黑龙江省智研联盟2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省智研联盟2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若点到直线的距离是到直线的距离的2倍，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（ ）.
A．2045B．2046C．2047D．2048
3．已知 是公比大于 0 的等比数列， 是单调递增数列； 是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8B．C．5D．
6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆，、分别是的左、右焦点，是上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知斜率不为0的直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M．若M为线段AB的中点，则直线l的纵截距为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
9．已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若 ，则
10．已知双曲线为的左、右焦点，点为双曲线左支上的一点，且满足，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，若，连，则下列说法正确的有（ ）
A．的标准方程为
B．
C．连的外接圆半径为
D．设点为的重心，则点坐标为
11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则面
B．若，则
C．若，则到平面的距离为
D．若时，直线与平面所成角为，则
三、填空题
12．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
13．已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是
14．已知数列各项均为正数，它的前项和为，且，，则数列的通项公式为
四、解答题
15．已知为各项均为正数的数列，其前项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.
16．如图，在四棱锥中,底面是直角梯形,在锐角中,.

(1)求证：平面⊥平面;
(2)在棱上是否存在一点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(3)若直线与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.

(1)求椭圆的离心率e；
(2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
(3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值.
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，在上且.
(1)求双曲线的方程；
(2)按照如下方式构造点列：过点作互相垂直的两条直线分别交双曲线于，记弦与的中点分别为，直线与轴交于点.设.
（i）证明：过定点；
（ii）求.
19．的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)记.
（i）求证：以为三边可构成（其中分别为边所对的角），且为三角形的最长边；
（ii）记，同样可得：以为三边可构成（其中分别为边所对的角），如此往复构造可得一系列，求数列的通项公式.
参考答案
1．B
【详解】由于侧面，所以点到直线的距离即为点到点的距离．
从而点到直线的距离是其到点的距离的2倍，
动点的轨迹所在的曲线为椭圆，离心率为.
故选：B.
2．B
【详解】因为，
所以
.
故选：B
3．A
【详解】由，则，
当时，则，此时数列单调递增，
当时，则，此时数列单调递增，
故，则数列单调递增，
又当数列单调递增时，所以，
综上，是的充要条件．
故选：A．
4．A
【详解】对A：由是空间的一个基底，故不共面，
则不能由、表示出，故，，不共面，故A正确；
对B：有，故，，共面，故B错误；
对C：，故，，共面，故C错误；
对D：，故 ，，共面，故D错误.
故选：A.
5．D
【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，
而点满足直线方程，
而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离，
因此， 的最小值为.
故选：D
6．D
【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，
所以圆：与圆：相交，
所以，
所以或.
故选:D.
7．A
【详解】
如图所示，设，，，
由椭圆定义可知，
在中，由余弦定理可得，
则，所以，
又的周长为，
则内切圆半径，
又在中，由正弦定理可知，为的外接圆半径，
即，
所以，
由椭圆的对称性可知，
如图所示，当点为短轴端点时取得最大值为，
所以取得最小值为，
又的最小值为，
即的最小值为，即，
即，化简可得，
等式左右同时除以，
可得，即，
由椭圆离心率，
则，
故选：A.
8．D
【详解】设直线方程为,, 线段AB的中点,
圆的方程为，圆心为，半径为，
由,两式相减：
则可以变形为：,所以.
又,所以,
即,解得,
代入直线方程:,解得,
将代入圆的方程可得,解得.
故选：D．

9．ABD
【详解】对A，赋值得，所以A正确；
对B，又由，，相加得，所以B正确；
对C，，，
则
，所以C错误；
对D，所以
，
结合，解得，所以D正确.
故选：ABD．
10．BD
【详解】延长交于点，延长交于点，如图所示，
因为，所以，
又因为平分，所以，
因为，所以都是等腰直角三角形，
因为，，，
所以与全等，所以，所以为中点，
又因为为中点，所以且，所以，故B正确；
因为，
所以，又，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以的标准方程为，故A错误；
因为，所以，
因为，，，
所以与全等，所以为中点，所以，
所以，所以，
所以，
所以的外接圆半径为，故C错误；
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，且，
所以，所以，所以，故D正确；
故选：BD.

