2026届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三下学期3月阶段测试数学试题含答案

这是一份2026届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三下学期3月阶段测试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 z 满足 zi=3−i1+i ( i 为虚数单位),则 z= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
2. 已知集合 A=x∣x2−x≤0,B={x∣x>m} ，若 A∩B=⌀ ，则实数 m 的取值范围是( )
A. m≤0 B. m1
3. 已知递增的等比数列 an 满足 a6+a8=10,a3a11=9 ,则 an 的公比 q= ( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 13
4. 已知 M 是直线 l:3x+y−8=0 上一点，过点 M 作圆 O:x2+y2=4 的切线，切点分别为 P,Q ,则 △OPQ 面积的最大值为 ( )
A. 3 B. 23 C. 1 D. 2
5. 已知偶函数 gx 在 0,+∞ 上是减函数,若 a=g2,b=g20.5,c=g−lg28 ,则 a,b,c 的大小关系为( )
A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. b>c>a
6. 2025 年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目:漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验. 现有甲、乙、丙、 丁、戊 5 名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目, 其中甲和乙选择体验漆扇绘梦, 不同的体验方案共有 ( )
A. 6 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 24 种
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 为双曲线 C 上位于第一象限内的一点， I 为 △F1PF2 的内心， PI 交 x 轴于点 D ，且 PI=2ID ，直线 PF2 的斜率为 22 ，则双曲线 C 的离心率为( )
A. 54 B. 138 C. 2 D. 75
8. 已知关于 x 的方程 ax+1ex=x+lnx+1x>0 有两个实数根,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. 0,1e B. 1e,+∞ C. 2e,+∞ D. 0,12e
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据 −3,−1,3,7,8,9,11,15 的第二十五百分位数是 1
B. 若用不同的模型拟合同一组数据,则决定系数 R2 越大的模型,拟合效果越好
C. 已知随机变量 X∼Bn,p ,若 EX=36,DX=9 ,则 n=48
D. 依据分类变量 x 与 y 的成对样本数据,计算得到 χ2=6.998>6.635=χ0.012 ,则依据 α=0.01 的独立性检验, 可以认为两个变量没有关联
10. 函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,00 .
(1)当 a=2 时，求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)讨论函数 fx 的单调性.
18. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 ,过点 P−1,2 作抛物线 C 的两条切线 l1,l2 ,且 l1⊥l2 , 点 P 关于 y 轴的对称点为 Q ,点 M,N 是抛物线 C 上的两个点.
(1)求 p ；
(2)若 O 为坐标原点，直线 MN 经过点 Q ，且 △OMN 的面积为 12，求直线 MN 的方程；
(3)若直线 MN 不经过点 Q ，且直线 QM 与直线 QN 的斜率之积为 4，过点 Q 作直线 QG 垂直. MN 于点 G ,求点 G 到 C 的准线 l 距离的最大值.
19. 离散曲率是用于描述多面体顶点处局部几何性质的一个概念, 它考虑了与该顶点相邻的各个面之间的角度关系,其定义如下: 设点 P 是多面体 M 的一个顶点,则称
1−12π∠R1PR2+∠R2PR3+⋯+∠RkPR1 (其中 Rii=1,2,⋯,k,k≥3 为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点,且平面 PR1R2 ,平面 PR2R3,… ,平面 PRkR1 为多面体 M 的所有以 P 为公共点的平面) 为多面体 M 在点 P 处的离散曲率. 如图,已知多面体 M 由四棱锥 P−ABCD 和直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 拼接而成,其中四边形 ABCD 是菱形,且 AB=AA1=2 ,四棱锥 P−ABCD 的顶点 P 在平面 ABCD 上的射影为四边形 ABCD 的中心，多面体 M 在点 A 处的离散曲率为 16 .

(1)若直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 是正方体，求二面角 P−AB−A1 的余弦值；
(2)设多面体 M 在点 A1 处的离散曲率为 m .
(i) 求 m 的取值范围;
(ii) 当四棱锥 P−ABCD 的体积取得最大值时，求 m 的值(保留小数点后两位). 参考数据: 34−297≈3.782 , cs1.078≈0.473 , π≈3.14 .
1. D
由复数的运算法则可得答案.
由复数 z 满足 zi=3−i1+i (i 为虚数单位),
可得 z=3−ii1+i=3−i−1+i=3−i−1−i−1+i−1−i=−4−2i2=−2−i ,
所以 z=−22+−12=5 .
故选: D.
2. C
解一元二次不等式求得集合 A ,利用交集的意义可求得实数 m 的取值范围.
由 x2−x≤0 ,得 xx−1≤0 ,解得 0≤x≤1 ,所以 A={x∣0≤x≤1} ,
又 B={x∣x>m},A∩B=⌀ ,所以 m≥1 ,所以实数 m 的取值范围是 m≥1 .
故选: C.
3. B
由等比数列的性质可得 a6a8 的值,结合 a6+a8=10 以及 an 为递增数列可得 a6 和 a8 的值,从而可得公比 q .
由 a6a8=a3a11=9,a6+a8=10 ,解得 a6=1a8=9 或 a6=9a8=1 ,
因为 an 是递增数列,所以 a6=1a8=9 ,则 q2=a8a6=9 ,又 an 为递增的等比数列,所以 q=3 . 故选: B.
4. A
应用点到直线距离得出 d=4,OM 最小时,利用面积公式结合角的范围即得.
: 圆心 O 到直线 l:3x+y−8=0 的距离 d=82=4 ,所以 OM≥4 ,
设 ∠MOQ=θ,csθ=OQOM=2OM≤12 ,所以 π2>θ≥π3,π>2θ≥2π3 ,所以 sin2θ≤32 ,
则 △OPQ 面积 S△OPQ=12OP×OQ×sin2θ≤12×2×2×32=3
故选: A.
5. C
根据偶函数的性质, 结合对数的运算性质、指数函数的单调性进行求解即可.
因为函数 gx 是偶函数,
所以 c=g−lg28=glg28=glg223=g3 ,
因为 3>2>20.5 ,且函数 gx 在 0,+∞ 上是减函数,
所以 g3c .
故选: C
6. B
分类讨论, 漆扇绘梦有甲、乙两人体验, 丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦, 剩下两人分别体验另外两个项目, 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验, 糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验, 剩下一人体验剩余的项目根据分类原理即可计算.
根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验, 丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦,
剩下两人分别体验另外两个项目,则有 C31 A22=3×2×1=6 种方案,
第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验，
则有 C21⋅C32=2×3×22=6 种方案,综上总共有 12 种方案.
故选: B
7. D
利用内心的性质得出相应线段比例关系,进而求出 PF1,PF2 ,利用斜率推出相应角的余弦值,再利用余弦定理构造方程求出 a,c 的关系,最后利用离心率公式计算求解.

