四川叙永第一中学校2025-2026学年高二下学期第一学月知识回顾数学试题含答案

这是一份四川叙永第一中学校2025-2026学年高二下学期第一学月知识回顾数学试题含答案，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数 fx 的导函数为 f′x ,若 limΔx→0f−5+Δx−f−5Δx=5 ,则 f′−5= ( )
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
2. 已知数列 an 为正项等比数列,若 a3=16,a5=1 ,则 a4= ( )
A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2
3. 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 S11=22 ,则 a6 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 某公司第一年的利润为 800 万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的 1.5 倍. 若预计前 m 年的利润总和为 6500 万元,则 m=
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘 3 再加 1 ；若它是偶数，就将该数除以 2 .反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 1→4→2→1 . 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”. 如取正整数 6 时，根据上述运算法则得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1 ，共需经过 8 个步骤变成 1 (简称 8 步 “雹程”). 现给出 “冰雹猜想”的递推关系如下:已知数列 an 满足: a1=mm∈N∗,an+1=an2,当an为偶数时,3an+1,当an为奇数时. 若 an=1 ,则 m 的所有可能取值的和为 ( )
A. 62 B. 169 C. 170 D. 190
6. 用数学归纳法证明: fn=1+12+13+⋯+12n≥n+22n∈N∗ 的过程中,从 n=k 到 n=k+1 时， fk+1 比 fk 共增加了( )
A. 1 项 B. 2k−1 项 C. 2k+1 项 D. 2k 项
7. 已知数列 an 的首项 a1=12 ，且满足 an+1=an2an+1 ，则 a6= ()
A. 112 B. 110 C. 10 D. 12
8. 若等比数列 an 的前 n 项和 Sn=2n+t ,则该数列 an 的前 9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
A. 12 B. 2
C. 341170 D. 170341
二、选择题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分.每个小题给出的选项中, 有多项符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分.
9. 下列求导数运算正确的是( )
A. x3+sin2′=3x2+cs2
B. 2x′=2xln2
C. xsinx′=sinx+xcsx
D. lnxx′=1−lnxx2
10. 已知等比数列 an 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 a1+a3=5,a4+a6=135 ,则( )
A. a1=14 B. q=3
C. an=14×3n−1 D. Sn=143n−1
11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有 10 个球…… 设第 n 层有 an 个球,则()

A. a5=15 B. an+1−an 是等差数列
C. a2025 为偶数
D. 1≤1a1+1a2+⋯+1an0 ;
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 Sn 的最大项.
16. 等比数列 an 中, a1=1,a5=4a3 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)记 Sn 为 an 的前 n 项和. 若 Sm=63 ，求 m .
17. 在数列 an 中, a1=13,1an+1=1an+2n+1 .
(1)证明:数列 1an−2n 是等差数列.
(2)求 an 的通项公式.
(3)若 bn=1an ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn , an+1=2an+2nn∈N∗,a1=1 .
(1)证明:数列 an2n 为等差数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 n 项和为 Sn ；
(3)若 Sn≤2an−4n−λ 对任意 n∈N∗ 恒成立. 求实数 λ 的取值范围.
19. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 an+1=3Sn+1n∈N∗ .
(1)求数列 an 通项公式；
(2)求数列 bn 满足 bn=2n+1,n为奇数an,n为偶数 ，求数列 bn 的前 2n 项和 T2n ；
(3)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列 dn 中是否存在 3 项 dm,dk,dp (其中 m,k,p 成等差数列) 成等比数列? 若存在，求出这样的 3 项；
若不存在, 请说明理由.
1. D
利用导数的定义可得出结果.
f′−5=limΔx→0f−5+Δx−f−5Δx=5 .
故选: D.
2. B
利用等比中项的性质求解即可
由等比数列的性质可得, a42=a3⋅a5=16 ,
因 an>0 ,故 a4=4 .
3. B
因为 an 为等差数列,由等差数列的性质求解即可.
因为 an 为等差数列,则 S11=a1+a11×112=2×a6×112=22 ,解得 a6=2 .
4. B
由题意知各年的利润成等比数列,由等比数列前 n 项和的公式即可求得 m 的值.
由题意知各年的利润成等比数列,记该数列为 an ,前 n 年的利润总和记为 Sn ,公比 q=32 .
由 Sm=8001−32m1−32=6500 ,解得 m=4 ,
故选: B.
5. D
利用递推公式,依次令 n=7、6、5、4、3、2、1 即可求出答案.