11．ACD
【详解】连结，由可知，点在线段上，
因为，平面，平面，所以平面，
同理平面，且，且平面，
所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；

如图以为原点建立空间直角坐标系，则
，，
对于A，，
则，得，则，
，A正确：
对于B，由A分析可得，
故不与垂直，故B错误；
对于C，时，，又，
设平面的法向量为，则，
故可取，又，
则到平面的距离为，故C正确：
对于D，当时，，则，
又由C已得平面的法向量为，
则
当，
当，
因在上单调递减，则，则有，
则，则当时，，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】圆，即，
圆心为，半径
圆，即，
圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为 ，
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，
其圆心为，半径，
则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接，与直线交于点，
此时点是满足最小的点，
此时，
即的最小值为，
故答案为：
13．
【详解】设，则有，
即，所以.
由题意知，
则.
所以，即.
将代入双曲线方程可得，即.
因为，所以，即.
由可得，所以离心率.
所以双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
14．
【详解】由，数列各项均为正数，
则，
所以，则，
即，
令，则，
令，为锐角，
则，
所以，则，
又，
所以，即，所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，所以，
所以，
当时，，
又也适合，所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，得，
∵，∴，
当时，，
两式作差可得：，
即，
∴，
又∵，∴，且，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴.
（2）∵，∴，∴，
∴.
则
.
∵，∴，∴，
又∵为递增数列，所以，
∴.
16．(1)证明见解析
(2)存在，
(3)．
【详解】（1）证明：在四棱锥中，底面为直角梯形，
且，所以，由已知，
又，故平面，又平面，所以平面⊥平面；
（2）连接，，连接，若平面，
因为平面，平面平面，
故，又，则，
故为三等分点（靠近点），即，
当时，，故，
又平面，平面，所以平面；
（3）如图，以为原点，分别以、方向为轴、轴正方向,通过点D作平面的垂线，以该直线的向上方向为轴，如图建立空间直角坐标系，

则,
所以，，
不妨设，则，
所以．设平面PCD的法向量为，
则，可取，
因为与平面所成角为，
则，
解得，故，则，
所以，
可取；设平面的法向量为，
则，可取＝，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．(1)；
(2)证明见解析，定值为；
(3)，此时三角形面积的最大值为1.
【详解】（1）由，则，故，所以离心率；
（2）由题设，联立与得，，

设，则，
因为，所以
；
（3）由题设，联立，消元得，设，
当，即时，则，
，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.
18．(1)；
(2)（i）过定点，证明见解析；（ii）
【详解】（1）在上，故，
因，可得，
又，联立解得，
故双曲线的方程为；
（2）（i）证明：设过作直线，
由，消去得，
其中，所以.
由韦达定理，
所以.
过作直线，同理可求得.
所以直线的方程为，
在直线的方程中，令，得.
当时，，故直线过定点，即.
（ii）由（i）知，，故为公比为的等比数列，
又，故.
19．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
因为，所以.
（2）方法一：
（i）因为，则，且，
所以，
又，
，
从而，
因为，
所以
，
所以以为三边可构成（其中分别为边所对的角），且为三角形的最长边；
（ii）依题意有；，
设，
显然，
在中，由余弦定理得：
，
因为
所以.
又在上单调递减，
故，
因为，所以是等比数列，
即，故数列的通项公式：.
方法二：
（i）因为，
所以，
又，
分别以为三角形的内角作外接圆直径为1的三角形，
由正弦定理知，该三角形的三边分别是，
所以能构造，
且，又，则，且是的最长边；
（ii）在中，，
则，
又，
分别以为三角形的内角作外接圆直径为1的三角形，
由正弦定理知，该三角形的三边分别是，
与的三边分别相等，
故两个三角形全等，则，即，
因为，所以是等比数列，
即，故数列的通项公式：.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
A
D
D
A
D
ABD
BD
题号
11









答案
ACD