∵I 为 △F1PF2 的内心,
∴I 为角平分线交点,
又 ∵PI=2ID ,故 PF1F1D=PF2F2D=PIID=2 ,
∴PF1+PF2F1D+F2D=PF1+PF22c=2 ,
∴PF1+PF2=4c ,
又 ∵PF1−PF2=2a ,
∴PF1=2c+a,PF2=2c−a,
∵ 直线 PF2 的斜率为 22,∴cs∠PF2F1=−13 ,
在 △F1PF2 中,由余弦定理得 2c+a2=2c−a2+2c2−2×2c−a×2c×−13 ,
整理得 e=ca=75 ,故 D 正确.
故选: D.
8. A
由条件可得 aex+lnx+1=x+lnx+1x>0 ,令 t=x+lnx+1x>0 ,结合函数单调性确定 t>0 ,条件可转化为 ett=1a 有两个实数根,利用导数研究函数 ft=ettt>0 的图象, 结合图象可求 a 的取值范围.
由 ax+1ex=x+lnx+1x>0 ,得 aex+lnx+1=x+lnx+1x>0 ,
因为函数 y=x 为函数,函数 y=lnx+1 是增函数,
所以函数 y=x+lnx+1 在 −1,+∞ 上单调递增,
令 t=x+lnx+1x>0 ,则 t>0 ,
由 aex+lnx+1=x+lnx+1x>0 可得 a>0 ,
所以 ex+lnx+1x+lnx+1=1a 有两个实数根等价于 ett=1a 有两个实数根,
构造函数 ft=ettt>0 ,则 f′t=t−1ett2 ,
令 f′t>0 ,解得 t>1 ,令 f′te ,
所以 00,∴m≠1 .
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,则 y1+y2=4m,y1y2=8m−4 ,
则 MN=1+m2y1+y22−4y1y2=1+m216m2−48m−4=41+m2m−1 , 点 O 到直线 MN 的距离为 2m−11+m2 ,
则 S△OMN=12×2m−11+m2×41+m2m−1=22m−1m−1=12 ,即 2m−1m−1=6 ,
整理得 2m2−3m−5=0 或 2m2−3m+7=0 ,
解得 m=−1 或 m=52 ,
故直线 MN 的方程为 x+y−3=0 或 2x−5y+8=0 .
(3)

设直线 MN 的方程为 x=ny+t ,
联立得 x=ny+ty2=4x ,化简得 y2−4ny−4t=0 ,则 Δ2=16n2+16t>0 ,即 n2+t>0 ,
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,则 y1+y2=4n,y1y2=−4t .
∴x1+x2=ny1+t+ny2+t=ny1+y2+2t=4n2+2t, x1x2=y124⋅y224=y1y2216=t2 .
又 kQM⋅kQN=4 ,所以 y1−2y2−2x1−1x2−1=4 ,即 y1−2y2−2=4x1−1x2−1 ,
y1y2−2y1+y2+4=4x1x2−x1+x2+1 ,代入得 −4t−2×4n+4=4t2−4n2−2t+1 ,即 −t−2n=t2−4n2−2t,
即 4n2−t2+t−2n=0 ,即 2n−t2n+t−2n−t=0 ,即 2n−t2n+t−1=0 .
又直线 MN 不经过点 Q ,所以 2n+t−1≠0 ,则 2n=t ,
所以直线 MN 的方程为 x=ny+2 ,因此直线 MN 恒过定点 T0,−2 .
由 n2+t>0 ,得 n2+2n>0 ,解得 n0 .
解法一 由题可知,直线 QG 的方程为 y=−nx+n+2 ,
由 x=ny+2ny=−nx+n+2 得 xG=n2+4nn2+1 ,
则点 G 到 C 的准线 l 的距离 d=n2+4nn2+1−−1=2+4n−1n2+1 .
令 s=4n−1 ,
根据对勾函数的单调性可知:
若 n