因为 a8=1 ,
当 n=7 时, a8=a72,当a7为偶数时3a7+1,当a7为奇数时 ,解得 a7=2 ;
当 n=6 时, a7=a62,当a6为偶数时3a6+1,当a6为奇数时 ,解得 a6=4 ;
当 n=5 时, a6=a52,当a5为偶数时3a5+1,当a5为奇数时 ,解得 a5=8 或 a5=1 ;
当 n=4 时, a5=a42,当a4为偶数时3a4+1,当a4为奇数时 ,解得 a4=2 或 a4=16 ;
当 n=3 时, a4=a32,当a3为偶数时3a3+1,当a3为奇数时 ,解得 a3=4 或 a3=5 或 a3=32 ;
当 n=2 时, a3=a22,当a2为偶数时3a2+1,当a2为奇数时,解得a2=1 或 a2=8 或 a2=10 或 a2=64 ;
当 n=1 时, a2=a12,当a1为偶数时3a1+1,当a1为奇数时 ,解得 a1=2 或 a1=3 或 a1=16 或 a1=20 或 a1=21 或
a1=128
所以 m 的所有可能取值为 {2,3,16,20,21,128} ,
它们的和为 2+3+16+20+21+128=190 .
6. D
分别计算出 fk+1 和 fk 的项数,进而作差即得结论.
因为 fn=1+12+13+⋯+12n ,
所以 fk=1+12+13+⋯+12k ,共 2k 项,
则 fk+1=1+12+13+⋯+12k+12k+1+⋯+12k+1 共 2k+1 项,
所以 fk+1 比 fk 共增加了 2k+1−2k=2k 项,
故选: D
7. A
根据递推关系得 1an+1−1an=2 ,结合等差数列定义写出 1an 的通项公式,即可得答案.
由题意可得: an+1=an2an+1⇒1an+1−1an=2 ,
令 bn=1an ,则可得: bn+1=bn+2 ,
所以 bn 是等差数列,公差为 2 .
又因为 a1=12⇒b1=2 ,所以 bn=b1+n−1d=2+2n−1=2n ,
所以 a6=1b6=112 .
8. C
先求出等比数列的通项公式,结合等比数列前 n 项和公式求解即可.
当 n=1 时, a1=S1=2+t .
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=2n+t−2n−1+t=2n−1 .
因为 an 为等比数列,所以 n=1 时也满足 an=2n−1 ,即 2+t=21−1=1 ,解得 t=−1 .
所以数列 an 的通项公式为 an=2n−1n∈N∗ .
该数列 an 的前 9 项中所有奇数项之和为
a1+a3+a5+a7+a9=20+22+24+26+28=1×1−451−4=341 ,
该数列 an 的前 9 项中所有偶数项之和为 a2+a4+a6+a8=21+23+25+27=2×1−441−4=170 , 故该数列 an 的前 9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为 341170 .
故选: C.
9. BCD
根据导数的运算法则依次判断即可.
对于 A,x3+sin2′=3x2 ,故 A 错误;
对于 B ,由指数函数求导公式可得 2x′=2xln2 ,故 B 正确;
对于 C,xsinx′=sinx+xcsx ,故 C 正确;
对于 D,lnxx′=1−lnxx2 ,故 D 正确. 故选: BCD.
10. BD
利用题设等式进行等比数列的基本量运算,求得 a1,q ,代入公式即可一一判断.
依题, a11+q2=5a1q31+q2=135 ,解得 a1=12q=3 ,故 A 错误, B 正确; 则 an=a1qn−1=12×3n−1,Sn=a11−qn1−q=−141−3n=143n−1 ,故 C 错误, D 正确. 故选: BD.
11. ABD
根据题意 an−an−1=n,an−1−an−2=n−1,⋯,a2−a1=2 ,利用累加法得 an=nn+12 即可判断 ABC 选项,对于 D,1an=2nn+1=21n−1n+1 ,再根据裂项相消法可得 1a1+1a2+⋯+1an 的和, 接着简单放缩即可判断.
根据题意,当 n≥2 时, an−an−1=n,an−1−an−2=n−1,⋯,a2−a1=2 ,
累加得 an−a1=2+3+4+⋯+n=2+nn−12=n2+n−22 ,
∴an=nn+12 ,易知 a1=1 也满足,所以 an=nn+12 ,
∴a5=5×62=15 ,故 A 正确;
an+1−an=n+1 ,故 B 正确;
a2025=2025×20262=2025×1013 为奇数,故 C 错误;
∵an=nn+12, 1an=2nn+1=21n−1n+1 ,
1a1+1a2+⋯+1an=21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=2−1n+1,
∵n∈N∗,∴1≤2−2n+1c2=c3