,
所以 z−12=−1 ,所以 z−1=±i ,解得 z=1±i .
所以 z=1+1=2 .
故选: B.
3. D
因为奇函数的定义域关于原点对称,
f0=0 时 y=fx 的定义域不一定关于原点对称,
所以 f0=0 不是 fx 为奇函数的充分条件;
如果 fx 为奇函数在 x=0 处有定义时有 f0=0 ,
在 x=0 处没有定义时没有 f0=0 ,
所以 f0=0 不是 fx 为奇函数的必要条件;
综上, f0=0 是 fx 为奇函数的既不充分也不必要条件.
故选: D.
4. C
已知单位向量 a、b 的夹角为 π2 ,因此 a=b=1 , ∇a⋅b=0 且 m=a+b,∇n=a−b . A 选项: m2=a+b2=a2+2a⋅b+b2=1+0+1=2,m=2 ,
n2=a−b2=a2−2a⋅b+b2=1−0+1=2, n=2,
故 m=n ，A 为真命题；
B 选项: m⋅a=a+b⋅a=a2+b⋅a=1+0=1 ，B 为真命题；
C 选项:假设 m∥n ，则存在 λ 使 a+b=λa−b ，
整理得: 1−λa+1+λb=0 ，
由于 a 与 b 不共线 (夹角为 90∘ ),则 1−λ=0 且 1+λ=0 ,
此方程组无解,矛盾,故 m 与 n 不平行, C 为假命题;
D 选项: m⋅n=a+b⋅a−b=a2−b2=1−1=0
所以 m⊥n , D 为真命题.
故选: C
5. B
∵i=18xi=98×8=9 ,
∴ 增加两个样本点后 x 的平均数为 9−1+210=1 ;
∵y=2×98−14=2,∴i=18yi=2×8=16 ,
∴ 增加两个样本点后 y 的平均数为 16+5+910=3 ,
∴3=3×1+a ,解得 a=0 ,
∴ 新的经验回归方程为 y=3x ,则当 x=4 时, y=12 ,
∴ 样本点 4,10 的残差为 10−12=−2 .
故选: B.
6. B
解: 由 sinπx−π6=12 ,则 πx−π6=2kπ+π6 或 2kπ+56π,k∈Z 解得 x=2k+13 或 2k+1,k∈Z
所以 a1=13,a2=1,a3=73,a4=3,…,a19=553,a20=19
所以
S20=13+73+133+⋯+553+1+3+5+⋯+19=12×1+55×103+1+19×102=2803+100=5803 , 故 B 正确.
故选: B
7. A
因为 ⊙M:x−22+y2=1 ,圆心 M2,0 ,半径为 1,则 MA=−MB , 可得 PA⋅PB=PM+MA⋅PM+MB=PM−MBPM+MB=PM2−MB2=PM2−1 , 由椭圆方程可知: a=4,b=23,c=a2−b2=2 ,即 M 恰为椭圆 C 的右焦点, 则 2=a−c≤PM≤a+c=6 ,所以 PA⋅PB∈3,35 .
故选: A.
8. A
对于 A: 由四边形 DAA1D 为正方形,
故三棱锥 P−A1D1D 的外接球即为三棱锥 D−A1PA 的外接球,
设三棱锥 D−A1PA 的外接球半径为 R,△A1AP 的外接圆半径为 r ,
AP=A1P=1+14=52,AA1=1,
故 cs∠APA1=522+522−122×52×52=35 ,
又 ∠APA1∈0,π ,则 sin∠APA1=45 ,
故 AA1sin∠APA1=54=2r,∴r=58 ,因为 DA⊥ 平面 A1AP ,
故三棱锥 D−A1PA 的外接球球心在过 △A1AP 的外接圆圆心和 DA 平行的直线上,
则 AD22+r2=R2,AD=1 ,即 R2=2564+14=4164 ,
故三棱锥 P−A1D1D 的外接球的表面积为 4πR2=41π16 ，故 A 正确，
对于 B : 取 CC1 与 B1C1 中点 M、N ,连接 D1M、D1N、MN ,

由正方体性质可得 MN//DA1,A1P//D1M ,
又 MN⊄ 平面 A1PD,DA1⊂ 平面 A1PD ,故 MN// 平面 A1PD ,
D1M⊄ 平面 A1PD,A1P⊂ 平面 A1PD ,故 D1M// 平面 A1PD ,
又 MN∩D1M=M,MN、D1M⊂ 平面 D1MN ,故平面 D1MN// 平面 A1PD ,
由 D1Q// 平面 A1PD ,则点 Q 的轨迹是 ▵D1MN 除去点 D1 ,故 B 错误;
对于 C : 取 AB 靠近点 B 的四等分点 S ,连接 PS ,

