安徽马鞍山市第二中学2025-2026学年第二学期3月教学质量监测高二数学试题含答案

这是一份安徽马鞍山市第二中学2025-2026学年第二学期3月教学质量监测高二数学试题含答案，共6页。试卷主要包含了 点 P 在圆 C1等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑. 如需改动, 务必擦净后再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案 写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
一、选择题: 本大题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 a=3,2,2,b=2,−1,x ，若 a⊥b ，则 x= ()
A. 2 B. -1 C. 0 D. -2
2. 在等差数列 an 中, Sn 是其前 n 项和,且 S2007=S2026,Sk=S2012 ,则正整数 k 为 ( )
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
3. 若从 1,2,3,…,nn∈N∗ 中任意取出两个不同的数，共有 21 种不同的取法，则 n= ( )
A. 6 B. 7 C. 20 D. 21
4. 已知 M,A,B,C 为空间中四点,任意三点不共线,且 OM=xOA+yOB−3OCx>0,y>0 , 若 M,A,B,C 四点共面，则 x+y 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知圆 x2+y2−2ax+4=0 与直线 x−y−2=0 相切，则 a 的值为( )
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. -6 D. 2
6. 若函数 fx=−x2+ax+4lnx 在 1,2 上有最大值，则实数 a 的取值范围为( )
A. −2,+∞ B. −2,2 C. −∞,2 D. 0,2
7. 在平面直角坐标系中,已知点 F1,F2 分别为椭圆 C:x24+y2=1 的左,右焦点, P 为椭圆 C 上的点，过 F2 作角 F1PF2 的外角平分线的垂线，垂足为点 H ，则点 H 的轨迹长度为( )
A. 4π B. 3π C. 2π D. π
8. 若 ∃m∈R 使得不等式 lnxx−mln2−ln24x−m≤0 对任意 x∈0,a 恒成立,则实数 a 的最大值为( )
A. 1 B. e C. 4 D. 2e
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,公比为 q ,若 a1≠a2,a3−a2=2a4−a3,a3⋅a4=2a1 , 则下列结论正确的是( )
A. q=12 B. a5=2 C. a1=32 D. S6=126
10. 点 P 在圆 C1:x2+y2=1 上,点 Q 在圆 C2:x2+y2−6x+8y+24=0 上,则下列说法正确的是( )
A. 圆 C1 ,圆 C2 有两条公切线
B. PQ 的最大值为 7
C. 两个圆心所在的直线斜率为 −43
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 6x−8y−27=0
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 AB,AD 的中点，点 P 在正方形 A1B1C1D1 内部(含边界)运动，则下列结论正确的是( )

A. 若 P 为线段 C1D1 的中点,则直线 PM// 平面 BCC1B1
B. 三棱锥 A−PMN 的体积为 13
C. 在线段 C1D1 上存在点 P ,使得 MN⊥PM
D. 若 MN⊥PN ,则点 P 的轨迹长为 2
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 an 满足 an+1=11−an ,若 a1=−1 ,则 a2026= _____.
13. 一个火车站有 10 股道, 如果每股道只能停放 1 列火车, 现要停放 5 列不同的火车, 每两列火车不能停在相邻股道, 则不同的停放方法共有_____种.
14. 设函数 fx=lnx−12ax2−bx ，若 x=2 是 fx 的极大值点，则 a 取值范围为_____. 四、解答题:题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A3,0 ,动点 Px,y 满足 PA=2PO .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)若直线 l 过点 Q1,4 且与轨迹 C 相切,求直线 l 的方程.
16. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a1=1,Snn+n=an+1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an2n 的前 n 项和 Tn ，并证明: Tn≥12 .
17. 如图,四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,AD//BC,PA=1,AB=3 , BC=1,AD=2,M 是 PD 的中点.

(1)求证: CM// 平面 PAB ；
(2)若 AB⊥AD ，在线段 BD 上是否存在点 Q ，使得直线 PD 与平面 PAQ 所成角的正弦值为 155 ? 若存在,求出 BQBD 的值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 经过点 2,3 ，且离心率为 2 .
(1)求 C 的方程；
(2)过 C 的右焦点且斜率不为 0 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，设 M,N 分别为 C 的左、右顶点， 且直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2 ,判断: k1k2 是否为定值? 若是,求出该定值; 否则,说明理由.
19. 已知函数 fx=x−1−alnx .
(1)讨论 fx 单调性;
(2)若 fx≥0 恒成立,求 a 的值;
(3)当 a≥12 时,证明: 当 x>1 时, 1afx0,y>0 , 所以由共面定理可得, x+y+−3=1 ,即 x+y=4 .
5. C
首先将圆的方程化成标准方程, 再利用直线与圆相切的条件即可求解.
将圆的方程化成标准方程为 x−a2+y2=a2−4 ,
因为圆 x2+y2−2ax+4=0 与直线 x−y−2=0 相切,
则有 a2−4>0a−22=a2−4 ,解得 a=−6 .
6. B
求得 f′x=−2x+a+4x ,令 gx=f′x ,得到 g′x0 ,
令 gx=f′x=−2x+a+4x ,可得 g′x=−2−4x21 ,只需证明 gx>0 即可,
由 g′x=ex−1−2+1x ,再令 ℎx=g′x=ex−1−2+1x ,可得 ℎ′x=ex−1−1x2 ,
由于函数 y=ex−1,y=−1x2 在 1,+∞ 上单调递增,所以 ℎ′x 在 1,+∞ 上单调递增,
则 ℎ′x>ℎ′1=e0−1=0 ,即 g′x=ℎx 在 1,+∞ 上单调递增,
可得 g′x>g′1=e0−2+1=0 ,即 gx 在 1,+∞ 上单调递增,
故 gx>g1=e0−2+1+ln1=0 ,得证.