由正方体性质可得 D1A1⊥ 平面 A1B1BA ,又 PS⊂ 平面 A1B1BA ,故 D1A1⊥PS , 由 SBPB1=BPA1B1,∠SBP=∠PB1A1=90∘ ,故 △SBP 与 △PB1A1 相似,
则 ∠BPS=∠B1A1P ,故 ∠SPA1=180∘−∠BPS+∠B1PA1
=180∘−∠B1A1P+∠B1PA1=180∘−90∘=90∘ ,
故 SP⊥PA1 ,又 PA1∩A1D1=A1,PA1、A1D1⊂ 平面 A1PD1 ,
故 SP⊥ 平面 A1PD1 ,又 PQ⊥ 平面 A1PD1 ,故动点 Q 的轨迹为线段 SP ,
SP=142+122=54 ,故 C 错误;
对 D: 若 Q∈ 平面 BB1C1C ,因为 D1C1⊥ 平面 BB1C1C,C1Q⊂ 平面 BB1C1C , 故 D1C1⊥C1Q ,由 D1Q=2 ,则 C1Q=22−12=1 ,

即点 Q 的轨迹为以 C1 为圆心,在平面 BB1C1C 内半径为 1 的四分之一圆,
同理可得,点 Q 也可为以 D 为圆心,在平面 ABCD 内半径为 1 的四分之一圆,
点 Q 也可为以 A1 为圆心,在平面 AA1B1B 内半径为 1 的四分之一圆,
故其轨迹长度为 3×14×2π×1=32π ,故 D 错误.
9. AD
双曲线 C:x24−y2b2=1 的渐近线方程为 bx±2y=0 ,依题意, −1b=−b2 ,解得 b=2 ,
对于 A,C 的虚轴长 2b=22, A 正确;
对于 B,C 的离心率 e=a2+b2a=62, B 错误;
对于 C ,点 F6,0 到直线 l:x+2y=0 的距离 612+22=2 ,即 PF 的最小值为 2,C 错误;
对于 D ,直线 l:x+2y=0 的斜率为 −22 ,而点 F 不在 l 上,点 P 在 l 上,则直线 PF 的斜率不等于 −22 , D 正确.
故选: AD
10. AC
gx=sin2x+π4+φ=sin2x+π2+φ,gx 的图像与 fx 的图像关于 y 轴对称,
g0=f0 ,即 csφ=sinφ,φ0 ,不合题意;
当 a>0 时,分别画出 y=ex 与 y=ax2 的图象,如图:

所以 x1lnt+1 .
19.(1) 设直线 l:x=my+p2 ,联立 x=my+p2y2=2px ,得: y2−2pmy−p2=0 ,
Δ=4m2p2+4p2>0,
由韦达定理可知: y1+y2=2pm,y1y2=−p2 .
则 S△OAB=12⋅OF⋅y1−y2=12⋅p2⋅4m2p2+4p2≥p22 ，当且仅当 m=0 时等号成立.
此时 p22=92 ,则 p=3 ,抛物线 C:y2=6x .
(2)(i)由于三角形 OAB 的外接圆过原点，则可设其方程为: x2+y2+Dx+Ey=0 ， 将其与抛物线方程联立: x2+y2+Dx+Ey=0y2=6x 得: 136y4+D6+1y2+Ey=0 , 由于 0,y1,y2,y3 为方程的四个根,所以 y4+6D+36y2+36Ey=yy−y1y−y2y−y3 , 展开比较等式两边 y3 的系数可得 y3=−y1+y2 ;
(ii) 因为 TF 平分角 ATB ,由角平分线定理知: TATB=FAFB=y1y2 且 y1y2=−p2=−9 ,
所以 y12y22=TA2TB2=y326−y1262+y3−y12y326−y2262+y3−y22=y1+y22−y12+362y1+y22y1+y22−y22+362y2+y12
=y22−182+364y12+y22−36y12−182+364y22+y12−36=y24+144y12−972y14+144y22−972.
化简即得: y16+144y12y22−972y12=y26+144y12y22−972y22
因式分解可得: y12−y22y14+y12y22+y24−972=0 ,
此时,若 y12=y22 ,则 A、B 重合或者 O、T 重合,这都不符合题意,舍去;
所以 y14+y24+y12y22=972 ,即 y12+y222=972+y12y22=1053 ,
所以 y12+y22=913>18=2y1y2 ,这表示满足条件的 A、B 两点存在,
所以 y1+y22=y12+y22+2y1y2=913−18 ,
此时 TF=y326+p2=y1+y226+32=313−32 .